Grenzwertberechnung

12.01.2011, 22:25

RatedR

Grenzwertberechnung

Edit (Cel): Titel modifiziert. "Aufgabe 7 bringt mich dazu mathe zu schieben Augenzwinkern

" ist nicht sehr geeignet.

Meine Frage:
Hallo euch allen erstmal und schon mal vielen dank an alle die bereit sind mir zu helfen oder es zumindest versuchen

Aufgabe 7:

lim ((n^2-(n^4-8)^0,5)^0,5
n->unendlich

Ich versuch diese Aufabe schon seit längerem zu Lösen ich kenne das Ergebnis auch allerdings verstehe ich nicht wirklich wie man darauf kommt da ich jedes mal nur ins nirvana rechne.Ich wäre sehr dankbar wenn jemand in der Lage wäre mir einen nachvollziehbaren Rechenweg zu zeigen smile

Meine Ideen:
Der Ansatz die Aufgabe zu lösen ist mit ((n^2+(n^4-8)^0,5)0,5 zu erweitern allerdings bekomme ich dann einen Bruch der bei jeder Anwendung von L`Hospital wechst und größer wird. Das Ergebnis muss 2 sein .

12.01.2011, 22:35

Q-fLaDeN

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Es geht also um

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \sqrt{n^2-\sqrt{n^4-8}} \end{eqnarray*}$

Erweitere mal unter der großen Wurzel so, dass du die 3. binomische Formel anwenden kannst.

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \sqrt{n^2-\sqrt{n^4-8}} = \lim_{n \to \infty} \sqrt{\frac{(n^2-\sqrt{n^4-8})(...)}{(...)}} \end{eqnarray*}$

\Edit: Der Grenzwert ist nicht 2.

12.01.2011, 22:46

RatedR

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Vielen Dank das du so schnell geantwortet hast leider ist das Ergebis auch falsch es muss 2 herauskommen.

Aber vielen Dank das du die Formel richtig hingeschrieben hast genau die habe ich gemeint.

mein prof meinte ich sollte es mit dem Term wie bei meinen Ideen geschrieben habe erweitern

13.01.2011, 10:46

chili12

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Also wenn das Ergebnis 2 richtig ist dann ist die Aufgabe dazu falsch Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \sqrt{n^2-\sqrt{n^4-8}} \end{eqnarray*}$ ist definitiv nicht 2!

Die Idee von Q-fLaDeN ist genau richtig. Erweitere den Bruch unter der Wurzel doch mal dann müsstest du es selbst sehen.

mfg

13.01.2011, 14:12

Q-fLaDeN

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Zitat:

Original von RatedR
...leider ist das Ergebis auch falsch es muss 2 herauskommen.

Welches Ergebnis denn? Und nochmals: 2 ist nicht der Grenzwert.

Ob du nun mit dem von deinem Prof. angegebenen Term erweiterst oder es gleich unter der Wurzel machst, ist egal, das is beides das gleiche, aber wenn man es gleich unter der Wurzel macht ist es mMn ein wenig übersichtlicher.

13.01.2011, 21:10

RatedR

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hahahah danke du hattest von anfang an die richtig lösung habs mal mit dem taschenrechner probiert läuft mal gegen null und mit deinem weg kommt das richtige raus

14.01.2011, 10:17

Rizzoli

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Zitat:

Original von RatedR
läuft mal gegen null

Grenzwert = 0 ist also die richtige Lösung, sehe ich das so richtig? Zumindest habe ich das nach den Überlegungen hier nun rausbekommen ^^

14.01.2011, 11:24

chili12

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Ja das ist richting, denn:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \sqrt{n^2-\sqrt{n^4-8}} = \lim_{n \to \infty} \sqrt{\frac{(n^2-\sqrt{n^4-8}) \cdot (n^2+\sqrt{n^4-8})}{(n^2+\sqrt{n^4-8})}}=\lim_{n \to \infty} \sqrt{\frac{(n^4-n^4+8) }{(n^2+\sqrt{n^4-8})}} \end{eqnarray*}$

Weiter gilt:

$\begin{eqnarray*} 0 \leq \lim_{n \to \infty} \sqrt{\frac{8 }{(n^2+\sqrt{n^4-8})}} \leq \lim_{n \to \infty} \sqrt{\frac{8 }{n^2}}=\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{8 }}{n}=0 \end{eqnarray*}$

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