Interpolationsfehler - Abschätzung

12.01.2011, 16:36

Gast11022013

Interpolationsfehler - Abschätzung

Meine Frage:
Gegeben seien 23 verschiedene Punkte im Intervall $\begin{eqnarray*} [-1,1] \end{eqnarray*}$ und das Interpolationspolynom p vom Höchstgrad 22, welches die Funktion von $\begin{eqnarray*} f(x)=\cosh(x) \end{eqnarray*}$ an diesen 23 Punkten interpoliert. Zeigen Sie, dass

$\begin{eqnarray*} |\frac{p(x)-f(x)}{f(x)}|\leq 5*10^{-16} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in [-1,1] \end{eqnarray*}$ .

Ich stelle meine Lösung mal vor und wüsste gerne, was ich falsch mache, denn ich kann nur zeigen, dass der Ausdruck KLEINER als die rechte Seite ist und nicht KLEINER-GLEICH.

Meine Ideen:
Für meine Idee habe ich wieder folgenden Abschnitt aus der Vorlesung verwendet:

"Für den Interpolationsfehler erhalten wir somit die Abschätzung $\begin{eqnarray*} |f(x)-P(x)|\leq \max_{y\in [a,b]}|\frac{f^{(n+1)}(y)}{(n+1)!}L(x)| \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} L(x):=(x-x_0)(x-x_1)...(x-x_n) \end{eqnarray*}$

Wegen $\begin{eqnarray*} |x-x_i|\leq b-a \end{eqnarray*}$ folgt sofort:
$\begin{eqnarray*} |f(x)-P(x)|\leq \max_{y\in [a,b]}|f^{(n+1)}(y)|\frac{(b-a)^{n+1}}{(n+1)!} \end{eqnarray*}$ ."

Letztere Abschätzung habe ich angewandt:

$\begin{eqnarray*} |p(x)-f(x)|\leq \max_{y\in [-1,1]}|\underbrace{\sinh (y)}_{=f^{(23)}}|*\frac{(1-(-1))^{23}}{23!}=\underbrace{\underbrace{\max_{y\in [-1,1]}|\sinh(x)|}_{=1,1752, y=\pm 1}*1,25517*10^{-38}}_{=1,47507*10^{-38}} \end{eqnarray*}$

Weiter gilt dann, da $\begin{eqnarray*} |\cosh(x)|\geq 1 \forall x\in [-1,1] \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} |\frac{p(x)-f(x)}{f(x)}|\leq |\frac{1,47507*10^{-38}}{\cosh(x)}|=\frac{|1,47507*10^{-38}|}{|\cosh(x)|}\leq 1,47507*10^{-38}<5*10^{-16} \end{eqnarray*}$

Wie gesagt, ich weiß nicht, wieso man $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ zeigen soll bzw. wie man das macht.

Danke für Hilfe!

12.01.2011, 17:35

tigerbine

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RE: Interpolationsfehler - Abschätzung
Die Theorie liefert $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ . Du kannst das dann weiterhin" hinschreiben". Deswegen solltest du dich nicht grämen.

12.01.2011, 17:38

Gast11022013

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RE: Interpolationsfehler - Abschätzung
Wie meinst Du Deine letzte Antwort:

"Die Theorie liefert..."?..."trotzdem hinschreiben"

Wieso kann man es trotzdem hinschreiben?

Habe ich nicht verstanden, entschuldigung!

12.01.2011, 17:50

tigerbine

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RE: Interpolationsfehler - Abschätzung
Mit Theorie meine ich

Zitat:

Für den Interpolationsfehler erhalten wir somit die Abschätzung $\begin{eqnarray*} |f(x)-P(x)|\leq \max_{y\in [a,b]}|\frac{f^{(n+1)}(y)}{(n+1)!}L(x)| \end{eqnarray*}$ ,

Das ist sicher nicht falsch. Als Ordnungsrelation betrachtet, macht sogar nur <= Sinn. Daher kannst du das auch schreiben. (Blickwinkel: Algebra, Sonstiges)

12.01.2011, 17:51

Gast11022013

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RE: Interpolationsfehler - Abschätzung
Ist mir immer noch nicht klar. aber eigentlich möchte ich auch nur wissen:

Meine Lösung ist also vollkommen okay?...

12.01.2011, 17:54

tigerbine

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RE: Interpolationsfehler - Abschätzung
Die Idee ist wie bei der anderen Aufgabe. Nachrechnen schaffe ich jetzt nicht mehr.

12.01.2011, 18:23

Gast11022013

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RE: Interpolationsfehler - Abschätzung
Okay, nochmal danke!

13.01.2011, 17:13

Gast11022013

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RE: Interpolationsfehler - Abschätzung
Ich habe mich übrigens verrechnet, statt $\begin{eqnarray*} 1,4.... \end{eqnarray*}$ muss da stehen: $\begin{eqnarray*} 3,8134*10^{-16} \end{eqnarray*}$

An tigerbine (oder jeden anderen Helfer):

Kannst Du vielleicht nochmal versuchen, mir zu erklären, warum es hier auch okay ist, wenn man nicht $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} < \end{eqnarray*}$ hat?

13.01.2011, 17:20

tigerbine

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RE: Interpolationsfehler - Abschätzung
Wenn es echt kleiner ist, genügt es auch der kleiner gleich Abschätzung.

13.01.2011, 17:22

Gast11022013

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RE: Interpolationsfehler - Abschätzung
Ja, das macht natürlich Sinn!
Hammer

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