Geschlossene Formel einer Potenzreihe

11.01.2011, 22:36

Bmeise

Geschlossene Formel einer Potenzreihe

Also die Aufgabe ist im konvergenzbereich für die Potenzreihe:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty n^2*x^n \end{eqnarray*}$

eine geschlossene Formel zu finden.

Und mir fehlt einfach die Idee. Als Tipp wird auf das cauchy Produkt bekannter reihen verwiesen.

Da würde mir spontan einfallen das die formel für die gleiche summe nur ohne quadrat am n also n*x^n

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{(1-x)^2} \end{eqnarray*}$

ist. Aber ich weiß weder wie mir das helfen soll noch sonst was. Wie kann man wissen mit was man die Summe ganz oben multiplizieren muss, oder wie man andere summen multiplizieren muss die das gleiche ergeben? Mir fehlt da echt jeglicher Ansatz unglücklich

11.01.2011, 23:26

Manni Feinbein

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RE: Geschlossene Formel einer Potenzreihe
Berechne zunächst mal $\begin{eqnarray*} \left(\sum_{n=0}^\infty x^n\right)^2 \end{eqnarray*}$ mit dem Cauchyschen Multiplikationssatz für unendliche Reihen.

11.01.2011, 23:34

Bmeise

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dann krieg ich als summenform

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty (n+1)x^n \end{eqnarray*}$

was als geschlossene formel wohl 1/(1-x)^2 ist

Aber ehrlich seh ich nicht wie mir das weiterhilft. Ich weiß ja auch wie man mit Cauchy produkt und dem ganzen Zeug rechnet...aber ehrlich, ich seh einfach kein zusammenhang -.-

11.01.2011, 23:49

Manni Feinbein

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Richtig wäre folgendes Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} \frac 1{(1-x)^2}=\sum_{n=0}^\infty (n+1)x^n. \end{eqnarray*}$

Daraus folgt sofort:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty nx^n=\frac x{(1-x)^2}. \end{eqnarray*}$

Nun braucht es eigentlich nicht mehr viel Phantasie um dieses Resultat abermals einer Multiplikation mit der geom. Reihe zu unterziehen und daraus dann das gewünschte Ergebnis zu erhalten.

11.01.2011, 23:58

Bmeise

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öhm, wo isn der unterschied von dem was du gepostet hast und meinem Ergebnis?
ah mit'm index vertan..tippfehler sorry ^^

Also warum sofort daraus diese neue summe folgt ist für mich zwar nicht ersichtlich, aber eig. auch egal, da ich die als bekannt ansehe aus der Vorlesung (hab ich zumind. in meinen aufzeichnung rumgammeln)

Nur warum würdeste du diese 2. Summe aus deinem Post nochmals mit der Geometrischen reihe multiplizieren? Und warum ist das zwingend richtig?

Ich habs einfach mal gemacht und krieg als Ergebnis dann
-x/(x-1)^3

...der zähler is mir gefühlt irgendwie zu unvollständig. Oder hab ich mich da wiedermal verrechnet?

12.01.2011, 00:04

René Gruber

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Zitat:

Original von Bmeise
Nur warum würdeste du diese 2. Summe aus deinem Post nochmals mit der Geometrischen reihe multiplizieren?

Wenn du es einfach mal tust, dann siehst du es: Mit jeder erneuten Cauchy-Multiplikation erhöht sich der Polynomgrad des Potenzreihenkoeffizienten (Polynom mit Variable $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , versteht sich):

$\begin{eqnarray*} 1 \to (n+1) \to ? \end{eqnarray*}$

12.01.2011, 00:12

Manni Feinbein

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Zitat:

Original von Bmeise
Also warum sofort daraus diese neue summe folgt ist für mich zwar nicht ersichtlich, aber eig. auch egal, da ich die als bekannt ansehe aus der Vorlesung (hab ich zumind. in meinen aufzeichnung rumgammeln)

Ist es so ersichtlicher:
$\begin{eqnarray*} \frac 1{(1-x)^2}=\sum_{n=0}^\infty (n+1)x^n=\sum_{n=0}^\infty nx^n+\frac 1{1-x}? \end{eqnarray*}$

[/quote]
Nur warum würdeste du diese 2. Summe aus deinem Post nochmals mit der Geometrischen reihe multiplizieren? Und warum ist das zwingend richtig?
[/quote] Durch die erste Multiplikation haben sich die Summanden schon mal der gewünschten Form angenähert, dann ist es doch naheliegend das Ganze nochmal durchzuziehen in der Hoffnung die gewünschte Summe dann anzutreffen.

Zitat:

Original von Bmeise
Ich habs einfach mal gemacht und krieg als Ergebnis dann
-x/(x-1)^3

...der zähler is mir gefühlt irgendwie zu unvollständig. Oder hab ich mich da wiedermal verrechnet?

Als Ergebnis wovon erhältst Du diesen Term?

Es ist doch:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty nx^n\sum_{n=0}^\infty x^n=\frac 12\sum_{n=0}^\infty n(n+1)x^n \end{eqnarray*}$

und daraus kannst Du den gewünschten Reihenwert nun hoffentlich ermitteln.

