Grenzwert / links und rechtsseitiger Grenzwert

12.01.2011, 20:00

Broly

Auf diesen Beitrag antworten »

Grenzwert / links und rechtsseitiger Grenzwert

Hallo =)

brauche mal ein bisschen Hilfe.

Bestimme den Grenzwert der Folge :

$\begin{eqnarray*} a_{n} n\in \mathbb N = (\frac{2n^3-n+1}{1+3n^2-n^3} ) \end{eqnarray*}$

kurz und knapp , ich hab da -2 raus? Kann das sein ?

Hier brauch ich Hilfe:

Bestimme den links- und rechtsseiigen Grenzwert

$\begin{eqnarray*} f(x) = \{\begin{pmatrix} |x-1|, x\geq 2\\ x^2, x <2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

an der Stelle 2.

Wie geht man hier vor bzw berechnet den Wert?

3. Aufgabe
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} \frac{x^3-1}{x-1} \end{eqnarray*}$

was genau bedeutet denn x ->1 wenn ich normal den grenzwert ausrechnen würde, würde ich auf x² kommen ^^

Nebenfrage : Bevor ich jetzt noch n Thread aufmache mal ne kleine andere Frage zu "Ableitung mit negativen Exponenten" , passt mit zum grenzwertberechnen (zumindestens negative exponentem).

Sind folgende 2 Aufgaben richtig?

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{x} , x \in \mathbb R <br /> f'(x) = - \frac{1}{x²} \end{eqnarray*}$

und
$\begin{eqnarray*} f(x) = \sqrt{x} , x > 0 <br /> f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x} } \end{eqnarray*}$

Grüße und vielen Dank

12.01.2011, 20:31

Helferlein

Auf diesen Beitrag antworten »

1) ist richtig (Kürze durch $\begin{eqnarray*} n^3 \end{eqnarray*}$ )

2) Man kann sich doch von rechts oder links auf dem Zahlenstrahl der zwei annähern. Folglich gibt es zwei (möglicherweise identische) Grenzwerte.

3) Hier ist Polynomdivision angesagt (oder l'hospital, sofern ihr den schon hattet).

4) Die beiden Ableitungen sind richtig

13.01.2011, 03:12

Broly

Auf diesen Beitrag antworten »

1)

gut danke =)

2)

also kann ich mir das wie den "normalen" Grenzwert vorstellen, der auf einem Zahlenstrahl "eingezeichnet" ist?

Und dann ist rechtsseitig Grenzwert + 1
und linksseitig Grenzwert - 1 ?

3)
l'hospital kenn ich nicht, aber schau ich mir mal an ;D

Danke =)

13.01.2011, 11:21

Helferlein

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Broly
2)

also kann ich mir das wie den "normalen" Grenzwert vorstellen, der auf einem Zahlenstrahl "eingezeichnet" ist?

Jein, auf dem Zahlenstrahl sind nur die x-Werte, die y-Werte sind nach wie vor in der senkrechten zu finden. Aber dadurch, dass die Funktion bis und ab x=2 unterschiedlich definiert ist, können sich zwei Grenzwerte ergeben, indem man auf dem (x-)Strahl einmal von links und einmal von rechts an die zwei herangeht. Die sich dabei ergebenden y-Werte sind dann die beiden Grenzwerte.

Stimmen sie überein, ist die Funktion übrigens an dieser Stelle stetig, andernfalls nicht.

Zitat:

Original von Broly

Und dann ist rechtsseitig Grenzwert + 1
und linksseitig Grenzwert - 1 ?

Die Ergebnisse stimmen nicht.

13.01.2011, 17:25

Broly

Auf diesen Beitrag antworten »

2)
Also kA ob ich das jetzt i.wie verstanden habe, ich hab jetzt einfach mir beuide Funktionen angeschaut und überlegt was passiert wenn ich dort Werte entsprechend der Defihnition einsetze.

Beide würde $\begin{eqnarray*} + \infty \end{eqnarray*}$ gehen oder nicht?

