[Heuser00] Rekursive Folge Konvergenz / Reihe Divergenz

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Ibn Batuta Auf diesen Beitrag antworten »
[Heuser00] Rekursive Folge Konvergenz / Reihe Divergenz
Hi,

mal wieder ich und wieder eine Aufgabe aus dem Heuser: Lehrbuch der Analysis 1, Teil 1, 13. Auflage, Seite 195, Aufgabe 8.

Die Folge sei rekursiv definiert durch

und



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Ich möchte zeigen, dass die Folge monoton fallend ist.

Beh.: für die Folge

1) Induktionsanfang:











wahre Aussage

2) Induktionsschritt:











Wahre Aussage


Damit hätte ich ja gezeigt, dass die Folge monoton fallend ist. Ist das soweit korrekt?

Wie würde ich die Beschränktheit zeigen?

______________________________________
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Nächste Vermutung von mir ist, dass die Folge gegen einen Grenzwert strebt, also .



Also:







Also . Der Grenzwert dieser Folge ist .


Ist das soweit korrekt? Zeigt man das auch so? Wenn nein, wie geht es?

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Nun möchte ich zeigen, dass die Reihe divergent ist, stehe allerdings total auf´m Schluch. Kann mir jemand einen Tipp geben?


Danke für die Hilfe!


Ibn Batuta
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »
RE: [Heuser00] Rekursive Folge Konvergenz / Reihe Divergenz
Zitat:
Original von Ibn Batuta
Nun möchte ich zeigen, dass die Reihe divergent ist, stehe allerdings total auf´m Schluch.

Dir ist ja schon klar, dass die Folgenglieder sämtlich positiv sind, und somit die Folge der Partialsummen dieser Reihe streng monoton wachsend.

Beweis der Divergenz indirekt: Nimm an, dass die Reihe konvergiert. Dann sind die Partialsummen auf jeden Fall beschränkt ...
BarneyG. Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Damit hätte ich ja gezeigt, dass die Folge monoton fallend ist. Ist das soweit korrekt?


Nö!. Also, der Induktionsschritt von n auf n+1 geht so:

Unter der Annahme, dass die Behauptung für n gültig ist, musst du die Behauptung für n+1 nachweisen. Das hast du aber nicht gemacht.

Mal sauber die Induktionsannahme und die Induktionsbehauptung hinschreiben. Und dann beweisen ...

Zitat:
Damit hätte ich ja gezeigt, dass die Folge monoton fallend ist. Ist das soweit korrekt?


Wenn du es gezeigt hättest, wäre es korrekt. Big Laugh

Zitat:
Wie würde ich die Beschränktheit zeigen?


Könnte es sein, dass die a_n alle > 0 sind?

Zitat:
Nächste Vermutung von mir ist, dass die Folge gegen einen Grenzwert strebt


Das ist eine sehr begründete Vermutung. Was gilt denn für jede monotone beschränkte Folge?

Zitat:
Der Grenzwert dieser Folge ist .


Das ist schon richtig, nur glaube ich deinem Beweis nicht so richtig.

Zitat:
Nun möchte ich zeigen, dass die Reihe divergent ist, ...


Na, wenn die Folge gegen Null konvergiert, dann schau dir doch mal die Definition der a_n an. Was muss denn dann für die Summe im Nenner gelten?
Ibn Batuta Auf diesen Beitrag antworten »

Heißt das im Endeffekt mein ganzes Denken und Schreiben war für die Katz, weil es formal nicht korrekt aufgeschrieben war?


Ibn Batuta
BarneyG. Auf diesen Beitrag antworten »

Na, wer wird denn da gleich verzweifeln ...

Also, der erste Induktionsbeweis ist ersten (so wie er da steht) falsch und zweitens gar nicht notwendig.

Zeig doch erstmal, dass alle Folgenglieder a_n positiv sind. Wenn man es ganz genau nimmt, dann braucht man dazu die vollständige Induktion. Aber man kann das auch direkt "sehen" ...

Und wie "René Gruber" angemerkt hat folgt daraus, dass die Folge a_n monton fallend ist, wie von selbst.

