Cofaktor-Matrix und Hauptinvarianten

11.01.2011, 18:22

evilbiddy

Cofaktor-Matrix und Hauptinvarianten

Meine Frage:
Gegeben sei eine quadratische Matrix $\begin{eqnarray*} A \in \mathbb R^{3x3} \end{eqnarray*}$ . Wir bezeichnen mit Cof (A) die Cofaktor-Matrix von A und setzen $\begin{eqnarray*} l(A) := \frac{1}{2} ((Sp(A))^{2} - SP (A^{2})) \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie:

a) Es gilt $\begin{eqnarray*} l(A) = Sp (Cof (A)) \end{eqnarray*}$ .

b) $\begin{eqnarray*} l(A) \end{eqnarray*}$ ist eine Invariante von A, d.h. für jede invertierbare Matrix $\begin{eqnarray*} B \in \mathbb R^{3x3} \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} l(BAB^{-1}) = l(A) \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Ich hab leider von vorne bis hinten keine Ahnung was ich machen soll unglücklich

Für jede Hilfe wär ich sehr dankbar!!!

16.01.2011, 12:06

DerGast

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RE: Cofaktor-Matrix und Hauptinvarianten
Hi, ich nehm mal an Uni Stuttgart was? =D

also ein kleiner Tipp versuch das ganze erstmal mit einer beliebigen 3x3 Matrix und geh genau nach der Formel vor. Also rechne zuerst (Sp(A))² dann Sp(A²) und Sp(Cof(A)) aus.

Wenn du das gemacht hast und gesehen hast wie das geht kannst du einfach die beliebigen Zahlen durch Buchstaben ersetzten und der Beweis ist geführt!

Gruß

16.01.2011, 14:29

evilbiddy

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RE: Cofaktor-Matrix und Hauptinvarianten
jap, uni stuttgart Augenzwinkern

k, ich werds mal ausprobieren,danke schon mal
...aber das war jetzt nur für die a) oda ?!

18.01.2011, 15:20

doener

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Ich hätte auch eine Frage zu dieser Aufgabe. "Die Cofaktor-Matrix von A"... ähm... das können doch verschiedene Matrizen sein oder? Je nachdem welche Zeile/Spalte man streicht.
Kann mir da jemand etwas dazu sagen?

18.01.2011, 18:59

studentanderunistutt

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.
also so wie ich das versteh gibt es die cofaktormatrix pro matrix nur 1 mal.
du generierst nur jeden eintrag durch streichen der zeile und der spalte in der dieser eintrag ist und errechnest den neuen wert genau dieser stelle durch die determinante der matrix die nach dem streichen der spalte und zeile übrig bleibt.
das musst du an jeder stelle der matrix machen. die cofaktormatrix hat die gleiche dimension wie die ursprüngliche matrix

19.01.2011, 18:02

doener

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Re: .

Zitat:

Original von studentanderunistutt
also so wie ich das versteh gibt es die cofaktormatrix pro matrix nur 1 mal.
du generierst nur jeden eintrag durch streichen der zeile und der spalte in der dieser eintrag ist und errechnest den neuen wert genau dieser stelle durch die determinante der matrix die nach dem streichen der spalte und zeile übrig bleibt.
das musst du an jeder stelle der matrix machen. die cofaktormatrix hat die gleiche dimension wie die ursprüngliche matrix

cool vielen dank! das hatte ich wohl falsch verstanden.
(meine theorie wäre aber nicht so aufwendig gewesen, schade... Big Laugh

)

<--- lustig

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Cofaktor-Matrix und Hauptinvarianten

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