Partikuläre Lösung einer Differentialgleichung

11.01.2011, 18:06

Gipsyjack

Partikuläre Lösung einer Differentialgleichung

Hallo ich habe folgende Diff. Gleichung:

$\begin{eqnarray*} y''(x)+3y'(x)+2y(x)=x \end{eqnarray*}$

Die Lösung ahbe ich wie folgt berechnet mit dem Ansatz:

$\begin{eqnarray*} exp(bx) \end{eqnarray*}$

Daraus folgte dann die Lösung:

$\begin{eqnarray*} b_1= -1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_2=-2 \end{eqnarray*}$

Die homogene Lösung ist somit:
(DG 2.Ordnung also 2 Lösungen)
$\begin{eqnarray*} c_1*exp(-2x)+c_2*exp(-x) \end{eqnarray*}$

Wie finde ich jetzt weiter die partikulre Lösung raus?
Ergebnis soll sein:
$\begin{eqnarray*} c_1*exp(-2x)+c_2*exp(-x) + \frac{x}{2} - \frac{3}{4} \end{eqnarray*}$

Ich haben zudem noch die Anfangsbedingungen:

$\begin{eqnarray*} y(0)=0 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} y'(0)=0 \end{eqnarray*}$

Außerdem kann ich doch auch mit den Anfangsbedingungen $\begin{eqnarray*} c_1 ; c_2 \end{eqnarray*}$ bestimmen??

MfG

11.01.2011, 18:33

Cel

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Mit den Anfangsbedingungen kannst du die c's bestimmen, genau.

Vorher brauchst du, wie du schon sagst, eine partikuläre Lösung. Dafür gibt es Tabellen, die dir einen Ansatz liefern. Ich habe einen hier gefunden.

Ich hoffe, das hilft dir schon.

11.01.2011, 21:45

Gipsyjack

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Ja, danke!
Aber wie genau berechne ich jetzt die c's.
weil wenn ich jetzt die Bedingungen einsteze komem ich auf:

$\begin{eqnarray*} c_1+c_2=0 \end{eqnarray*}$
und wenn ichs einmal ableite:
$\begin{eqnarray*} -2c_1-c_2=0 \end{eqnarray*}$

hab am Donnerstag ne Prüfung auch über Differentialgleichungens, könnt ihr mir noch irgendwelche Tipps geben, wie ich an sowas am besten ran gehe, weil bei Differntialgleichungen fühl ich mich total hilflos ich mein wie ich ran geheh weiß ich in grundzügen aber dann bleibts immer irgendwo hängen...

z.B. auch bei der Aufgabe

$\begin{eqnarray*} y'=x+sqrty \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} y=(x+y)² \end{eqnarray*}$

11.01.2011, 23:25

Cel

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RE: Partikuläre Lösung einer Differentialgleichung
Donnerstag? Hmm, du bist spät dran ... unglücklich

Es scheint, als ob du nur die homogene Lösung abgeleitet hast und dort 0 eingesetzt hast.

Zitat:

Original von Gipsyjack
$\begin{eqnarray*} y(x) = c_1 \cdot \exp(-2x)+c_2 \cdot \exp(-x) + \frac{x}{2} - \frac{3}{4} \end{eqnarray*}$

Bilde hier y(0) und y'(0). Wo ist bei deinem y(0) die -3/4 geblieben? Analog für y'(x). Da fehlt mir ein 1/2.

Du kannst dann eine Gleichung nach einem c auflösen und in die andere einsetzen.

12.01.2011, 13:15

Gipsyjack

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Ah ok hab jetzt raus:

$\begin{eqnarray*} c_1= -1/4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c_2=1 \end{eqnarray*}$

also kann ich die koeffizienten nur bestimmen wenn icha uch die partikuläre Lösung gefunden habe..

Was heißt spät dran, hatte noch andere Sachen zu lernen und dachte nicht da es so schlimm ist smile

12.01.2011, 17:22

Cel

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Richtig.

Und was auch richtig ist: Du brauchst auch die partikuläre Lösung, schließlich löst die homogene Lösung eben nur die homogene DGL.

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Partikuläre Lösung einer Differentialgleichung

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