Interpolationsfehler abschätzen

12.01.2011, 16:17

Gast11022013

Interpolationsfehler abschätzen

Meine Frage:
Das Polynom $\begin{eqnarray*} p_2\in \Pi_2 \end{eqnarray*}$ interpoliere $\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt(x) \end{eqnarray*}$ in den Knoten 1,2,3. Geben Sie eine Abschätzung für den Interpolationsfehler im Intervall $\begin{eqnarray*} [1,3] \end{eqnarray*}$ .

Ich würde gerne wissen, ob meine Lösung stimmt.

Meine Ideen:
Für meine Idee habe ich folgenden Abschnitt aus der Vorlesung verwendet:

"Für den Interpolationsfehler erhalten wir somit die Abschätzung $\begin{eqnarray*} |f(x)-P(x)|\leq \max_{y\in [a,b]}|\frac{f^{(n+1)}(y)}{(n+1)!}L(x)| \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} L(x):=(x-x_0)(x-x_1)...(x-x_n) \end{eqnarray*}$

Wegen $\begin{eqnarray*} |x-x_i|\leq b-a \end{eqnarray*}$ folgt sofort:
$\begin{eqnarray*} |f(x)-P(x)|\leq \max_{y\in [a,b]}|f^{(n+1)}(y)|\frac{(b-a)^{n+1}}{(n+1)!} \end{eqnarray*}$ ."

Und daher habe ich für die Aufgabe direkt die letztere Abschätzung benutzt:

Es gilt $\begin{eqnarray*} f^{(2+1)}(x)=\frac{3}{8x^{\frac{5}{2}}} \end{eqnarray*}$ und damit dann weiter gerechnet:

$\begin{eqnarray*} |f(x)-p_2(x)|\leq \max_{y\in [1,3]}|\underbrace{\frac{1}{16y^{\frac{5}{2}}}}_{=\frac{f^{(3)}}{3!}}|*\frac{4}{3}=\frac{1}{12} \end{eqnarray*}$ , nämlich wird das Maximum erreicht für $\begin{eqnarray*} y=1 \end{eqnarray*}$ , da der Zähler dann am kleinsten ist, d.h., anders gesagt, dass $\begin{eqnarray*} y^{\frac{5}{2}} \end{eqnarray*}$ minimal für $\begin{eqnarray*} y=1 \end{eqnarray*}$ ist.

12.01.2011, 17:30

tigerbine

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RE: Interpolationsfehler abschätzen
Bei diesem Aufgabentyp "eine Abschätzung" ist nie so ganz klar, was der Prof will. Manche wollen auch eine Diskussion des Knotenpolynoms. Bei so ungenauer Fragestellung ist deine Idee aber korrekt.

$\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt{x} = x ^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

code:
1: 2: 3:	p_ 2(x)= + 0.48941 * x^0 + 0.558778 * x^1 - 0.0481882 * x^2

[attach]17552[/attach]

$\begin{eqnarray*} |f(x)-p_2(x)|\leq \max_{y\in [1,3]}|f^{(3)}(y)|\frac{2^{3}}{3!} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{1}{2}x ^{-\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x)=-\frac{1}{4}x ^{-\frac{3}{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f^{(3)}(x)=\frac{3}{8}x ^{-\frac{5}{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f^{(3)}(1)=\frac{3}{8} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \max_{y\in [1,3]}|f^{(3)}(y)| \cdot \frac{2^{3}}{3!} = \frac{3}{8}\cdot \frac{2^{3}}{3!} = \frac{2^3\cdot 3}{2^4 \cdot 3} = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Die erste GRafik zeigt, wie grob doch diese Abschätzung ist.

Deine letzte Rechnung kann ich nicht nachvollziehen.

12.01.2011, 17:40

Gast11022013

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RE: Interpolationsfehler abschätzen
Welche letzte Rechnung meinst Du genau?

