normierter Vektorraum, Metrik

22.11.2006, 20:55

Dr. Logik

normierter Vektorraum, Metrik

Hallo!

Habe ein Problem mit folgender Aufgabe:

Zeigen Sie: ist $\begin{eqnarray*} (E,\| \cdot \parallel) \end{eqnarray*}$ ein normierter Vektorraum, so gilt für $\begin{eqnarray*} A\subset E \end{eqnarray*}$ : A ist beschränkt in der von der Norm erzeugten Metrik $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ es gibt ein M > 0 mit $\begin{eqnarray*} \| a \parallel \leqslant M \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} a \in A \end{eqnarray*}$ .

Leider muss ich gestehen, dass ich überhaupt keine Ahnung habe, wie ich hier überhaupt anfangen soll. Kann mir jemand vielleicht einen Tipp geben, wie mein erster Schritt auszusehen hat?

Viele Grüße, Dr. Logik

22.11.2006, 22:07

Abakus

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RE: normierter Vektorraum, Metrik

Zitat:

Original von Dr. Logik
... A ist beschränkt in der von der Norm erzeugten Metrik ...

Erstmal zurückgefragt: wie ist denn diese Beschränktheit von A mit der Metrik definiert ?

Grüße Abakus smile

22.11.2006, 22:27

Dr. Logik

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RE: normierter Vektorraum, Metrik
Wir haben beschränkt so definiert:

A heißt beschränkt, falls ein $\begin{eqnarray*} M \geqslant 0 \end{eqnarray*}$ existiert mit $\begin{eqnarray*} d(x,y) \leqslant M \end{eqnarray*}$ für alle x,y Element A. Außerdem haben wir den Durchmesser von A als Supremum von d(x,y) definiert. Also diam(A):=sup d(x,y).

Leider weiß ich z.B. mit dem Ausdruck "diam" nichts anzufangen (außer das, was oben schon steht.)

Kann es sein, dass ich mit der abgeschlossenen $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ -Kugel argumentieren muss oder liege ich da komplett falsch?

22.11.2006, 22:48

Abakus

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RE: normierter Vektorraum, Metrik
Gut, damit sind die Voraussetzungen ja erklärt.

Du musst nun 2 Folgerichtungen zeigen:

1. die Hinrichtung folgt mit der Dreiecksungleichung der Norm, das kannst du hinschreiben: $\begin{eqnarray*} d(x, y) = \mid \mid x - y \mid \mid \leq ... \end{eqnarray*}$

2. die Rückrichtung folgt auch mit der Dreiecksungleichung, hier kannst du etwas knobeln

Grüße Abakus smile

EDIT: "diam" heißt einfach diameter (Durchmesser)

22.11.2006, 23:02

Dr. Logik

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RE: normierter Vektorraum, Metrik
ok. Vielen Dank schon mal, Abakus. Freude

Dann werd ich das jetzt mal so probieren. Falls ich wieder Probleme hab, meld ich mich nochmal.

Cu!

22.11.2006, 23:42

Dr. Logik

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RE: normierter Vektorraum, Metrik
Also so ganz komme ich glaube ich doch nicht damit zurecht.

Ich probiers mal soweit ich bis jetzt gekommen bin:

A ist beschränkt, falls ein $\begin{eqnarray*} d(x,y)=\| x-y \parallel \leqslant M \end{eqnarray*}$ . existiert. Die Dreiecksungleichung der Norm besagt, dass $\begin{eqnarray*} \| x-y \parallel \leqslant \|x-z \parallel +\|z-y| \end{eqnarray*}$ gilt.
Sei A beschränkt. Setze $\begin{eqnarray*} d(x,y):= \|a \parallel \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} d(x,z)+d(z,y):=M \end{eqnarray*}$
Dann folgt unter der Voraussetzung A sei beschränkt: $\begin{eqnarray*} \|a \parallel \leqslant M \end{eqnarray*}$

Ich glaube, dass das so nicht ganz in Ordnung ist oder? Sonst kann ich ja die Rückrichtung sofort wieder daraus folgern, indem ich einfach die Schritte rückwärts gehe. Hab bestimmt irgendwo nen Fehler gemacht. traurig