3)

Wenn ich das nicht vollkommen falsch verstanden habe, hab ich hier als Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{x^3-1}{x-1} = \frac{3x^2}{1} = + \infty <br /> <br /> <br /> \end{eqnarray*}$

Grüße

13.01.2011, 20:07

Broly

Auf diesen Beitrag antworten »

Mag mir weiterhin keiner helfen?^^

Anzeige

13.01.2011, 20:18

AlphaCentauri

Auf diesen Beitrag antworten »

also deine beiden ergebnisse für 2) und 3) sind falsch.
am besten wir machen 2) zuerst, denn damit scheinst du ja ein paar probleme zu haben. kannst du dir denn mitlerweile vorstellen, was man mit rechts- bzw linksseitigem grenzwert meint?

13.01.2011, 20:25

Broly

Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm ich glaube...

hab versucht mal schnell was zu zeichnen^^ quasi so vllt?

13.01.2011, 20:41

AlphaCentauri

Auf diesen Beitrag antworten »

naja, wenn du das jetzt theoretisch verstanden hast, dann können wir uns ja jetzt ans lösen der aufgabe machen Augenzwinkern

Augenzwinkern

der graph der Funktion ist nicht so, wie du ihn gezeichnet hast, denn die Funktion ist auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} ( \infty, 2) \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} f(x) = x^2 \end{eqnarray*}$ definiert und ab $\begin{eqnarray*} x=2 \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} f(x)=|x-1| \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} |x-1|>0 \forall x \in [2, \infty) \Rightarrow |x-1|=x-1 \end{eqnarray*}$ , d.h. ab $\begin{eqnarray*} x=2 \end{eqnarray*}$ steigt die Funktion linear an. Am besten du zeichnest dir das mal auf und schaust dir die y-Werte an, wenn du dich einmal von links und einmal von rechts der 2 näherst, dann bekommst du vlt einen bildlichen Eindruck davon, was man mit rechtsseitigem und linksseitigem Grenzwert meint. Das musst du dann nur noch formel ausdrücken. Also:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 2, x>2} f(x) =... \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 2, x<2} f(x) =... \end{eqnarray*}$
Und dann hast du deine beiden Grenzwerte Augenzwinkern

Augenzwinkern

13.01.2011, 21:56

Broly

Auf diesen Beitrag antworten »

Hab noch mal n Bild als Anhang ^^

also wenn ich mich von Rechts nähere wird der y wert immer kleiner
und wenn ich von links komme immer größer

aber wie genau kann ich da jetzt was ablesen oder genauer rausdeuten?

Und vorallem wie rechne ich das ?
"Normaler Grenzwert einer Folge" wüsste ich.

Grüße

PS:
+ unendlich und - unendlich ist nicht zufällig richtig ^^

13.01.2011, 22:08

AlphaCentauri

Auf diesen Beitrag antworten »

also, ich hab jetzt mal nen plot mir der funktion angehängt. und wie du siehst, wird der y-wert nicht immer kleiner, wenn man sich von rechts nähert, sondern konvergiert gegen 1. betrachtet man jetzt die funktion von links, so geht der y-wert gegen 4 Augenzwinkern

Augenzwinkern

damit ist auch die frage beantwortet, ob unendlich in frage kommt smile

smile

du sagst, den "normalen grenzwert einer folge" wüsstest du, auch wenn das jetzt keine folge ist, wie würdest du denn den "normalen grenzwert" berechnen?

13.01.2011, 22:19

Broly

Auf diesen Beitrag antworten »

Hatte meinen Dateianhang vergessen *schäm*

jetzt häng ich ihn mit an^^ hatte es "ähnlich" ^^

also normalen grenzwert war ja eigentlich immer nur "wegkürzen" udns chaun was übrig bleibt ^^.

aber
$\begin{eqnarray*} |x-1| \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x² \end{eqnarray*}$ gehören hier scheinbar nicht so zusammen das ich daraus

$\begin{eqnarray*} \frac{|x-1|}{x²} \end{eqnarray*}$ oder ähnliches machen kann? ^^

