Fixpunktiteration für LGS

23.11.2006, 08:17	PsyPhi	Auf diesen Beitrag antworten »
Fixpunktiteration für LGS Hallo zusammen Im Numerik Praktikum habe ich folgende Aufgabe zu lösen: A ist eine symmetrische, positiv definite Matrix , x und b aus R^n gesucht ist eine Lösung des LGS Ax=b Dazu verwendet man die Fixpunktiteration: $\begin{eqnarray} x_n+1 = f(x_n) \\ x_0 = 0 \\ f(x) = x - \tau (Ax-b) \end{eqnarray}$ Das Ganze sol implementiert werden, so dass die Iteration abgebrochen wird wenn der relative Fehler $\begin{eqnarray} e= \frac{\|\|Ax-b\|\|_2}{\|\|b\|\|_2} \end{eqnarray}$ kleiner als ein vorgegebenes Epsilon wird. Testen sol man das Ganze für n=5 und die Einheitsmatrix und die Hilbertmatrix sowie passendes tau und b= (1,2,3,4,5) So weit so gut mein Programm funktioniert auch einwandfrei nun stellt sich die Frage wie man tau geeignet wählen muss damit Konvergenz gewährleistet ist. Nach dem Banachschen Fixpunktsatz muss f kontrahierend sein d.h. $\begin{eqnarray} \|\|x- \tau(ax-b) - y + \tau (Ax-b)\|\| <= c \|\|x-y\|\| \end{eqnarray}$ mit c<1 $\begin{eqnarray} \|\|x-y - \tau(Ax-Ay)\|\| <= c \|\|x-y\|\| \end{eqnarray}$ Jetzt komme ich auf das Ergebnis, dass tau möglichst nahe an $\begin{eqnarray} \|\|A\|\|_2 \end{eqnarray}$ liegen muss denn dann wird die Differenz auf der linken Seite sehr klein. Das stimmt auch für das erste Beispiel, wenn ich tau nahe 1 wähle komme ich mit wenigen Iterationen auf die richtige Lösung. Liege ich richtig oder kann man irgendwie anders argumentieren? Danke für eure Hilfe
23.11.2006, 11:23	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fixpunktiteration für LGS $\begin{eqnarray} \text{ A ist SPD Matrix, }x,b \in \mathbb R^n \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{Gesucht: Lösung des LGS Ax = b, Verfahren: Fixpunktiteration} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(x):=(I - P^{-1}A)x + P^{-1}b \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(x)=:Tx +c =x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{Dabei ist P ein Präkonditionierer. Vergleiche Gauss-Seidel Verfahren, etc.. Für die Untersuchen des BFS betrachten wir, dass gilt (Normen)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \|\|f(x)-f(y)\|\| \leq \|\|T\|\| \cdot\|\|x-y\|\| \text{ für alle } x,y \in \mathbb R^n \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{Spektralradius }\phi (T) = max\{\|\lambda \|: Tx = \lambda x, x \neq 0\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{Satz: Das ITV s.o. konvergiert für jedes } x_0 \text{gegen den Fixpunk von f genau dann wenn} \phi (T) < 1 \end{eqnarray}$ Jetzt noch den Zusammenhang zwischen Norm einer Matrix und Spektralradius heraus finden! Da gibt es auch einen Satz dazu Gruß

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