Quadratisches Dreieck mit Punkten/Vektoren
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12.01.2011, 14:39 XOXOXO Auf diesen Beitrag antworten »
Quadratisches Dreieck mit Punkten/Vektoren
Moin Leute,
ich schreibe morgen eine Klausur in Mathe, welche ein Thema beinhaltet das wir im Unterricht nicht hattem und wollte nun fragen ob ihr mir vllt helfen könntet.
Die Parallelklasse hat gestern schon beim gleichen Lehrer geschrieben und bei uns wird es wahrscheinlich eine sehr ähnliche Klausur werden...vllt sogar nur mit anderen Werten.
Folgende Aufgabe war zu lösen:

Es sind die Punkte A,B,C und die Spitze S gegeben welche eine quadratische Pyramide ergeben.

a) Berechnen sie den Punkt D
b) Weisen sie nach, dass 2 von den Geraden gleichlang sind und orthodonal zu einander
c)Stellen sie die Ebene ABC als Normalform auf
d)Bestimmen sie die Lotgerade
e)Höhe von S berechnen
f)Volumen der Pyramide berechnen
g)Winkel zwischen dem Boden und den Geraden zu Punkt S
h)Parameterform von der Ebene aufstellen und in Koordinatenform umformen.

Leider bin ich kein guter Mathematiker xD und habe auch keine Werte bzw. weiß auch nicht welche man einsetzten könnte damit die Aufgabe aufgeht. Habe leider auch kein Buch zur verfügung, deswegen wäre ich sehr dankbar wenn jemand vllt eine Aufgabe dieser Art aus einem Buch zB hier postet und mir Hilft die Aufgabe zu lösen.
12.01.2011, 15:00 XOXOXO Auf diesen Beitrag antworten »

kann leider nicht editieren:

Habe jetzt die dazugehörigen Punkte
A(1/1/-6),B(1/5/6),C(-3/5/-6) und die Spitze S(-1/3/1)

Moin Leute,
ich schreibe morgen eine Klausur in Mathe, welche ein Thema beinhaltet das wir im Unterricht nicht hattem und wollte nun fragen ob ihr mir vllt helfen könntet.
Die Parallelklasse hat gestern schon beim gleichen Lehrer geschrieben und bei uns wird es wahrscheinlich eine sehr ähnliche Klausur werden...vllt sogar nur mit anderen Werten.
Folgende Aufgabe war zu lösen:

Es sind die Punkte A(1/1/-6),B(1/5/6),C(-3/5/-6) und die Spitze S(-1/3/1) gegeben welche eine quadratische Pyramide ergeben.

a) Berechnen sie den Punkt D
b) Weisen sie nach, dass 2 von den Geraden gleichlang sind und orthodonal zu einander
c)Stellen sie die Ebene ABC als Normalform auf
d)Bestimmen sie die Lotgerade
e)Höhe von S berechnen
f)Volumen der Pyramide berechnen
g)Winkel zwischen dem Boden und den Geraden zu Punkt S
h)Parameterform von der Ebene aufstellen und in Koordinatenform umformen.

Habe leider kein Buch zur verfügung, deswegen wäre ich sehr dankbar wenn mir jemand dabei helfen würde die Aufgabe zu lösen.
12.01.2011, 15:08 Seawave Auf diesen Beitrag antworten »

a) Der Vektor CD entspricht welchem Vektor? Mach dir ggf. eine Skizze des Quadrats.

b) Meinst du die Vektoren?
Zwei Vektoren sind senktecht aufeinander, wenn ..?
Und die gleiche Seitenlänge zeigst du über die Beträge der Vektoren.

c) Erstmal Parameterform aufstellen, dann über Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren den Normalenvektor ermitteln und die Normalenform aufstellen.