13.01.2011, 22:34

AlphaCentauri

Auf diesen Beitrag antworten »

ok, also du hast ja schon festgestellt, dass es nich so einfach geht, da jetzt nen "normalen grenzwert" zu bestimmen. aber ich vlt sollte ich nochmal kurz erwähnen, wie du die funktion $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ verstehen musst: also diese beiden vorschriften kannst du nicht verbinden o.ä., weil es einfach nur verschiedene funktionsvorschriften für unterschiedliche intervalle sind. intressant sind bei solchen funktionen meistens die intervallgrenzen, bei denen sich die vorschriften ändern.
d.h., wenn du den rechtsseitigen grenzwert berechnen möchtest, dann machst du das wie bei einer ganz normalen grenzwertbetrachtung, nur, dass du dir voher überlegen musst, welche funktionsvorschrift du benutzten musst. wie ich vorhin schon schrieb ist die funktion für $\begin{eqnarray*} [ 2, \infty) \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} f(x) = |x-1| \end{eqnarray*}$ definiert. du musst also um den rechtsseitigen grenzwert zu berechnen einfach nur diese funktionsvorschrift betrachten und schaun was passiert, wenn $\begin{eqnarray*} x -> 2 \end{eqnarray*}$ läuft Augenzwinkern

Augenzwinkern

mit dem linksseitigen gehts ähnlich smile

smile

am besten du probierst das jetzt mal aufzuschreiben

13.01.2011, 22:46

Broly

Auf diesen Beitrag antworten »

also ich habe :

|x-1| , x $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 2

hier ist es so. Wenn x größer wird geht das ganze gegen + unendlich.
Gehen wir gegen 2 gehts gegen 1 , weil |2-1| = 1 ist ?
Kann man das genau berechnen ?

bei

x² , x < 2 haben wir wieder für x gegen unendlich bekommen wir + unendlich.
gehe ich gegen 2 würde maximal 4 rauskommen bzw da wir kleiner 2 sein müssen kann das schon nicht mehr erreicht werden^^ ?

13.01.2011, 22:57

AlphaCentauri

Auf diesen Beitrag antworten »

das sieht doch schon gut aus Freude

Freude

du musst es nur noch mathematisch korrekt formulieren, denn so wie du es geschrieben hast...naja, sagen wir mal es ist halbrichtig Augenzwinkern

Augenzwinkern

also: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 2, x>2} |x-1| = \lim_{x \to 2, x>2} x-1 = 1 \end{eqnarray*}$ die begründung dafür hast du ja schon geliefert.
analog geht es beim linksseitigen grenzwert.

Wenn du das dann hast, können wir uns ja der 3. aufgabe zuwenden

13.01.2011, 23:05

Broly

Auf diesen Beitrag antworten »

also :

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 2, x<2} x² =4 \end{eqnarray*}$

oder was ? nur verständnishalber weil das sind jetzt ja ein mal < 2 und ein mal >2 weswegen man von links und rechtsseitig ausgehen könnte. Ist die Aufgabe jetzt fertig oder muss man für jede f(x) jetzt noch den andersseitigen Wert ausrechnen?

Und wie ist es hier bei dem x² = 4 ? 4 Kann ich ja nie erreichen eigentlich weils ja < 2 ist .Ist das trotzdem richtig?

EDIT: Ich glaub ich stell mir das ganze viel komplizierter vor als es ist ^^

13.01.2011, 23:16

AlphaCentauri

Auf diesen Beitrag antworten »

also, dein ergebnis stimmt soweit und ist auch richtig formuliert Augenzwinkern

Augenzwinkern

was deine fragen angeht: >2 und <2 sind nichts weiter als die verdeutlichung des rechtsseitigen und linksseitigen grenzwertes, man kann natürlich auch andere konventionen benutzten, z.b. "+" oder "-". die aufgabe wäre jetzt fertig und es gibt keinen grund für f(x) den andersseitigen wert auszurechnen, weil es ihn nicht gibt Lehrer

Lehrer

: wie schon gesagt, die funktion f(x) ist bis zur 2 als $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$ definiert und danach als $\begin{eqnarray*} f(x) = |x-1| \end{eqnarray*}$ .
so nun zur letzten frage Augenzwinkern

Augenzwinkern

du hast natürlich recht, wenn du sagst, dass x²=4 nie wahr sein kann, wenn x<2, wie in der aufgabe angegeben. aber du betrachtest ja grenzwerte, was nichts anderes heißt, als das der unterschied zwischen den richtigen werten und der 4 immer kleiner wird - ja vernachlässigbar klein - je näher die x-werte der 2 kommen.