22.11.2006, 23:51

Mazze

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Schau Dir mal das hier an

$\begin{eqnarray*} ||x - x|| \leq M \end{eqnarray*}$

Und benutzte die Dreiecksungleichung mit z = 0.

edit: Das M/2 brauchste garnicht ^^

edit2: Hm ich scheine schon zu schlafen, also das geht so nur wenn die 0 in A liegt. Wenn 0 aber nicht in A liegt ist, da a beschränkt ist, irgendwo ein Maximum z so das $\begin{eqnarray*} d(x,y) \leq d(z,0) \| x,y,z \in A \end{eqnarray*}$ was Konstant ist. Da muss man aber das Argument für die Existenz des Maximums besser begründen, sollte man also wohl anders machen.

23.11.2006, 00:11

Dr. Logik

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Sorry, aber so ganz sehe ich noch nicht, warauf du hinaus willst unglücklich

Wenn ich die Dreiecksungleichung mit z=0 benutze, dann komme ich zu:

$\begin{eqnarray*} \|x-y \parallel \leqslant \|x\parallel + \|y \parallel \end{eqnarray*}$

aber das bringt mir ja jetzt auch nicht allzu viel.
Und ich hab ja auch noch nicht $\begin{eqnarray*} \|x-x \parallel \geqslant M \end{eqnarray*}$ verwendet verwirrt

.

Komme da irgendwie nicht weiter mit.

23.11.2006, 00:15

Mazze

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Du sollst die Dreiecksungleichung mit z = 0 auf $\begin{eqnarray*} ||x - x|| \end{eqnarray*}$ anwenden. Und sieh Dir meinen zweiten edit an.

23.11.2006, 00:37

Dr. Logik

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Zitat:

Original von Mazze
Du sollst die Dreiecksungleichung mit z = 0 auf $\begin{eqnarray*} ||x - x|| \end{eqnarray*}$ anwenden. Und sieh Dir meinen zweiten edit an.

Irgendwie check ichs nit. Wie soll ich denn die Dreiecksungleichung mit z=0 auf $\begin{eqnarray*} \|x-x\parallel \end{eqnarray*}$ anwenden?

meinst du vielleicht sowas: $\begin{eqnarray*} \|x-x \parallel \leqslant \|x-0 \parallel + \|0-x \parallel= \|x \parallel + \|x \parallel \end{eqnarray*}$ ?

Glaub das hat jetzt keinen Sinn im Moment. Naja. Werd mal drüber schlafen. Vielleicht gehts ja morgen in meine Birne Hammer

Gute Nacht dann und trotzdem schon mal Danke!

23.11.2006, 00:39

Mazze

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Wenn die 0 in A ist und $\begin{eqnarray*} ||x - y|| \leq M \end{eqnarray*}$ dann ist doch wohl auch $\begin{eqnarray*} ||x - 0|| \leq M,||0 - x|| \leq M \end{eqnarray*}$

dann steht da

$\begin{eqnarray*} ||x - 0|| + ||0 - x || \leq 2M \end{eqnarray*}$

und den Rest packste jetzt sicher.

Aber wie gesagt, das geht so nur wenn die 0 in A ist. Ich denke da gibt es eine viel elegantere Argumentation und auch ich werde mal drüber schlafen Augenzwinkern

23.11.2006, 13:23

Abakus

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RE: normierter Vektorraum, Metrik

Zitat:

Original von Abakus
1. die Hinrichtung folgt mit der Dreiecksungleichung der Norm, das kannst du hinschreiben: $\begin{eqnarray*} d(x, y) = \mid \mid x - y \mid \mid \leq ... \end{eqnarray*}$

Also so kompliziert ist das nicht:

$\begin{eqnarray*} d(x, y) = \mid \mid x - y \mid \mid ~\leq~ \mid \mid x \mid \mid + \mid \mid y \mid \mid~ \leq 2~ \cdot M \end{eqnarray*}$

Andersrum:

$\begin{eqnarray*} d(a, 0) = \mid \mid a \mid \mid ~\leq ~d(a, x) + d(x, 0)~ \leq~ M + \mid \mid x \mid \mid~=: M' \end{eqnarray*}$ ,

wobei hier das $\begin{eqnarray*} x \in A \end{eqnarray*}$ fest gewählt ist.

