Aufgabe mit Stammfunktionen |
| 11.01.2011, 19:37 | Patil | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Aufgabe mit Stammfunktionen Hallo, ich übe gerade für meine Mathearbeit und habe eine Aufgabe, bei der ich mich überhaupt nicht zurechtfinden: a) Das Schaubild einer Stammfunktion von f(x) = x^3 hat in den Schnittpunkten mit der x-Achse Tangenten, die orthogonal zueinander sind. Bestimmen Sie diese Funktion. b) Welche Stammfunktionen von f mit f(x) = 1-3x haben nur negative Funktionswerte? c) Welche Stammfunktionen von f mit f(x) = x^2 haben an ihrer Nullstelle die Ableitung 2? Hoffe, mir kann das jemand gut erklären. Danke! Meine Ideen: Also die Stammfunktionen kann ich ja jeweils selbst bilden: a) F(x)= (1/4)x^4 b) F(x)= x-(3/2)x^3 c) F(x)= (1/3)x^3 Aber dann weiß ich wirklich nicht weiter... |
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| 11.01.2011, 19:42 | Seawave | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Aufgabe mit Stammfunktionen zu a) Hierbei wird jetzt wichtig, dass es nicht nur eine Stammfunktion F(x) gibt, sondern unendlich viele. Nämlich Jetzt überleg dir, welche Informationen du über die gesuchte Funktion gegeben hast. |
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| 11.01.2011, 19:49 | Patil | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Aufgabe mit Stammfunktionen Das weiß ich schon, aber bei a) beispielsweise müssen ja die Tangenten orthogonal sein, dafür brauche ich die Steigung m. Und F'(x) ist ja die Steigung der Tangenten. Wenn ich das ja ableite, bekomme ich doch aber wieder x^3. Ohne c... ich komm einfach nicht weiter. |
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| 11.01.2011, 19:55 | Seawave | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Aufgabe mit Stammfunktionen Das ist richtig. Du brauchst die Tangenten an den beiden Schnittpunkten mit der x-Achse. Also musst du erst diese Schnittpunkte von F(x) mit der x-Achse ausrechnen. Dazu setzt du F(x) = 0, dann erhälst du die Schnittstellen in Abhängigkeit von c. Dann kannst du diese Schnittstellen in die Ableitung = Ausgangsfunktion einsetzen. Dadurch erhälst du die beiden Steigungen. Ich muss zugeben, dass die Terme, die da rauskommen, sehr unschön sind, ich rechne die Aufgabe grade durch. |
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| 11.01.2011, 20:08 | Patil | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Aufgabe mit Stammfunktionen Muss es dann lauten: (1/4)x^4 +c =0 ? Dann mal 4...: x^4 + 4c =0 x^4 = -4c x = 4. Wurzel aus -4c ... das geht doch gar nnicht. Tut mir leid, ich stehe auf dem Schlauch. |
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| 11.01.2011, 20:10 | Seawave | Auf diesen Beitrag antworten » |
RE: Aufgabe mit Stammfunktionen
Doch, unter der Voraussetzung c<= 0 geht das. Dann wird der Term unter der Wurzel ja positiv. Für positive c würde es nicht gehen, da hast du völlig recht. Achja: Es gibt zwei Lösungen. Was darf man beim Wurzelziehen nie vergessen? |
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| 11.01.2011, 20:21 | Patil | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Aufgabe mit Stammfunktionen Beim Wurzelziehen immer eine positive und negative Lösung^^ schon klar. Aber ganz ehrlich... ich weiß immer noch nicht, wie ich dann weiter rechne. Wärst du so nett und sagst mir bitte die Stammfunktion, dann kann ich vielleicht drauf kommen. Aber so bin ich einfach immer wegen dem c verwirrt. |
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| 11.01.2011, 20:36 | Seawave | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Aufgabe mit Stammfunktionen Genau. Jetzt setzt du die positive Wurzel in die Ableitung, sprich Ausgangsfunktion ein. Ebenso die negative Wurzel. Damit bestimmst du die Tangentensteigungen in den beiden Schnittpunkten. Da die Tangenten aufeinander orthogonal sein sollen, setzt du in das Orthogonalitätskriterium ein: m1 * m2 = -1 Und das versuchst du letztlich nach c aufzulösen. Ich könnte dir jetzt sagen, was rauskommt, aber das bringt dir nichts. Sinnvoller ist es, wenn wir zusammen den Lösungsweg erarbeiten. Sobald du hängen bleibst, helf ich dir :-) |
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| 11.01.2011, 20:47 | Patil | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Aufgabe mit Stammfunktionen Aber wie komme ich denn auf m1 ? Ich habe jetzt mal den einen Schnittpunkt S1 ( 4. Wurzel aus -4c/ (4.Wu aus -4c)^3) Stimmt das? Und wenn ja, wie komme ich nun auf m? |
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| 11.01.2011, 20:52 | Seawave | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Aufgabe mit Stammfunktionen Richtig, aber schreib das nicht als Punkt. Der rechte Term ist der Wert der ersten Ableitung an der Stelle vierte Wurzel (-4c) und nicht der Funktionswert vom Schnittpunkt (der wäre 0, weil es sich um einen Schnittpunkt mit der x-Achse handelt). Die Ableitung an der Stelle vierte Wurzel (-4c) ist gleich der Tangentensteigung. Genau das, was du gerade berechnet hast, ist also m1. Um m2 zu berechnen, ermittelst du jetzt via einsetzen die Ableitung an der Stelle der negativen Wurzel. |
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| 11.01.2011, 20:58 | Patil | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Aufgabe mit Stammfunktionen Ok 
Und wie komme ich von m1 und m2 nun auf den Wert von c? |
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| 11.01.2011, 21:05 | Seawave | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Aufgabe mit Stammfunktionen Die beiden Tangenten sollen orthogonal (=senkrecht) aufeinander sein. D.h. für ihre Steigungen gilt das Orthonogalitätskriterium. m1 * m2 =-1 Da setzt du jetzt deine Werte für m1 und m2 ein. Dann hast du nur noch die Unbekannte c. Ergo kannst du die Gleichung nach c auflösen, und dann erhälst du dein c für die Stammfunktion =) |
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