13.01.2011, 23:25

Broly

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay gut, verstanden =)

so kompliziert ist das ja gar nicht^^

jetzt fehlt mir nur noch die eine Aufgabe.

da ich jetzt ein bisschen mehr mit dem x -> x anfangen kann^^ und mir die Aufgabe so anschaue dann würde die Aufgabe bei x -> 1 ja gar nit gehen^^ jedenfalls nicht wenn ich 1 einsetze weil ich dann durch 0 teilen müsste Big Laugh

Big Laugh

Grüße

13.01.2011, 23:38

AlphaCentauri

Auf diesen Beitrag antworten »

also, ich schreib nochmal kurz die aufgabe auf: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} \frac{x^3 -1}{x-1} \end{eqnarray*}$
das ist jetzt eine ganz normale grenzwertbetrachtung, d.h. du musst, wie du vorhin so schön sagtest, versuchen soviel wie möglich wegzukürzen . zugegeben, dass ist jetzt nich sofort offensichtlich, aber du könntest ne polynomdivision durchführen oder l'hospital anwenden. aber wenn ich mich recht entsinne hast du am anfang des thread geschrieben, dass du l'hospital noch nich kennst?! also denk ich ist es sinnvoller mit ner polynomdivision weiterzumachen

PS: die aufgabe geht durchaus, gerade weil man x->1 laufen lässt. wie du schon gesagt hast, geht x=1 nicht, aber bei grenzwerten nähern wir uns ja der grenze nur an und machen die differenz zwischen grenze und unseren werten beliebig klein...gibt dahingehend also keine probleme

13.01.2011, 23:52

Broly

Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig l'hospital ist mir leider fremd.

sofern ich als polynomdivision einfach x³ - 1 : x-1 machen kann und ich mich nicht total täusche ergibt das x² + x -1 ;

und dann?
das als nenner einsetzen oder was ?^^

$\begin{eqnarray*} \frac{x²+x-1}{x-1} \end{eqnarray*}$

würde das dann nicht $\begin{eqnarray*} \frac{x+1}{1} \end{eqnarray*}$ ergeben?^^

13.01.2011, 23:58

AlphaCentauri

Auf diesen Beitrag antworten »

ok, also dein ergebnis der polynomdivision stimmt fasst, es heißt $\begin{eqnarray*} x^2+x+1 \end{eqnarray*}$
deine idee was dann zu machen ist, ist richtig, aber du setzt sie leider nicht richtig um Augenzwinkern

Augenzwinkern

was hast du denn durch diese polynomdivision rausbekommen?! $\begin{eqnarray*} \frac{x^3 -1}{x-1}=x^2+x+1 \end{eqnarray*}$
naja, also ersetzt du den bruch in deiner grenzwertbetrachtung durch dieses polynom und dann ist die grenzwertbetrachtung easy smile

smile

14.01.2011, 00:02

Broly

Auf diesen Beitrag antworten »

ah ja^^ mein Vorzeichenfehler.

also in x² + x + 1 ; x-> 1 bzw 1 einsetzen ?
Was bedeuten würde das der Grenzwert 3 wäre.

Grüße

14.01.2011, 00:06

AlphaCentauri

Auf diesen Beitrag antworten »

richtig, der grenzwert ist 3 Freude

Freude

14.01.2011, 00:11

Broly

Auf diesen Beitrag antworten »

Oh man hehe ^^ gar nicht so schwer das alles.

10000000 Dank =) ich liebe dieses Forum ;D Gott

Gott

smile

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »