Arbeitsintegral

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hirnwindung Auf diesen Beitrag antworten »
Arbeitsintegral
Meine Frage:
Moin!

Ich beschäftige mich mit Arbeitsintegralen! Folgende Aufgabe ist gegeben.

man soll also zeigen, dass das Arbeitsintegral wegunabhängig ist. Man soll weiterhin diesen Sachverhalt bei der Berechung des Integrals entlang des Spiralbogens nutzen C:
mit

Meine Ideen:
So, ich weiß was ein Arbeitsintegral ist, aber ich lese und lese und kann und kann einfach keinen Lösungsweg für diese Aufgabe finden. Kann mir jemand Schritt für Schritt erläutern, wie ich solch eine Aufgabe lösen kann?
Lampe16 Auf diesen Beitrag antworten »

Zeige, dass das Feld wirbelfrei ist (Rotation = 0). Das ist gleichbedeutend mit Wegunabhängigkeit.

Zur 2. Frage: Nimm einen einfachen Ersatzweg.
hirnwindung Auf diesen Beitrag antworten »

Moin,

also zeige ich zunächst, dass das Kreuzprodukt aus dem Nabla Operator und dem Feld gleich Null ist





Zu 2 weiß ich leider immer noch nicht wie ich das anstellen soll! Irgendein weiterer Tipp?

Danke :-)
Lampe16 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Zu 2 weiß ich leider immer noch nicht wie ich das anstellen soll! Irgendein weiterer Tipp?


Nimm z.B. eine gerade Linie zwischen Anfangs- und Endpunkt des Weges an oder einen Weg entlang Koordinatenlinien (x-konst, y=konst, z=konst)

Ein anderes Verfahren: Bilde ein Potenzial des Felds und ersetze das Arbeitsintegral durch die entsprechende Potenzialdifferenz.
hirnwindung Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, mein Weg ist ja in den gegebenen Schranken und da der Weg zur Lösung des Integrals kene Rolle spielt (wegunabhängig) kann ich zwischen mit den sich ergebenden Werten für y eine Gerade legen und als r(t) nutzen um das Integral zu lösen?! Es hört sich für mich selbst grad alles sehr verwirrend an.....!
Lampe16 Auf diesen Beitrag antworten »

Das kannst du jetzt entwirren. Nachdem du weißt, dass das Feld wirbelfrei ist, ist der dir aufgegebene Weg für das Arbeits(Linien-)integral bis auf Anfangs- und Endpunkt A bzw. E freigestellt. Du kannst also irgendeinen Weg nehmen - und das macht man am besten nach Bequemlichkeit.
Mein Rezept lautet hier:
A und E bestimmen.
Dann in kartes. Koo. bleiben, weil das Feld darin gegeben ist.
Den Weg in drei Abwchnitten durchlaufen, nämlich

Es sind also drei Abschnitts-Integrale (Teilarbeiten) zu berechnen und dann zur Gesamtarbeit ("Integral") zu addieren, getreu dem Motto: Integrale sind Summen, sonst nichts.
 
 
hirnwindung Auf diesen Beitrag antworten »

ich muss jetzt ganz genau nachfragen, denn mir scheint, dass ich doch noch zu wenig über die Materie Bescheid weiß!

Mein Anfangs bzw. Endpunkt der Arbeit ist doch 0 und , richtig? So und nun rechne ich mir für meine gegebene Wegfunktion die zugehörigen y- Werte aus und gehe dann in 2 Schritten von A nach E (2 Schritte, weil ich doch hier im 2- dimensionalen bin, oder?)

Wenn ich nicht völlig auf dem Schlauch stehe und grundsätzliche Verständnisfragen bestehen müsste ich dann mit den beiden Teilabschnitten die normale Formel für die Berechung der Arbeitsintegrale anwenden, sprich die Ableitungen meiner beiden Teilwege berechnen etc. ?!
Phu, die schwierigesten Differentialgleichungen hab ich schon gelöst, aber das hier kann und kann ich mir einfach nicht vorstellen.... Danke schon mal für die Geduld und Hilfe!
Lampe16 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von hirnwindung
und nun rechne ich mir für meine gegebene Wegfunktion die zugehörigen y- Werte aus


Nein, nicht wenn du die Wegunabhängigkeit nutzt und in kart. Koord. rechnest! Dann ist der Spiralbogen abgemeldet. Dann integrierst du entlang der genannten 3 geraden achsparallelen Linien.
hirnwindung Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, ich bin jetzt verzweifelt! Ich weiß zwar in etwa was gemeint ist, bin aber nicht in der Lage es zu rechnen! Immer wenn ich denke ich habs, kommt n Knoten im Gehirn dazu und alles ist futsch! verwirrt Ich kann verstehen, wenn ihr/du den restlichen Lösungsweg nicht posten wollt, aber ich brauche dringend Hilfe. Meine Klausur ist ganz bald und das ist das letzte was mir noch fehlt!
Lampe16 Auf diesen Beitrag antworten »

Bitte rechne zuerst die kart. Koord. des Anfangs- und des Endpunkts aus. Dann helfe ich dir schrittweise weiter.
hirnwindung Auf diesen Beitrag antworten »

ok, ich werde jetzt hier aus der Bibliothek geschmissen. Morgen bin ich wieder voll dabei. Danke! smile
Lampe16 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sollte noch drei Punkte erwähnen, welche dir evtl. helfen.
1. Die Aufgabenstellung ist ziemlich unsauber formuliert. Sie sollte vermutlich lauten:


Der Integrand, d.h. das Feld, ist ein Vektor und das Linienelement ebenso.

2. Es genügen dann i. Allg. zwei Wegabschnitte, also

weil das Feld eben ist. Ich hatte eine z-Koordinate dazugedacht, die aber nicht vorhanden ist.

3. Ich verstehe und in als Polarkoordinaten.

Außerdem habe ich noch eine Graphik beigefügt.
hirnwindung Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank, das klingt alles so einleuchtend, aber trotzdem komme ich nicht weiter! Entweder ich bekomme gleich noch eine Erleuchtung, oder ich muss halt auf Lücke lernen!
Lampe16 Auf diesen Beitrag antworten »

Der einfache Ersatzweg , den du wegen der Wirbelfreiheit des Feldes nehmen kannst, verläuft auf der x-Achse von nach Jeder andere irgenwie krumme oder Loopingweg ginge auch, aber der wäre dann nicht bequem.
Versuch jetzt mal das Integral

zu lösen.

Wenn du das Feld scharf anschaust, kannst du auch schon direkt sehen, dass die Arbeit gleich null ist. Die x-Koordinate des Feldes ist nämlich wegen auf dem ganzen Ersatzweg gleich null. Die y-Komponente des Feldes kann sowieso keinen Beitrag leisten, weil sie auf jedem Wegelement senkrecht steht.
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