Integral - Korrekt?

11.01.2011, 20:06

Ibn Batuta

Integral - Korrekt?

Hallo,

da ich mir meiner Schritte unsicher bin, würde ich gerne euch Experten noch fragen, ob mein Integrationsversuch richtig ist.

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac x {\sqrt{1-x^2}} dx \end{eqnarray*}$

Substituiere:
$\begin{eqnarray*} x = \phi(x) = \sin(t) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{\text{dx}}{\text{dt}}=\cos(t) \Rightarrow \text{dx}=\cos(t)\text{dt} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t = \arcsin(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac x {\sqrt{1-x^2}} dx= \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{\sin t\cdot \cos t}{\sqrt{1-\sin^2 t}}dt=\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{\sin t\cdot \cos t}{\cos t}dt = \int_{0}^{\frac{1}{2}} \sin t dt = [-\cos(t)]_{0}^{\frac{1}{2}}=[-\cos(\arcsin(x))]_{0}^{\frac{1}{2}}= \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -\cos(\arcsin(\frac 1 2))+\cos(\arcsin(0))=-\cos 30 + \cos 0 = -\cos 30 + 1 = 1- \cos 30 = 0.84574855... \end{eqnarray*}$

Ibn Batuta

11.01.2011, 20:12

Equester

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Das ist nicht korrekt.

Versuche dich doch mit einer anderen Substitution: 1-x²=t

P.S.: Substituierst du, dann auch die Grenzen! Augenzwinkern

11.01.2011, 20:17

Ibn Batuta

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Danke Equester für Deine Antwort. Da ich den Fehler nicht sehe, wo steckt er denn?

Ibn Batuta

11.01.2011, 20:19

Mulder

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Deine Stammfunktion ist richtig. Warum du hier allerdings nicht die viel einfachere Substitution

$\begin{eqnarray*} 1-x^2=t \end{eqnarray*}$

verwendet hast, bleibt wohl dein Geheimnis. Augenzwinkern

Latex-Tipp: Die Differentiale musst du nicht unbedingt in Text-Tags packen, da funktioniert auch ein schlichtes \dd t. Oder im Falle von x auch ganz simpel \dx. Wenn du es da schon besonders formschön machen willst. Augenzwinkern

Und wenn du substituierst, bitte nicht die alten Grenzen mitschleppen. Entweder erstmal unbestimmt integrieren, oder die Grenzen mitsubstituieren.

Beim Einsetzen scheint aber der Wurm drin zu sein, ich komme auf etwas anderes. Aber ich muss auch nicht so umständlich rumrechnen, wenn ich wie oben vorgeschlagen substituiere.

Dieses Bild widerlegt dein Ergebnis auch. Ich komme auf ungefähr 0,13.

Edit: Oh, da war ich wohl sehr langsam.

11.01.2011, 20:21

Ibn Batuta

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Danke dir wieder mal Mulder für deine ausführliche Antwort! Ihr seid echt spitze.

Der Grund, warum ich nicht $\begin{eqnarray*} t = 1-x^2 \end{eqnarray*}$ verwendet habe, ist, dass ich nicht weiß, wie ich damit umgehen soll. smile

Was stünde denn dann im Zähler für das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ?

Ibn Batuta

11.01.2011, 20:21

Equester

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Zitat:

Original von Ibn Batuta
Danke Equester für Deine Antwort. Da ich den Fehler nicht sehe, wo steckt er denn?

Ibn Batuta

Wie von uns beiden erwähnt: Grenzen sind bei Dir das Problem.

@Mulder: Bei so viel Aufwand darfst du gerne weitermachen Freude

11.01.2011, 20:25

Ibn Batuta

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Verstehe.

Also... da ich wie folgt substituiert habe: $\begin{eqnarray*} x = \sin t \end{eqnarray*}$

Sind meine Grenzen dann folgende?

$\begin{eqnarray*} t = \arcsin(0) = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} t = \arcsin(\frac 1 2) = 30 \end{eqnarray*}$

Edit: Dann komme ich bei meinem Integral wieder auf dasselbe Ergebnis. verwirrt

Ibn Batuta

11.01.2011, 20:29

Equester

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Wenn ich das noch kurz einwerfen darf.

Du arbeitest mit degree. Es ist aber Radian gefragt.
arcsin(0,5)=0,52359...

Probiers mal damit Augenzwinkern

11.01.2011, 20:30

Mulder

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Die Grenzen an sich sind nicht das Problem, das war nur ein formaler Einwand meinerseits, weil die alten Grenzen nicht dazugeschrieben werden dürfen, solange du mit der neuen Variablen t arbeitest.

Das eigentliche Problem ist, dass du teils im Gradmaß, teils im Bogenmaß arbeitest.

Edit: Okay, jetzt bin ich aber dann doch raus. Ich bin sowieso immer der Lahmarsch. Big Laugh

11.01.2011, 20:37

Ibn Batuta

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Ihr bleibt beide da, weil ihr beide das Klasse macht. Big Laugh

So, dann sieht das ganze nun wie folgt aus:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac x {\sqrt{1-x^2}} dx= \int_{0}^{\arcsin(0.5)} \frac{\sin t\cdot \cos t}{\sqrt{1-\sin^2 t}}dt=\int_{0}^{\arcsin(0.5)} \frac{\sin t\cdot \cos t}{\cos t}dt = \int_{0}^{\arcsin(0.5)} \sin t dt = [-\cos(t)]_{0}^{\arcsin(0.5)}= \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -\cos(\arcsin(0.5))+\cos(\arcsin(0))= -\cos(\arcsin 0.5) + 1 = 1- \cos(\arcsin 0.5) = 0.1339745... \end{eqnarray*}$

Danke euch beiden!

