fokaler Punkt

12.01.2011, 20:51

frieder

fokaler Punkt

Hallo.

Ich verstehe eine Definition nicht, obwohl ich mich schon lange damit auseinandergesetzt habe. Es geht um fokale Punkte:

Sei M eine Untermannigfaltigkeit des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ z.B. die Einheitssphäre. Sei das Normalenbündel von M definiert durch $\begin{eqnarray*} NM=\{(q,v): q \in M, v \end{eqnarray*}$ ist senkrecht zu M $\begin{eqnarray*} \} \end{eqnarray*}$ . Definiere eine Abbildung durch $\begin{eqnarray*} E: NM \to \mathbb{R}^n, E(q,v)=q+v \end{eqnarray*}$ . Dann ist x ein fokaler Punkt von (M,q), falls x=q+v für ein $\begin{eqnarray*} (q,v) \in NM \end{eqnarray*}$ und falls das Differential von E an (q,v) nicht surjektiv ist.

Ein Beispiel sei der Mittelpunkt eines Kreises.

Was ich nicht verstehe: Das Differential von E ist doch einfach eine Matrix, deren Einträge überall 1 sind? Wo ist mein Denkfehler? Denn dann wäre das Differential ja immer nicht surjektiv!
Außerdem: angenommen, ich wähle ein q auf der Einheitssphäre (betrachte Kreis). Dann wäre ein v auf der Normalen durch q. Die Summe von q und v kann nun den Mittelpunkt des Kreises treffen, aber warum ist genau im Mittelpunkt, und nur dort, das Differential nicht surjektiv?

Vielleicht kennt ja jemand einen guten link, wo man das nachlesen kann (habe nichts gefunden) oder vielleicht kann mir jemand das Beispiel mit dem Kreis erklären.

Darüber wäre ich sehr dankbar,
lg frieder

13.01.2011, 23:17

gonnabphd

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Zitat:

Das Differential von E ist doch einfach eine Matrix, deren Einträge überall 1 sind?

Wie kommst du denn darauf?

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