Und wenn du das gemacht hast, dann geht es weiter ...
Manni Feinbein Auf diesen Beitrag antworten »
RE: [Heuser00] Rekursive Folge Konvergenz / Reihe Divergenz
Zitat:
Original von Ibn Batuta
Hi,

mal wieder ich und wieder eine Aufgabe aus dem Heuser: Lehrbuch der Analysis 1, Teil 1, 13. Auflage, Seite 195, Aufgabe 8.

Die Folge sei rekursiv definiert durch

und



Alternativ zur Anleitung, die im Heuser gegeben wird, könntest Du auch folgendermaßen vorgehen:



Daraus folgt dann



Die Divergenz der Reihe folgt nun per Minorantentest, womit dann eine Nullfolge sein muss.
 
 
Ibn Batuta Auf diesen Beitrag antworten »

Ich muss mit diesem Thema euch nochmals nerven. Möchte zeigen, dass die Folge monoton fallend ist mit vollständiger Induktion...

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Behauptung: für die Folge

Induktionsanfang: Für











wahre Aussage

Induktionsvoraussetzung: Sei für ein

Induktionsbehauptung: Wenn , dann ist

Induktionsschritt:











Wahre Aussage

q.e.d

_________________________________
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Frage: Stimmt der Induktionsbeweis so? Wenn nein, wo genau ist der Fehler und wie sehe es richtig aus?

Das wäre mal sehr nett zu erfahren, damit ich das auch mal erfahre.


Ibn Batuta
Manni Feinbein Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht ist Dir ja selber aufgefallen, dass Du im Induktionsschritt die Induktionsvoraussetzung gar nicht gebraucht hast.
Das liegt daran, dass es für den Beweis gar keiner Induktion bedarf.

Du solltest vorab klar darlegen warum für beliebiges gilt, dass und daraus weiter folgern.

Wenn Du sie in umgekehrter Reihenfolge angibst, dann kannst Du Deine Argumentation aus dem Induktionsschritt übernehmen.
Ibn Batuta Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Antwort, Manni Feinbein!
Leider weiß ich die formal korrekte Schreibweise hierfür nicht. Habe die Folge mehrmals schon auf den Block hingekritzelt und ja, sie ist beschränkt auf (0,1]. Aber keine Ahnung, wie ich das zeigen kann...


Ibn Batuta
Manni Feinbein Auf diesen Beitrag antworten »

Also, mit einer trivialen Induktion kannst Du die offensichtliche Behauptung

beweisen.

Also gilt für alle



Fertig.
Ibn Batuta Auf diesen Beitrag antworten »

Ich frage nach, weil ich es wirklich nicht verstehe, es aber verstehen möchte. Hättest du diesen Schritt von Anfang an so gemacht? Man müsste ja zuerst zeigen, dass ist, schließlich könnte es ja sein, dass ganze auch ist (um mich mal extrem blöd zu stellen). Das weiß ich ja von vornherein noch gar nicht. Hättest du das per Induktion gelöst oder wie gerade eben?

Dann hätte ich gleich noch eine Frage. Empfiehlt es sich bei rekursiven Folgen den Schritt über Monotonie und Beschränktheit zu gehen?


Ibn Batuta
Manni Feinbein Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ibn Batuta
Ich frage nach, weil ich es wirklich nicht verstehe, es aber verstehen möchte. Hättest du diesen Schritt von Anfang an so gemacht? Man müsste ja zuerst zeigen, dass ist, schließlich könnte es ja sein, dass ganze auch ist (um mich mal extrem blöd zu stellen). Das weiß ich ja von vornherein noch gar nicht. Hättest du das per Induktion gelöst oder wie gerade eben?

Nun denn:

IA:

IV: Sei für ein festes

IS:

Ich wäre hier aber so vorgegangen wie ich es in meinem ersten Beitrag in diesem Thread schon dargelegt hatte.

Zitat:
Original von Ibn Batuta
Dann hätte ich gleich noch eine Frage. Empfiehlt es sich bei rekursiven Folgen den Schritt über Monotonie und Beschränktheit zu gehen?

Häufig ist das so - aber eben nicht immer!
Ibn Batuta Auf diesen Beitrag antworten »

Danke dir, jetzt deucht mir einiges. smile Mal ´ne persönliche Frage. Wieso keine Registrierung, Manni?


Ibn Batuta
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