12.01.2011, 00:17

Bmeise

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Schonmal vielen lieben Dank für die Hilfe zwischendurch. Aber mal ehrlich...wie kann man sowas nur wirklich verstehen? *g*
Spaß beiseite

Also:

$\begin{eqnarray*} (\sum\limits_{n=0}^\infty nx^n)*(\sum\limits_{n=0}^\infty x^n)=\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{n^2+n}{2}*x^n = - \frac{x}{(x-1)^3} \end{eqnarray*}$

kommt mir falsch vor...

denn da ist son halbe und ein n zu viel drin unglücklich

12.01.2011, 00:28

Manni Feinbein

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Da ich gleich in die Heia will ohne viel Umschweife nun:

$\begin{eqnarray*} \frac x{(1-x)^3}=\sum_{n=0}^\infty nx^n \sum_{n=0}^\infty x^n=\frac 12 \sum_{n=0}^\infty (n^2+n)x^n = \frac 12 \left( \sum_{n=0}^\infty n^2 x^n + \sum_{n=0}^\infty n x^n \right) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Bmeise
kommt mir falsch vor...

Dann hast Du vom Feeling her ein falsches Gefühl.

Zitat:

Original von Bmeise
denn da ist son halbe und ein n zu viel drin unglücklich

Du fängst zu schnell an zu flennen anstatt einfach mal konsequent durchzuziehen.

12.01.2011, 01:22

Bmeise

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Vielen Dank, ich habs jetzt endlich gerallt (hat ja lang genug gedauert)

mein "Zwischenergebnis" hatte ich fälschlicherweise für das endergebnis gehalten, ich hab nicht dran gedacht das man damit nochmal einen schritt weiterrechnen muss
letztlich hab ich jetzt:

$\begin{eqnarray*} -\frac{x^2+x}{(x-1)^3} \end{eqnarray*}$

Also merke: Bei der Aufgabe mithilfe von Cauchy produkten bekannter summen sich der gegebenen summe nähern, sodass man am ende etwas zusammengesetztes erhält was den gegebenen Therm in sich trägt, von dem man allerdings die geschl. Formel gewissermaßen kennt. Dann nochmal die ggb. summe freistellen und fertig.

Blub...ganz ehrlich, wäre ich never ever alleine drauf gekommen. Durchs ganze Internet und alle Bücher gewühlt, aber darauf wäre ich niemals selber gekommen :/

Also vielen dank Manni für deine Späten (endlich pennen) und sehr engagierten bemühungen, manch einer hätt die Geduld verloren. Tschüüüs

12.01.2011, 09:16

René Gruber

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Zitat:

Original von Bmeise
Blub...ganz ehrlich, wäre ich never ever alleine drauf gekommen. Durchs ganze Internet und alle Bücher gewühlt, aber darauf wäre ich niemals selber gekommen

Wenn man das ganze systematisch aufzieht, erkennt man übrigens, dass

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(1-x)^{k+1}} = \left( \sum_{n=0}^{\infty} x^n \right)^{k+1} \stackrel{!}{=} \sum_{n=0}^{\infty} \binom{n+k}{k} x^n \end{eqnarray*}$

für alle nichtnegativen ganzen Zahlen $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ sowie alle reellen (oder komplexen) Zahlen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |x|<1 \end{eqnarray*}$ gilt. Für $\begin{eqnarray*} k=0,1,2,3 \end{eqnarray*}$ bedeutet das (die rechte Seite ausgeschrieben)

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(1-x)^2} = \sum_{n=0}^{\infty} (n+1) x^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(1-x)^3} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(n+1)(n+2)}{2} x^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(1-x)^4} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{6} x^n \end{eqnarray*}$

Für ein Polynom zweiten Grades wie bei dir $\begin{eqnarray*} n^2 \end{eqnarray*}$ kann man nun nach einer Linearkombination

$\begin{eqnarray*} n^2 = a\frac{(n+1)(n+2)}{2} + b(n+1) + c \qquad (*) \end{eqnarray*}$ ,

suchen, wozu dann das Potenzreihenergebnis

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty} n^2 x^n = \frac{a}{(1-x)^3} + \frac{b}{(1-x)^2} + \frac{c}{1-x} \end{eqnarray*}$

gehört. Die Bestimmung der Koeffizienten $\begin{eqnarray*} a,b,c \end{eqnarray*}$ kann per Koeffizientenvergleich in (*) geschehen, hier wäre das $\begin{eqnarray*} a=2,b=-3,c=1 \end{eqnarray*}$ mit Ergebnis

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{(1-x)^3} - \frac{3}{(1-x)^2} + \frac{1}{1-x} = \frac{2-3(1-x)+(1-x)^2}{(1-x)^3} = \frac{x+x^2}{(1-x)^3} \end{eqnarray*}$ .

12.01.2011, 11:39

Manni Feinbein

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Tja, Bmeise da hat René Gruber Dir aber mal den Weg zu ein paar Sonderpunkten geebnet.

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