Spiegelung

11.01.2011, 18:52

evilbiddy

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Spiegelung

Meine Frage:
Gegeben ist im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{3} \end{eqnarray*}$ die Ebene, die beschrieben wird durch die Gleichung
$\begin{eqnarray*} 3x_{1} - 3x_{2} + x_{3} = 0 \end{eqnarray*}$ .
Finden Sie eine Matrix A und einen Vektor t so, dass die Spiegelung an der Ebene beschrieben wird durch die affine Abbildung x -> Ax + t.

Meine Ideen:
Da ich leider keinen Ansatz habe, bräuchte ich ein bischen Starthilfe !! unglücklich

unglücklich

11.01.2011, 18:58

lgrizu

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RE: Spiegelung
Nimm dir einfach mal einen beliebigen Punkt und spiegele ihn an der Ebene, dann hast du einen Punkt $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und sein Bild.

12.01.2011, 09:25

evilbiddy

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okay, hab ich gemacht :

hab den Punkt $\begin{eqnarray*} P \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ genommen und an der Ebene gespiegelt ... dann kam bei mir als Bildpunkt $\begin{eqnarray*} P' \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ raus!

Stimmt das? ...und wenn ja, wie bringt mich das bei der Aufgabe weiter ?

Danke schon mal smile

smile

12.01.2011, 09:41

lgrizu

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Jetzt nimmst du zwei Vektoren, die deinen ersten Vektor zu einer Basis des R³ ergänzen und spiegelst sie ebenfalls.

Dann hast du zwei Basen des R³, die Matrix des Basiswechsels ist die gesuchte Spiegelmatrix.

12.01.2011, 09:57

evilbiddy

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Ich hab etz 3 Punkte und ihre Bildpunkte (die Basen darstellen müssten), aber wie ich daraus jetzt eine Matrix machen soll, weiß ich net ... ich könnte da nur 2 3x3 Matrix raus machen.

Punkte + Bildpunkte:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ -> $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ -> $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ -> $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

sry, wenn ich mich grad ganz bescheuert anstell unglücklich

unglücklich

12.01.2011, 10:16

lgrizu

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Du hast nun 3 Vektoren und deren Bilder, jetzt musst du nur noch die Matrix bestimmen.
(ich habe nicht überprüft, ob du die Bilder richtig ausgerechnet hast).

Es ist doch:

$\begin{eqnarray*} A \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} A \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun muss man halt A noch ausrechnen.

So, muss jetzt erst mal los.

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12.01.2011, 10:31

evilbiddy

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k, danke schon mal soweit smile

smile

hab jetzt A ausgerechnet und komme auf:

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

stimmt das soweit?? und wie komm ich jetzt noch auf t ?

12.01.2011, 19:29

lgrizu

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Ich habe mal kurz überprüft, der Punkt (1,2,3) liegt in deiner Ebene, also ist der Spiegelpunkt gleich dem Punkt selbst.

Die anderen Punkte überprüfe ich gerade, ich gehe aber davon aus, dass die auch nicht stimmen.

Edit: Wie geahnt, die Spiegelpunkte stimmen nicht, wie hast du sie denn berechnet?

12.01.2011, 19:41

evilbiddy

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oh man ... stimmt ... ich machs noch mal neu ... unglücklich

unglücklich

12.01.2011, 19:42

lgrizu

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Vielleicht ist es einfacher, die Einheitsvektoren zu spiegeln Augenzwinkern

Augenzwinkern

12.01.2011, 20:06

evilbiddy

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ -> $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ -> $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ -> $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

so müsste es aber eigtl stimmen...

12.01.2011, 20:27

lgrizu

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Warum hast du denn den ersten Punkt geändert?

Der ist doch auf sich selbst abgebildet, darf man ruhig nehmen.

Dann haben wir weiterhin das Problem, dass deine Bilder nicht auf der Geraden liegen, die durch die Urbilder geht und senkrecht zu der Ebene ist.

Wir betrachten den Punkt (2,2,2), die Gerade, die durch (2,2,2) geht und senkrecht auf der Ebene steht hat die Parametergleichung

$\begin{eqnarray*} \vec{x}:=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun hat aber $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ keine eindeutige Lösung für lambda, der Punkt (2,2,-2) kann also nicht der Spiegelpunkt von (2,2,2) bezüglich der Ebene $\begin{eqnarray*} 3x_1-3x_2+x_3=0 \end{eqnarray*}$ sein.

Edit: Wie bereits gesagt, versuche doch einmal die Einheitsvektoren zu spiegeln, das vereinfacht die ganze Sache ungemein.

12.01.2011, 21:19

evilbiddy

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ -> $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ -> $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ -> $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

was hällst du davon? ^^

12.01.2011, 21:20

evilbiddy

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die matrix müsste dann also so aussehn:

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

?!

12.01.2011, 22:20

lgrizu

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Gleiches Problem, der Punkt (-1,0,0) liegt nicht auf der Geraden $\begin{eqnarray*} \vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Mich beschleicht das Gefühl, dass du die Spiegelpunkte nicht berechnen kannst.

Ich mach dir das mal vor:

1.) Man nehm einen Punkt, zum Beispiel (1,0,0).

2.) Man bilde eine Gerade G durch den Punkt, die Senkrecht auf der Ebene steht, das wäre in unser Fall die Gerade $\begin{eqnarray*} \vec{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

3.) Man bestimme den $\begin{eqnarray*} E \cap G \end{eqnarray*}$ und das entsprechende $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ .

Das geht folgendermaßen:
Einsetzen von G in E ergibt:

$\begin{eqnarray*} 3 \cdot (1+3 \lambda)- 3 \cdot (0-3 \lambda)+ 1 \cdot (0+ \lambda)=0 \end{eqnarray*}$ .

Nachdem man dies gelöst hat erhält man $\begin{eqnarray*} \lambda = -\frac{3}{19} \end{eqnarray*}$ .

4.)Nun wird das ausgerechnete lambda verdoppelt, ergibt $\begin{eqnarray*} 2 \cdot \lambda =-\frac{6}{19} \end{eqnarray*}$ .

5.) Berechnen des Punktes P' auf der Geraden G, der dem Punkt (1,0,0) bezüglich der Ebene gegenüberliegt:

$\begin{eqnarray*} P'=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} - \frac{6}{19} \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , und das sollte unser Spiegelpunkt sein.

12.01.2011, 22:54

evilbiddy

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achso, k, danke...ich habs fast genauso gemacht nur vergessen, G in E einzusetzen!
ich werds etz mit den einheitsvektoren noch mal so durchrechnen, wie dus erklärt hast und dann die matrix daraus bilden... ma guggn, ob ichs jetzt endlich auf die reihe bring.

12.01.2011, 23:52

evilbiddy

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ -> $\begin{eqnarray*} \frac{1}{19} \begin{pmatrix} 1 \\ 18 \\ -6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ -> $\begin{eqnarray*} \frac{1}{19} \begin{pmatrix} 18 \\ 1 \\ 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ -> $\begin{eqnarray*} \frac{1}{19} \begin{pmatrix} -6 \\ 6 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A = \frac{1}{19} \begin{pmatrix} 1 & 18 & -6 \\ 18 & 1 & 6 \\ -6 & 6 & -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

hab ichs etz endlich ??? ^^

13.01.2011, 20:13

lgrizu

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Ich habe das jetzt mal mit dem Transformationssatz gerechnet und habe dabei die Basis $\begin{eqnarray*} \left\{\begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 6 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$ verwendet, sie bietet den Vorteil, dass zwei Vektoren in der Ebene liegen, wir also deren Bild kennen und der dritte senkrecht auf der Ebene steht.

Wenn ich mich nicht verrechnet habe stimmt es noch immer nicht ganz, ist aber nah dran, ich rechne das jetzt noch mal zur Sicherheit nach.

Edit: einige Einträge scheinen noch nicht zu stimmen, aber du bist definitif auf dem richtigen Weg, die meisten Einträge in der Matrix stimmen.

13.01.2011, 22:41

evilbiddy

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langsam verzweifel ich unglücklich

unglücklich

13.01.2011, 23:14

lgrizu

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Das ist mein Ergebnis, ich hoffe, ich habe mich nicht verrechnet:
$\begin{eqnarray*} A = \frac{1}{19} \begin{pmatrix} -35 & 18 & -6 \\ 18 & 1 & 6 \\ -6 & 6 & 17\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

14.01.2011, 10:25

evilbiddy

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Zitat:

Original von lgrizu

...

$\begin{eqnarray*} P'=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} - \frac{6}{19} \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , und das sollte unser Spiegelpunkt sein.

...wenn das stimmt (und ich habs auch noch mal nachgerechnet), dann kommt aber für die 1. spalte von A $\begin{eqnarray*} \frac{1}{19} \begin{pmatrix} 1 \\ 18 \\ -6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ raus...

die dritte spalte hab ich noch mal nachgerechnet und nen rechenfehler gefunden ... also sieht A bei mir etz so aus:

$\begin{eqnarray*} A = \frac{1}{19} \begin{pmatrix} 1 & 18 & -6 \\ 18 & 1 & 6 \\ -6 & 6 & 17\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

kanns sein, dass du dich vll beim 1. punkt verrechnet hast?!

14.01.2011, 10:33

lgrizu

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Jap, hab mich wohl verrechnet, jetzt sollte es aber stimmen.

14.01.2011, 10:42

evilbiddy

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RE: Spiegelung
oh man, danke smile

smile

du hast mir echt sooo viel geholfen...vielen dank!!! Gott

Gott

allerdings bleibt etz noch die frage nach dem vektor t unglücklich

unglücklich

Zitat:

Original von evilbiddy

...

Finden Sie eine Matrix A und einen Vektor t so, dass die Spiegelung an der Ebene beschrieben wird durch die affine Abbildung
x -> Ax + t.

14.01.2011, 11:07

lgrizu

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RE: Spiegelung
Es handelt sich doch um eine Ebene durch den Ursprung....

15.01.2011, 19:08

evilbiddy

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RE: Spiegelung
d.h., t wäre der Nullvektor?!?

15.01.2011, 22:48

lgrizu

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RE: Spiegelung
jap, wir betrachten mal den R²:

Wir betrachten eine Spiegelung an der Geraden g(x)=x, diese wird beschrieben durch die Matrix $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 0 &1 \\1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wenn wir die Spiegelung an der Geraden g(x)=x+1 betrachten so kann man diese darstellen als die Abbildung $\begin{eqnarray*} A \vec{x}+\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

17.01.2011, 13:22

evilbiddy

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RE: Spiegelung
k, vielen dank !!! smile

smile

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