Um den Rest kümmern wir uns später =)
12.01.2011, 15:25 XOXOXO Auf diesen Beitrag antworten »

ich hab jetzt von einem Klassenkameraden andere Punkte bekommen
A(4/4/10)
B(8/4/10)
C(8/8/10)
S(6/6/15)

a) Also ich kann es aus den Werten ablesen...aber wir sollen es ja berechnen unglücklich
naja könnte es der gleiche sein wie BA ?? weil es ja ein Quadrat ist und die Seiten ja gleich sind...
12.01.2011, 15:32 Seawave Auf diesen Beitrag antworten »

Freude
Also wie kommst du an D? Den Ortsvektor von C kennst du ja ;-)
12.01.2011, 15:45 XOXOXO Auf diesen Beitrag antworten »

CD=AB
CD= [4 0 0 ]

also kann ich so rechnen ?? : CD= [ x y z ] - [ 8 8 10] = [4 0 0 ]
und dann einfach auflösen ? für C hab ich dann (12/8/10) raus aber die x Koordinate kann doch nicht stimmen oder ?? Müsste doch auch 4 sein ? was hab ich denn nun falsch gemacht ?
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12.01.2011, 15:55 Seawave Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt hast du einen Vorzeichendreher drin, CD=BA
AB ist der Gegenvektor.
12.01.2011, 16:08 XOXOXO Auf diesen Beitrag antworten »

ah doofer fehler....jetzt hab ich es auch richtig smile

dann mal zu b) die orthogonalität berechne ich ja indem ich die beiden skalarprodukte 2er richtungsvektoren miteinander multipliziere richtig ?? demnach müsste ich zb das Skalarprodukt von DS mit dem Skalarprodukt von CS multiplizieren ?
12.01.2011, 16:12 Seawave Auf diesen Beitrag antworten »

Vorsicht. Das Skalarprodukt ist das Produkt zweier Vektoren. Ein einzelner Vektor kann also kein Skalarprodukt haben, es sei denn, du quadrierst ihn.
Der Punkt S ist kein Eckpunkt des Quadrats, deshalb kannst du ihn nicht benutzen, um die Quadrateigenschaft nachzuweisen.
Du kannst z.B. das Skalarprodukt aus CD und AD nehmen. Wen es nur darum geht, zu zeigen, dass dieses 0 ist, ist auch die Ausrichtung der Vektoren egal.
Nur bei der Winkelberechnung über Skalarprodukt ist die Ausrichtung der Vektoren von Bedeutung, aber das ist ja hier nicht gefragt.
12.01.2011, 16:19 XOXOXO Auf diesen Beitrag antworten »

okay also berechne ich die skalaprodukte von CD und AD...
dann komme ich auf: -4+0+0+4+0+0=0 also 0=0 --> orthogonal smile
12.01.2011, 16:47 Seawave Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, jetzt Aufgabe c.
Stell erstmal die Ebene in Parameterform auf.
Es sei denn, du siehst schon, wie der Normalenvektor lauten muss. Schau dir nochmal die Punkte an ;-)
Daraus lässt sich etwas über die Ebene ablesen.
12.01.2011, 17:08 XOXOXO Auf diesen Beitrag antworten »

sorry war kurz weg Augenzwinkern

also meine Normalenform sieht nun so aus:


E:[Vektor x - ( 4 4 10)]*(-40 0 32)

ne das ist quatsch...muss natürlich noch den stützvektor abziehen....
12.01.2011, 17:15 Seawave Auf diesen Beitrag antworten »

Der Normalenvektor kann nicht stimmen.
Die Ebene ist parallel zur x1x2-Ebene, weil alle Punkte als dritte Koordinate 10 haben.
Also muss der Normalenvektor ein Vielfaches von (0|0|1) (als Vektor) sein.
Leuchtet dir das ein?

Und du musst noch in der Normalenform =0 ergänzen (Es muss immer eine Ebenengleichung sein).
12.01.2011, 17:18 XOXOXO Auf diesen Beitrag antworten »

das müsste richtig sein

E:[Vektor x - ( 4 4 10)]*(0 0 16)
12.01.2011, 17:31 Seawave Auf diesen Beitrag antworten »

Jap, ist es.

