Ableitung e hoch (Wurzel (g(x)/h(x)))

12.01.2011, 18:41

hansi89

Ableitung e hoch (Wurzel (g(x)/h(x)))

Meine Frage:
Hi,

kann mir jemand bitte dabei helfen, wie ich grundsätzlich eine Funktion der Form:

f(x) = e ^ [Wurzel (g(x)/h(x))]

ableiten muss?!

Danke schonmal im Voraus!!

Meine Ideen:
f'(x) = e ^ [Wurzel (g(x)/h(x))] * [1/(2*Wurzel (g(x)/h(x))] * [g'(x)*h(x)-g(x)*h'(x)]/g(x)²

Dies wäre meine Lösung. Laut Dozent soll dies aber falsch sein

12.01.2011, 19:08

mYthos

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Nach welchen Regeln hast du diffenziert und was hat der Dozent denn bemängelt?
Ich sehe nämlich keinen Fehler, afaik.

mY+

12.01.2011, 20:42

hansi89

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Danke für die schnelle Antwort!

Der Dozent hat den Fehler nicht genau genannt, sondern gesagt, ich müsste selbst darauf kommen.

Also ich habe es im Prinzip als dreifach-verkettete Funktion (Kettenregel) differenziert.

"Äußerste" Funktion: e
"Mittlere" Funktion: Wurzel
"Innerste" Funktion: g(x)/h(x)

Wobei ich für die innere Funktion die Quotentenregel genutzt habe.

12.01.2011, 20:47

Mulder

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RE: Ableitung e hoch (Wurzel (g(x)/h(x))(

Zitat:

Original von hansi89
Meine Ideen:
f'(x) = e ^ [Wurzel (g(x)/h(x))] * [1/(2*Wurzel (g(x)/h(x))] * [g'(x)*h(x)-g(x)*h'(x)]/g(x)²

Dort (was ich rot markiert habe) sollte ein h stehen. War das nur ein Tippfehler hier im Forum, oder steht das auch so auf deinem Blatt?

Einen anderen Fehler sehe ich sonst auch nicht...

12.01.2011, 21:11

hansi89

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RE: Ableitung e hoch (Wurzel (g(x)/h(x))(
ups.. das war natürlich nur ein Tippfehler Hammer

.

Ich dachte, dass ich evtl. vom Prinzip her etwas falsch gemacht habe. Da es aber wohl nicht so aussieht, kommt hier nun die konkrete Aufgabe. Vielleicht bin ich einfach zu doof und habe einen Fehler beim zusammenfassen gemacht:

$\begin{eqnarray*} f(x)=e^{\sqrt{\frac{x-2}{x-3}} } \end{eqnarray*}$

abgeleitet:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=e^{\sqrt{\frac{x-2}{x-3}} } * \frac{1}{2*\sqrt{\frac{x-2}{x-3}} } * \frac{1*(x-3)-(x-2)*1}{(x-3)^{2} } \end{eqnarray*}$

zusammengefasst:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{-e^{\sqrt{\frac{x-2}{x-3}} }}{(2x^{2}-12x+18)*\sqrt{\frac{x-2}{x-3}} } \end{eqnarray*}$

Hinweis: Es heißt immer e hoch Wurzel. Das wird vom Latex meiner Meinung nach nicht 100%ig deutlich dargestellt

12.01.2011, 21:31

mYthos

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Der Weg ist richtig, aber einen Fehler gibt es letztlich doch - vielleicht ist es auch bloß ein Schreibfehler: Ganz am Ende gehört natürlich h(x)^2 als Nenner, anstatt g(x)^2.
Und: Man kann noch ein wenig vereinfachen (Doppelbrüche auflösen, mit rationalem Nenner schreiben).

mY+

12.01.2011, 22:23

Hansi89

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Ich habe ja bereits geschrieben, dass ich mich im erten Beitrag vertippt habe. Im zweiten Beitrag (der, mit der konkreten Aufgabe) habe ich h(x) im Nenner der Ableitung.

$\begin{eqnarray*} h(x)^{2}=(x-3)^{2} \end{eqnarray*}$

Also wenn ich die komplette Ableitung mit rationalem Nenner schreibe, komme ich auf:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{-e^{\sqrt{\frac{x-2}{x-3}} }*\sqrt{(x-2)(x-3)} }{2(x-2)(x-3)^{2}} \end{eqnarray*}$

oder:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=-e^{\sqrt{\frac{x-2}{x-3}} }*\frac{\sqrt{(x-2)(x-3)} }{2(x-2)(x-3)^{2}} \end{eqnarray*}$

ist ja eigentlich das gleiche.

ABER.. muss denn dass sein? Gibt es dafür irgend eine Regel? Oder dient es nur dem Optischen? Die Lösung von meinem zweiten Beitrag ist doch prinzipiell auch richtig, oder? Vielleicht nicht so schön.. aber richtig!? Wenn ich ehrlich bin, gefällt mir meine erste Lösung optisch sogar besser. Ich habe genug Platz für Doppelbrüche auf dem Blatt Augenzwinkern

. Und die Wurzel im Nenner stört mich persönlich auch nicht so besonders. Aber wenn es dafür irgend eine Regel gibt, dann wäre die zweite Lösung natürlich besser!

Vorausgesetzt sie sind beide prinzipiell richtig..

13.01.2011, 22:10

hansi89

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Könnte mir bitte jemand noch bestätigen, dass es so richtig ist, wie ich es geschrieben habe?!

14.01.2011, 11:36

hansi89

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Ich habe heute die Bestätigung vom Dozenten bekommen, dass die obigen Lösungen richtig sind! Er hat sich nur "verrechnet".. Komisch, da er die Aufgabe gestellt hat Augenzwinkern

Das lässt schon etwas an seiner Kompetenz zweifeln.

Vielen Dank für eure Hilfe!

14.01.2011, 23:02

mYthos

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Ich denke, dass gerade auch die sehr guten Mathematiker gegen gelegentliches Verrechnen nicht immun sind. Rechenfehler haben mit der Kompetenz nicht ursächlich zu tun, solange sie nicht zu häufig geschehen. Vor allem muss man flexibel genug sein, um ihnen auf den Grund zu gehen und nicht darauf zu beharren. Erst dann erweist sich der wahre Charakter eines "Mathematik-Genies" Big Laugh

.

mY+

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