Wie sieht das mit eurer Substitution aus?

Ibn Batuta

11.01.2011, 20:41

Mulder

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RE: Integral - Korrekt?

Zitat:

Original von Ibn Batuta
Wie sieht das mit eurer Substitution aus?

Probier's aus. Augenzwinkern

Das Vorgehen ist völlig analog wie bei deinem Weg. Nur ist es etwas kürzer und kommt ohne den trigonometrischen Hickhack aus.

11.01.2011, 20:45

Ibn Batuta

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Geht klar. Freude

Werde in Kürze hoffentlich berichten. smile

Ibn Batuta

11.01.2011, 21:29

Ibn Batuta

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Ihr hattet Recht. Das ist viel einfacher.

Substituiere:

$\begin{eqnarray*} t = 1 - x^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{\dd t}{\dx}= -2x\Rightarrow x\dx=-0.5\dd t \end{eqnarray*}$

Untere Grenze = 1 - 0 = 1
Obere Grenze = 1 - 0.5^2 = 0.75

$\begin{eqnarray*} \int_1^{0.75} \frac{-0.5}{\sqrt{t}}\dx=-0.5\int_1^{0.75} \frac 1 {\sqrt{t}}=-\cdot[\sqrt t]_1^{0.75}=-(\sqrt 0.75)+1=1-\sqrt 0.75=0.1339745... \end{eqnarray*}$

Ibn Batuta

11.01.2011, 21:36

Equester

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So passts

12.01.2011, 18:40

Ibn Batuta

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Perfekt.

Ich hänge gerade am folgenden Integral...

$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{1} e^{3x-e^x} dx \end{eqnarray*}$

Kann von euch jemand mir einen Tipp geben, wie hier zu substituieren ist?

Danke. smile

Ibn Batuta

12.01.2011, 18:53

Mulder

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RE: Integral - Korrekt?
Du kannst mit

$\begin{eqnarray*} e^x=t \end{eqnarray*}$

substituieren. Vorher solltest du aber noch ein bisschen umformen (Potenzgesetze anschauen).

12.01.2011, 23:05

Ibn Batuta

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Danke Mulder für den Tipp.

$\begin{eqnarray*} t = e^x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac {\dd t}{\dx} = e^x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \dd t = e^x \dx \end{eqnarray*}$

Neue untere Grenze: $\begin{eqnarray*} e^{-1} \end{eqnarray*}$
Neue obere Grenze: $\begin{eqnarray*} e^1=e \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{1} e^{3x-e^x} \dx=\int_{-1}^{1} e^{3x}\cdot e^{-e^x}\dx=\int_{-1}^{1} {(e^x)}^3\cdot e^{-e^x}\dx=\int_{e^{-1}}^e e^{-t} dt=[-e^{-t}]_{e^{-1}}^e=-e^{-e}+e^1=2,65229379... \end{eqnarray*}$

Ist das so korrekt? Danke euch.

Ibn Batuta

13.01.2011, 01:18

Mulder

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RE: Integral - Korrekt?
Mir erschließt sich nicht so ganz, was hier

Zitat:

Original von Ibn Batuta
$\begin{eqnarray*} ... = \int_{-1}^{1} {(e^x)}^3\cdot e^{-e^x}\dx=\int_{e^{-1}}^e e^{-t} dt = ... \end{eqnarray*}$

passiert. Warum verschwinden die (e^x)³ einfach?

13.01.2011, 13:38

Ibn Batuta

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Äh, ja das ist natürlich ein ordentlicher Bock, keine Ahnung, wie das zustande kam... So sollte es korrekt sein.

$\begin{eqnarray*} ...\int_{-1}^{1} {(e^x)}^3\cdot e^{-e^x}\dx=\int_{-1}^{1} e^{-e^x}\cdot(e^x)\cdot(e^x)\cdot(e^x)\dx=\int_{e^{-1}}^e e^{-t}t^2\dd t \end{eqnarray*}$

Partielle Integration. Dabei soll $\begin{eqnarray*} f'(t) = e^{-t} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(t)=t^2 \end{eqnarray*}$ sein.

Wende an.

$\begin{eqnarray*} \int_{e^{-1}}^e e^{-t}t^2\dd t=[(-e^{-t})t^2]_{e^{-1}}^e-\int_{e^{-1}}^e -e^{-t}2t\dd t=[(-e^{-t})t^2]_{e^{-1}}^e+\int_{e^{-1}}^e e^{-t}2t\dd t=[(-e^{-t})t^2]_{e^{-1}}^e+[(-e^{-t})2t]_{e^{-1}}^e+2\int_{e^{-1}}^e e^{-t}\dd t= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} [(-e^{-t})t^2]_{e^{-1}}^e+[(-e^{-t})2t]_{e^{-1}}^e+2[(-e^{-t})]_{e^{-1}}^e=\left( (-e^{-e})e^2+e^{-e^{-1}}e^{-2} \right) + \left( (-e^{-e})2e+(e^{-e^{-1}})2e^{-1} \right)+2\left( (-e^{-e})+e^{-e^{-1}} \right)= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{-2-\frac 1 e}+2 e^{-1-\frac 1 e}-2 e^{1-e}-e^{2-e}+2 (e^{-\frac 1 e}-e^{-e})=1.00905965530670114.... \end{eqnarray*}$

Ibn Batuta

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