Und noch eine Frage:

Meintest Du mit "[...] wie grob diese Abschätzung ist", dass meine Abschätzung nicht gerade gut ist? Aber wie könnte ichs verbessern?

12.01.2011, 17:46

tigerbine

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RE: Interpolationsfehler abschätzen

Zitat:

Original von Dennis2010

$\begin{eqnarray*} |f(x)-p_2(x)|\leq \max_{y\in [1,3]}|\underbrace{\frac{1}{16y^{\frac{5}{2}}}}_{=\frac{f^{(3)}}{3!}}|*\frac{4}{3}=\frac{1}{12} \end{eqnarray*}$ , nämlich wird das Maximum erreicht für $\begin{eqnarray*} y=1 \end{eqnarray*}$ , da der Zähler dann am kleinsten ist, d.h., anders gesagt, dass $\begin{eqnarray*} y^{\frac{5}{2}} \end{eqnarray*}$ minimal für $\begin{eqnarray*} y=1 \end{eqnarray*}$ ist.

Der Kommentar mit der Genauigkeit war nicht wertend gemeint. smile

12.01.2011, 18:03

Gast11022013

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RE: Interpolationsfehler abschätzen
Ich versuche es zu erläutern:

Der Ausdruck in den Betragsstrichen ist entstanden, indem ich die dritte Ableitung von f durch 3 Fakultät dividiert habe und dann habe ich versucht, herauszufinden, für welches $\begin{eqnarray*} y\in [1,3] \end{eqnarray*}$ der Betrag maximal ist.

Meiner Meinung nach ist das für $\begin{eqnarray*} y=1 \end{eqnarray*}$ der Fall, denn das Maximum liegt ja vor, wenn der Nenner am kleinsten ist. Das ist für das Intervall für $\begin{eqnarray*} y=1 \end{eqnarray*}$ der Fall, für alle anderen Werte wird der Nenner größer und somit der Betrag kleiner. Das meinte ich mit, dass man gucken muss, für welches $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ das $\begin{eqnarray*} y^{\frac{5}{2}} \end{eqnarray*}$ minimal wird. Ist es nämlich minimal, so ist der Nenner möglichst klein und man hat das Maximum des Betragswertes. Dabei kommt dann für $\begin{eqnarray*} y=1 \end{eqnarray*}$ der Wert $\begin{eqnarray*} \frac{1}{16} \end{eqnarray*}$ als Maximum heraus und den habe ich dann mit $\begin{eqnarray*} \frac{4}{3} \end{eqnarray*}$ multipliziert.

Ist es das, was unverständlich war?

12.01.2011, 18:16

tigerbine

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RE: Interpolationsfehler abschätzen
Und woher stammen dann die 4/3? Verstehst du meine Rechnung? Im Prinzip der gleiche Weg. Nur irgendwo steckt bei dir/bei mir ein Rechenfehler, da wir nicht das gleiche raus bekommen.

12.01.2011, 18:19

Gast11022013

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RE: Interpolationsfehler abschätzen
Kann es sein, dass ich aus Versehen die erste Abschätzung und die zweite Abschätzung, die ich ganz am Anfang meiner Frage mitgeteilt habe vermischt habe?

Ich muss ja gar nicht durch 3! teilen bei DIESER Abschätzung.

12.01.2011, 18:21

tigerbine

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RE: Interpolationsfehler abschätzen
Also rigendwie passen die 4/3 nicht rein. Da muss Knotenpolyomanschätzung 2³ durch 3! stehen. Mit y=1 sind wir uns einig.

12.01.2011, 18:37

Gast11022013

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RE: Interpolationsfehler abschätzen
Du hast Recht!

Ich habe die beiden genannten Abschätzungen aus Versehen vermengt und daraus ist mein Rechenfehler entstanden.

Es kommt in der Tat auf der rechten Seite der Abschätzung 0,5 heraus.

Vielen lieben Dank für die Hilfe!

12.01.2011, 18:44

tigerbine

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RE: Interpolationsfehler abschätzen
Wink

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