Grüße Abakus smile

23.11.2006, 18:10

Dr. Logik

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RE: normierter Vektorraum, Metrik

Zitat:

Original von Abakus

$\begin{eqnarray*} d(x, y) = \mid \mid x - y \mid \mid ~\leq~ \mid \mid x \mid \mid + \mid \mid y \mid \mid~ \leq 2~ \cdot M \end{eqnarray*}$

Also, wenn ich das richtig sehe, hast du jetzt wie Abakus z=0 gesetzt oder? und dann gesagt, dass $\begin{eqnarray*} \| x-0 \parallel + \|0-x \parallel ~\leq 2M \end{eqnarray*}$ ist. Für $\begin{eqnarray*} x>y \end{eqnarray*}$ folgt dann das dort oben daraus. Aber dafür hast du doch vorausgesetzt, dass $\begin{eqnarray*} \|x \parallel ~\leq M \end{eqnarray*}$ ist und das muss man doch erst beweisen oder stehe ich grad wieder total aufm Schlauch?

Zitat:

$\begin{eqnarray*} d(a, 0) = \mid \mid a \mid \mid ~\leq ~d(a, x) + d(x, 0)~ \leq~ M + \mid \mid x \mid \mid~=: M' \end{eqnarray*}$ ,

wobei hier das $\begin{eqnarray*} x \in A \end{eqnarray*}$ fest gewählt ist.

Das geht doch auch nur, wenn 0 in A liegt (so wie Mazze das gemeint hat.) Allerdings hab ich mir überlegt, 0 muss ja in A liegen, sonst wäre die Norm ja gar nicht definiert, oder?

Viele Grüße, Dr. Logik

23.11.2006, 19:05

Abakus

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RE: normierter Vektorraum, Metrik
Ich sehe gerade, ich habe oben die Schlußrichtungen nicht richtig zugeordnet und dadurch leichte Verwirrung gestiftet verwirrt

. Daher hier nochmal vollständig:

Zunächst stellen wir fest, dass die Behauptung für die leere Menge richtig ist und setzen nunmehr oE A nichtleer voraus.

zur Rückrichtung:

Voraussetzung: es gelte $\begin{eqnarray*} \mid \mid a \mid \mid~\leq ~M \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} a \in A \end{eqnarray*}$

Dann gilt für alle $\begin{eqnarray*} x, y \in A ~ \end{eqnarray*}$ folgendes:

$\begin{eqnarray*} d(x, y) = \mid \mid x - y \mid \mid ~\leq~ \mid \mid x \mid \mid + \mid \mid y \mid \mid~ \leq 2~ \cdot M \end{eqnarray*}$

Dies gilt auch für das Supremum aller x, y, daher $\begin{eqnarray*} diam(A) \leq 2M \end{eqnarray*}$ .

(Die benutzte Ungleichung ist die Dreiecksungleichung für die Norm.)

zur Hinrichtung:

Voraussetzung: $\begin{eqnarray*} d(x, y) \leq M \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x, y \in A \end{eqnarray*}$

Sei nun $\begin{eqnarray*} z \in A \end{eqnarray*}$ fest gewählt. Dann gilt für alle $\begin{eqnarray*} a \in A \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \mid \mid a \mid \mid = d(a, 0) ~\leq ~d(a, z) + d(z, 0)~ \leq~ M + \mid \mid z \mid \mid~=: M' \end{eqnarray*}$

Damit ist A bzgl. der Norm beschränkt.

(Da z fest gewählt ist, ist der Betrag von z natürlich eine Konstante.)

Grüße Abakus smile

23.11.2006, 19:50

Dr. Logik

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RE: normierter Vektorraum, Metrik
jetzt hab ich's verstanden! Big Laugh

Danke, Abakus!

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