Beweis Konvergenz einer Folge |
11.01.2011, 17:52 | mu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Beweis Konvergenz einer Folge Hallo, ich soll Unter Verwendung der Definition für Folgen zeigen, ob divergiert oder konvergiert. Meine Ideen: Also die Folge konvergiert. Und zwar gegen den Grenzwert 1. Ich habe zunächst nur betrachtet. Der Genzwert ist: Weil ist dies der Genzwert der Folge. Folglich konvergiert sie. Nur wie zeige ich das mittels der Definition für Folgen? Definition Folge: Eine Folge heißt konvergent mit Grenzwert a, wenn oder anders ausgedrückt: |
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11.01.2011, 17:59 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Da ihr wahrscheinlich noch nichts über Stetigkeit hattet, musst du wohl direkt die Definition von benutzen. Wie habt ihr denn definiert? Oder du kennst schon für Dann könntest du diese Ungleichung nutzen um die Behauptung zu zeigen. |
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11.01.2011, 18:13 | BarneyG. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
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11.01.2011, 18:20 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wenn man weiß, dass der Logarithmus stetig ist, könnte man so argumentieren. Aber dann weiß man auch, dass die Exponentialfunktion stetig ist Und an der Aufgabenstellung würde ich ablesen, dass so Sätze wie "Offensichtlich ist n -> unendlich äquivalent zu m -> unendlich" gar nicht gehen. Das ist eine Erstsemestervorlesung. Da ist nichts offensichtlich |
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11.01.2011, 18:36 | mu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
ja, es ist eine Erstsemestervorlesung
Bisher hatten wir nur die komplexe e-Funktion. Eine Regel war, dass ist. Deine Definition ist uns (noch) fremd. |
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11.01.2011, 18:41 | BarneyG. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
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11.01.2011, 18:42 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ihr habt doch irgendwie den Ausdruck definiert. Sonst macht die Aufgabe überhaupt keinen Sinn.
Und wer sagt dir jetzt, dass äquivalent zu ist? Du näherst dich einem Zirkelschluss. Weil du das Problem nur umlagerst, es aber nicht direkt angehst. |
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11.01.2011, 19:11 | BarneyG. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
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11.01.2011, 19:30 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Du hast vorrausgesetzt, dass , wenn . |
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11.01.2011, 19:41 | BarneyG. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
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11.01.2011, 19:43 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Genau hier benutzt du, dass m gegen unendlich geht, denn sonst könntest du gar nicht folgern, dass 1/m kleiner Epsilon wird. Denn wer sagt, dass m jemals m0 übersteigt? Ich bin vorerst aus dem Thread draußen, da ich weg muss. Wenn sich der Threadersteller nochmal meldet und sagt, wie definiert wurde, können wir hier morgen gerne weitermachen. |
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11.01.2011, 20:01 | BarneyG. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
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11.01.2011, 23:18 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Was muss ich noch tun, damit du mein Anliegen verstehst?
Genau hier verwendest du doch, dass es m irgendwann größer als m0 ist. Denn ist dies nicht der Fall, so scheitert deine Abschätzung ja offensichtlich, weil dann eben nicht gesichert ist. Da m0 aber reziprok von Epsilon abhängt und Epsilon beliebig war, kann also m0 beliebig groß werden. D.h. du verwendest hier (so dass man es nicht merkt, wenn man nicht aufpasst), dass gilt. Und das ist dir keinesfalls gegeben und man kann es auch nicht leicht folgern. Zumindest nicht leichter als , was ja die Behauptung war. Letztendlich führt ohne weitere Kenntnisse (wie z.b. die Stetigkeit) kein Weg an einer geeigneten Abschätzung von für kleine x vorbei. Alles andere verlagert das Problem nur. |
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11.01.2011, 23:32 | Ibn Batuta | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Mal ´ne blöde Frage, soll keine Einmischung sein. Wieso wird die Konvergenz für nicht gezeigt und der Rest gefolgert? Ibn Batuta |
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12.01.2011, 08:17 | BarneyG. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
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12.01.2011, 09:47 | Ibn Batuta | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
@BarneyG.: Ah ok. Ich dachte er könne das ohne weiteres verwenden, da er in seinem Beitrag schrieb:
Daher dachte ich, dass es reicht, wenn man die Konvergenz von zeigt und dann nach seiner Regel folgert, dass das gegen 1 konvergiert... Ibn Batuta |
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12.01.2011, 11:37 | Manni Feinbein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
tmo hat Dich schon verstanden. Nur Du zeigst noch immer eine gewisse Beratungsresistenz. Bei solch elementaren Beweisen muss man sehr genau aufpassen welche Erkenntnisse man einfließen lassen darf. Du willst nämlich im Grunde genommen zeigen dass und setzt dabei einfach mal voraus, dass was wiederum mit gleichen Mitteln (Stetigkeit, oder Abschätzung) zu zeigen wäre. Ohne diese Tatsache funktioniert Dein 'Beweis' nämlich nicht aber das hat tmo schon vor Stunden mehrfach vergeblich zu erklären versucht. |
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12.01.2011, 11:52 | BarneyG. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
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12.01.2011, 12:19 | Manni Feinbein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Explizit nicht aber implizit schon, denn ohne diese Tatsache funktioniert Dein 'Beweis' nicht.
Wirklich nett wäre es wenn Du von dieser süffisant-überheblichen Art Abstand nehmen könntest, durch die Du Dich in dieser Situation ohnehin nur selbst diskreditierst. |
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12.01.2011, 14:12 | BarneyG. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
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12.01.2011, 15:31 | Manni Feinbein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
@BarneyG. Im Gegensatz zu Dir habe ich nicht das geringste Problem, da immer noch Du und nur Du es bist, der partout nicht verstehen will. Ich mag mich aber nicht mehr wiederholen. Und wenn massive Beratungresistenz mit penetranter Impertinenz sich paart, dann ist es Zeit sich aus dem Thema zu verabschieden. |
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12.01.2011, 15:39 | BarneyG. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
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12.01.2011, 15:42 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich versuche das jetzt mal. Was setzt du voraus? (1) Strenge Monotonie der e-Funktion und . Aber nicht die Stetigkeit der e-Funktion. Korrekt? (2) Definition des natürlichen Logarithmus als Umkehrfunktion der e-Funktion. Die Existenz der Umkehrfunktion ist wegen der strengen Monotonie der e-Funktion gesichert. Korrekt? Wenn du sonst noch etwas über den natürlichen Logarihmus voraussetzt, musst du es sagen. Ich gehe jetzt mal nur von diesen Voraussetzungen aus. Du schreibst:
Geht denn das? Existiert denn für beliebiges ? Das existiert doch nur, wenn es ein x gibt mit Kannst du du Existenz eines entsprechenden x aus deinen Voraussetzungen beweisen? Nehmen wir mal an, die e-Funktion wäre bei x = 0 unstetig und es würde gelten für x > 0 Dann gäbe es für gar nicht. Der Definitionsbereich der Umkehrfunktion der e-Funktion hängt von dem Wertebereich der e-Funktion ab. Da ist das Loch in deinem Beweis. |
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12.01.2011, 15:59 | BarneyG. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
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12.01.2011, 16:10 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wenn man für den natürlichen Logarithmus die Gültigkeit der üblichen Logarithmengesetze annimmt, dann ist das eine zusätzliche Voraussetzung. Sie folgt nicht aus der Definition als Umkehrfunktion der e-Funktion und den obigen dürftigen Annahmen über die e-Fumktion.
Dazu müsste man halt wissen, wie die e-Funktion in der Vorlesung des Fragestellers definiert wurde und was schon über sie bewiesen wurde. Ohne das stochert man im Nebel. |
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12.01.2011, 23:13 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hier hast du also deinen Zirkelschluss noch selbst gemerkt. Denn die Existenz des Logarithmus auf den positiven reellen Zahlen folgt aus der Surjektivität der Exponentialfunktion. Wie würdest du diese zeigen? Ich gehe doch stark davon aus, dass du die Stetigkeit und den Zwischenwertsatz bemühen würdest |
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13.01.2011, 08:01 | BarneyG. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
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13.01.2011, 08:26 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Da der Threadersteller sich schon lange nicht mehr gemeldet hat und es ja noch keine wirklich Komplettlösung ist: Hier wird wirklich nichts gebracht außer eine Aussage über konvergente Reihen. Die sind aber bekannt, wenn man schon als Reihe definiert hat. |
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13.01.2011, 08:49 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Vielleicht sind wir alle etwas blind gewesen. Da doch n eine natürliche Zahl sein soll, muss man überhaupt nichts über die e-Funktion wissen, außer dass e eine positive Zahl ist. Es ist ja Und die Eigenschaften dieser Wurzel ergeben sich aus den Eigenschaften von Potenzen mit ganzzahligen Exponenenten. |
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13.01.2011, 08:55 | BarneyG. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
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13.01.2011, 09:18 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das ist nun wirklich kein Problem. Es sei der Fall e > 1 betrachtet. e < 1 würde ähnlich gehen. Man möchte , also Wegen ist das bei erfüllt und jetzt kann man ein hinreichendes n ausrechnen. |
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13.01.2011, 12:51 | BarneyG. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
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