Wie bestimmen wir jetzt daraus die Lotgerade (soll senkrecht auf E sein und durch S gehen)?
12.01.2011, 17:41 XOXOXO Auf diesen Beitrag antworten »

ich denke mal einfach den ortsvektor des Punktes S als Stützvektor nehmen und dann denn Normalenvektor als Richtungsvektor

g: vektor x= (6 6 15) + r *(0 0 16)
12.01.2011, 18:08 Seawave Auf diesen Beitrag antworten »

Ganz genau.
e) kannst du bequem über die Hessesche Normalenform lösen.
12.01.2011, 18:14 XOXOXO Auf diesen Beitrag antworten »

hmm bequem sagst du ^^ ich hab noch nie was davon gehört...Weiß gerade nicht was ich machen soll...Einen kleinen Tipp ??
12.01.2011, 18:17 Seawave Auf diesen Beitrag antworten »

Dann mach Lot-Fußpunkt-Verfahren. Das dürfte dir bekannt sein?

Warte, ich such mal grad den Link von einem anderen Thread, da habe ich eine Herleitung hochgeladen (die aber auf dem anderen Rechner gespeichert ist..)

/E: Herleitung HNF
12.01.2011, 18:29 XOXOXO Auf diesen Beitrag antworten »

Lot-Fußpunkt-Verfahren:

(2 2 5+16r)*(0 0 16)=0

r= -0,3125 ?????
12.01.2011, 18:35 XOXOXO Auf diesen Beitrag antworten »

ah und das dann mit dem normalenvektor multiplizieren --> (0 0 -5)
12.01.2011, 19:05 Seawave Auf diesen Beitrag antworten »

Das Ergebnis für r ist richtig, aber das wird nicht mit dem Normalenvektor multipliziert.
Du setzt r in die Geradengleichung ein, dadurch erhälst du den Lotfußpunkt (Schnittpunkt von Gerade und Ebene).
Dann berechnest du über den Betrag des Verbindungsvektors den Abstand zwischen S und dem Lotfußpunkt, das ist der Abstand von S von der Ebene und damit die Höhe der Pyramide.
12.01.2011, 19:06 XOXOXO Auf diesen Beitrag antworten »

So habe für die Höhe nun 5 raus smile
jetzt das Volumen...
12.01.2011, 19:08 Seawave Auf diesen Beitrag antworten »

Freude
Die Volumenformel ist 1/3 * G * h für Pyramiden (Dreiecks- und Viereckspyramiden).
12.01.2011, 19:13 XOXOXO Auf diesen Beitrag antworten »

6.66... müsste es dann sein
12.01.2011, 19:24 Seawave Auf diesen Beitrag antworten »

Ich komme auf 26,67 (gerundet).
Grundfläche ist 4*4 F.E und die Höhe 5 L.E.,
Also
V=4*4*5*(1/3) R.E. = 80/3 R.E., das ist etwa 26,67.
12.01.2011, 19:31 XOXOXO Auf diesen Beitrag antworten »

upsi habe das quadrat beim betrag vergessen...naja nun wird es etwas schwerer denk ich mal die winkel...
12.01.2011, 19:40 Seawave Auf diesen Beitrag antworten »

g)Winkel zwischen dem Boden und den Geraden zu Punkt S
h)Parameterform von der Ebene aufstellen und in Koordinatenform umformen.

g) Meinst du, die meinen die Seitenkante der Pyramide?
Es ist ein Schnittwinkel zwischen einer Gerade und einer Ebene.
Dann gilt die Formel:



Dabei ist Vektor u der Richtungsvektor der Geraden und Vektor n der Normalenvektor der Ebene.
12.01.2011, 21:06 XOXOXO Auf diesen Beitrag antworten »

bei g habe ich 60,58 raus kann das richtig sein ?
13.01.2011, 18:58 Seawave Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist richtig, beim Rechnen mit ungerundeten Werten und Runden zum Schluss kommt ca. 60,50 raus, aber das ist ja nur eine kleine Ungenauigkeit.

Jetzt musst du noch für h) die Parameterform der Ebene aufstellen und anschließend in die Koordinatenform umformen.
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