Transformation Normalverteilung zur Standardnormalverteilung

11.01.2011, 21:26

andres

Transformation Normalverteilung zur Standardnormalverteilung

Hi,

ich soll eine Transformation der Normalverteilung zur Standardnormalverteilung durchführen!

$\begin{eqnarray*} N(\mu, \sigma) --> N(0,1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}+\sigma }\int_\infty ^{x} \! e^{-\frac{1}{2}(\frac{t-\mu}{\sigma})^{2} } \, dt \end{eqnarray*}$

setze $\begin{eqnarray*} u=\frac{t-\mu }{\sigma } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{du}{dt}=\frac{1}{\sigma } \end{eqnarray*}$

=> $\begin{eqnarray*} dt=du*\sigma \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}+\sigma }\int_\frac{\infty -\mu}{\sigma} ^\frac{x-\mu }{\sigma } \! e^{-\frac{1}{2}(\frac{t-\mu}{\sigma})^{2} } \, du*\sigma \end{eqnarray*}$

Was ich nicht verstehe:

Wie komme ich hier auf die neue obere und untere Integrationsgrenze?

Also auf $\begin{eqnarray*} \frac{\infty -\mu}{\sigma} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \frac{x-\mu }{\sigma } \end{eqnarray*}$ ?

Danke

11.01.2011, 21:32

René Gruber

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Zitat:

Original von andres
$\begin{eqnarray*} F(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}+\sigma }\int_\infty ^{x} \! e^{-\frac{1}{2}(\frac{t-\mu}{\sigma})^{2} } \, dt \end{eqnarray*}$

Da sind diverse Fehler drin - richtig ist

$\begin{eqnarray*} F(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi} \cdot \sigma }\int_{-\infty} ^{x} \! e^{-\frac{1}{2}(\frac{t-\mu}{\sigma})^{2} } \, \dd t \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von andres
Wie komme ich hier auf die neue obere und untere Integrationsgrenze?

Da hast du wohl in der Schule beim Thema "Integralsubstitution" gefehlt? Augenzwinkern

Die Integralgrenzen eines bestimmten Integrals müssen bei der Substitution $\begin{eqnarray*} u=\frac{t-\mu }{\sigma } \end{eqnarray*}$ ebenfalls dieser entsprechenden Substitutionstransformation unterzogen werden - und nichts anderes passiert hier.

11.01.2011, 21:36

andres

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Transformation Normalverteilung zur Standardnormalverteilung
Gibt es denn eine allgemeine Formel für diese Integralsubstitution?
Wie gehe ich genau vor?

12.01.2011, 17:13

andres

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Ich verstehe es nicht...

Wieso wird denn im Fall der oberen Integrationsgrenze das x durch $\begin{eqnarray*} \frac{x-\mu }{\sigma } \end{eqnarray*}$ ersetzt?

es soll doch nur $\begin{eqnarray*} u=\frac{t-\mu }{\sigma } \end{eqnarray*}$ gesetzt werden.
Was hat das x denn damit zu tun? Es kommt doch in $\begin{eqnarray*} u=\frac{t-\mu }{\sigma } \end{eqnarray*}$ gar nicht vor. Folglich kann doch das x meiner Meinung nach gar nicht substituiert werden.
Dasselbe für die untere Integrationsgrenze.

Es wäre vielleicht hilfreich wenn mir jemand die Rechenschritte für die Substitution der oberen Integrationsgrenze ausführlich hinschreiben könnte.

Danke

12.01.2011, 17:28

René Gruber

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Du solltest dich auch mal selbst bemühen, die dir ganz offensichtlich fehlenden schulischen Grundkenntnisse in Integralsubstitution eigenständig nachzuholen (wenn's sein muss, genügt sogar Wikipedia).

@Moderatoren

Vielleicht ist es zu dem Zweck auch besser, diesen Thread von "Hochschulmathematik | Stochastik" zu "Schulmathematik | Analysis" zu verschieben, da trifft die Anfrage sicher auf mehr Verständnis.

12.01.2011, 17:37

andres

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Ich versuche doch schon die ganze Zeit es zu verstehen.
Habe die Substitution ja fast fertig. Das einzige was ich nicht verstehe ist nunmal die Substitution der Integralgrenzen.
Hier habe ich einfach überhaupt keinen Ansatz. Ich habe ja im Beitrag vorher geschrieben wie ich es sehe.

Wie soll ich denn was hinschreiben wenn ich noch nichtmal einen Ansatz habe?

Dann gib mir doch bitte einen Denkanstoss, wenn es doch deiner Meinung nach so easy ist.

12.01.2011, 18:04

René Gruber

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Was soll ich da noch sagen? Es geht um nicht mehr als die technisch richtige Durchführung der Integralsubstitution

Zitat:

Formel aus http://de.wikipedia.org/wiki/Integration_durch_Substitution , gleich am Anfang:

$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b} f(\varphi(t)) \cdot \varphi'(t)\,\mathrm{d}t = \int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(x)\,\mathrm{d}x \end{eqnarray*}$ .

im vorliegenden Fall mit Substitutionsfunktion $\begin{eqnarray*} \varphi(t) = \frac{t-\mu}{\sigma} \end{eqnarray*}$ .

Du bist anscheinend der Meinung, dich darüber hinwegsetzen zu können und stattdessen die falsche Variante

$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b} f(\varphi(t)) \cdot \varphi'(t)\,\mathrm{d}t \stackrel{?}{=} \int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x \end{eqnarray*}$

nehmen zu können - da bist du schlicht im Irrtum. unglücklich

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