Überprüfung eines Eigenvektors

11.01.2011, 23:57	Plik	Auf diesen Beitrag antworten »
Überprüfung eines Eigenvektors Hallo zusammen, ich soll überprüfen ob ein Vektor $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , ein Eigenvektor einer Matrix $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1-\lambda & 2 & -5 \\ 3 & 2-\lambda & 0 \\ 0 & 2 & -1-\lambda \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ist! Die Rechnung ist kein Problem, ich weiß nur nicht, was dann das entscheidene Kriterium ist. Ich habe die Matrix mit dem Vektor nach der Bedinung $\begin{eqnarray} (A - \lambda E)\vec{x} =0 \end{eqnarray}$ multipliziert. Dann kommt das heraus: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -\lambda -11 \\ 1+\lambda \\ -4-2\lambda \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Dann kann ich daraus die $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ erkennen: $\begin{eqnarray} \lambda =-11 , \lambda =-1 , \lambda =-2 \end{eqnarray}$ Woran erkenn ich denn ob der Vektor ein Eigenvektor ist? Dies sollte aus der Lösung keiner sein.
12.01.2011, 00:07	hnky	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo, um zu überprüfen, ob ein vektor ein eigenvektor einer matrix ist, musst du einfach nur die matrix mit dem vektor multiplizieren. dieser wird, falls er ein eigenvektor ist, auf ein vielfaches seiner selbst abgebildet(das vielfache ist der eigenwert). wenn also A deine matrix, v dein eigenvektor und a dein eigenwert ist, hat das ganze die form $\begin{eqnarray} Av=av \end{eqnarray}$ .
12.01.2011, 00:51	Plik	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, so hab ich mir das auch gedacht. Hab jetzt mal ein paar durch gerechnet und sieht auch gut aus, nur an einem Beispiel beiß ich mir schon die ganze Zeit die Zähne aus, vielleicht könnt ihr das mal kurz überprüfen? Ich habs zu Fuß gerechnet und auch mal mit dem online Programm überprüft, der Vektor $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ist auf jeden Fall ein Eigenvektor von $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 1 & 0 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ bei mir kommt aber nach der Rechnung für alle $\begin{eqnarray} \lambda = 5 \end{eqnarray}$ raus. $\begin{eqnarray} 4-\lambda + 0 + 1 = 5-\lambda \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2+2(3-\lambda)+2 = 10-2\lambda \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1+0+(4-\lambda)=5-\lambda \end{eqnarray}$ Eigentlich müsste bei $\begin{eqnarray} \lambda_2 \end{eqnarray*}$ ja dann ne 10 stehen, damit er als ein vielfache von sich abgebildet werden kann!?
12.01.2011, 10:02	hnky	Auf diesen Beitrag antworten »
mir ist gerade nicht so ganz klar, was du da machst. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 4 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 1 & 0 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} 5\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . also ist der zugehörige eigenwert 5. und das kommt auch raus, wenn man die eigenwerte über den ansatz des char. polynoms bestimmt: dieses bestimmt man über den ansatz $\begin{eqnarray} \chi_A=det(A-\lambda E_n)=0 \end{eqnarray}$ damit erhält man $\begin{eqnarray} \chi_A=-45+\lambda^3-11\lambda^2+39\lambda \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =(\lambda-5)(\lambda-3)^2 \end{eqnarray}$ die nullstellen des char. polynoms sind bekanntlich die eigenwerte der matrix, also 5 und 3(als doppelter eigenwert) den eigenvektor zum eigenwert 5 berechnest du jetzt, indem du $\begin{eqnarray} (A-\lambda E_n)x=0 \end{eqnarray}$ bestimmst, also $\begin{eqnarray} Kern(A-5 E_n) \end{eqnarray}$ vielleicht ist dir jetzt etwas klarer geworden, woher das mit dem $\begin{eqnarray} (A-\lambda E_n)x=0 \end{eqnarray}$ kommt, dies zur überprüfung eines eigenvektors zu benutzen halte ich für (unnötige) arbeit. gruß, hnky
12.01.2011, 13:35	Plik	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja krass, mir is das vorgehen zur Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren schon klar. Da muss der Dozent in meiner mathe Übung mist gebaut haben, denn der hat uns das so erklärt mit $\begin{eqnarray} (A-\lambda E)\vec{x} \end{eqnarray}$ Aber so wie du es meinst ist es natürlich auch viel einleuchtender. Vielen Dank

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