Normalverteilung - Wahrscheinlichkeitsrechnung |
13.01.2011, 02:34 | Carpo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Normalverteilung - Wahrscheinlichkeitsrechnung Ich habe hier eine Aufgabe bei der ich nicht weiterkomme. Statistik an sich mit solchen Sachen wie Varianz, Standardabweichnung usw. find ich recht interessant, aber sobald es um Wahrscheinlichkeitsrechnung geht, blick ich nicht mehr durch.... hoffe ihr könnt weiterhelfen. Folgende Frage: "Im Jahre 2009 hatte die Bundesrepublik Deutschland 81.802.000 Einwohner. Darunter waren 40.103.000 männlich. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass a) unter 100 Personen höchstens 50 Frauen sind b) mindestens 40 und höchstens 60 Frauen sind?" Hoffe ihr könnt mir weiterhelfen - weil ich weiß nicht, wie ich das lösen soll. Gruß Carpo |
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13.01.2011, 11:06 | Lampe16 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Normalverteilung - Wahrscheinlichkeitsrechnung Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig eingefangene Person männlich ist, sei p. Den Wert dafür kannst du aus der Aufgabenstellung ausrechnen. Das Geschlecht kannst du als zweipunktverteilte Zufallsvariable mit den Werten 0 oder 1 abbilden, 0 für Frau*) und 1 für Mann. Dann ist die Wahrscheinlichkeit w(1)=p und w(0)=1-p. Wenn du mehrere Personen als Stichprobe nimmst, ist die Summe der eben eingeführten Zufallsvariablen binomialverteilt. Du kannst also deine Aufgabe mit Hilfe der Binomialverteilung lösen. *)Man kann es auch andersrum machen. |
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13.01.2011, 11:22 | Carpo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
danke für deine Antwort! Das werd ich mal ausprobieren. Ich hab das mal - unabhängig von deiner Antwort - so probiert, dass ich gesagt habe: - Frauen = 51%, Männer = 49% a) P(X größer gleich 0,51), dann über die Tabelle der Normalverteilung schauen was bei 0,51 steht. Es kommt 0,6950 raus. Sprich die Wahrscheinlichkeit, dass unter 100 Personen höchstens 50 Frauen sind, beträgt 69,5%. |
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13.01.2011, 12:39 | Lampe16 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich habe per Binomialweg für a 45,99 % und für b 96,11 % raus. Mit der Normalverteilung kannst du auch arbeiten, weil sie hier die B.-Vert. nähert. Aber es geht anders als dein Ansatz. |
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13.01.2011, 16:30 | Carpo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
liege ich richtig wenn ich sage: p = 0,49 (Männer) 1-p = 0,51 (Frauen) n = 100 k = 2, 3, 4, .... 50 Dann muss ich es nur noch in die Formel einsetzen, oder? Das wird aber dann ne ewig lange Formel wenn k = 2, 3, 4, .... 50 |
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13.01.2011, 17:09 | Lampe16 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja, fast! Für a gilt k=0, 1, ..., 50. Für b gilt k=40, 41, ..., 60. Die Formel wäre wirklich lang. Du musst aber nicht unbedingt die Einzelwahrscheinlichkeiten addieren, sondern kannst statt dessen die Wahrscheinlichkeitsfunktion der BinV (kumulierte Einzelwahrscheinlichkeiten) verwenden. Die Funktion könnte auch auf deinem Taschenrechner sein. Dann werden die langen Summen wertgleiche einfache Differenzen. |
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13.01.2011, 17:41 | Lampe16 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Damit der Schreck vor der langen Formel nachlässt, verrate ich dir noch den workaround mit der NV. Du kannst die Wahrscheinlichkeitsfunktion (Wf) der Binomialverteilung näherungsweise durch die Wf der erwartungswert- und varianzgleichen Normalverteilung ersetzen. Das wären dann bzw. |
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13.01.2011, 20:16 | Carpo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
mü = 49, sigma² = 24,99 das heißt ich nehme dann mü und sigma und füge es in die Formel ein: bei a) P(X kleiner gleich 50) = (50 - mü)/ sigma = (50 - 49)/ 4,99 = 0,2 0,2 --> über Tabelle 0,5793 und bei b) P(40 kleiner gleich X kleiner gleich 60) = ((60 - 49)/ 4,99) - ((40 - 49)/ 4,99) = 0,396 0,396 --> über Tabelle 0,6539 |
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13.01.2011, 22:07 | Lampe16 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich gebe dir jetzt noch die Näherungslösungen für die Teilaufgaben a und b: Die "0,5" hängen damit zusammen, das n-verteilte ZV stetig und und bin.-verteilte ZV diskret sind. und wie oben von mir angegeben bezeichnet die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Standard-Normalverteilung. |
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13.01.2011, 23:24 | Carpo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
danke für deine Hilfe bisher, aber sag mir bitte wie groß bei dir mü und sigma ist. Weil ich immer noch auf andere Ergebnisse komme... ich verstehe nicht warum... |
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14.01.2011, 09:44 | Lampe16 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Nimmst du vielleicht statt |
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14.01.2011, 11:07 | Carpo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
doch ich habs richtig gemacht. Ich bekomme dann bei der a) -0,1 und bei der b) 4,008 und wenn ich dann in der Tabelle der Normalverteilung schaue, stehen da ganz andere Werte.... wo ist mein Fehler? |
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14.01.2011, 11:30 | Lampe16 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Du schaust möglicherweise in der Wahrscheinlickeitsdichte-Tabelle der Normalverteilung nach statt in der Wahrscheinlickeitsfunktions-Tabelle. Letztere muss bei 0 den Wert 0,5 haben. |
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14.01.2011, 12:54 | Carpo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
ich habe hier 2 verschiedene Bücher und beide sagen mir andere Werte... daran liegts! Aber bei der b) 4,008 - wie kann ich den Wert nachschauen? Bei mir geht das nur bis 3. |
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14.01.2011, 13:23 | Lampe16 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Über 3 machst du keinen großen Fehler, wenn du den Wert eins nimmst. Die Werte für 3.0, 3.1, ..., 4.0 sind folgende: 0.9986501 0.9990324 0.9993129 0.9995166 0.9996631 0.9997674 0.9998409 0.9998922 0.9999277 0.9999519 0.9999683 |
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14.01.2011, 13:46 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Aber da kommt gar kein Wert über 3 heraus. @Carpo Schreib doch mal hin, was du konkret gerechnet hast. Wo ist bei dir die Differenz geblieben? Ich vermute mal, du hast erst die Differenz genommen und bist dann in die Tabelle gegangen. Du musst aber mit jedem der beiden Werte in die Tabelle gehen und dann die Differenz bilden. |
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14.01.2011, 14:22 | Lampe16 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Huggy führt dich auf eine richtige Spur. Damit du nicht weiter rätseln musst, schicke ich dir den Scilab-Code mit allen Zwischenwerten n=100;p=0.51; //p: Frauen mue=n*p //51 sig=sqrt(mue*(1-p))// 4.999 za=(50+0.5-mue)/sig //- 0.1000200 wan=cdfnor("PQ",za,0,1)//0.4601642 zb1=(60+0.5-mue)/sig//1.9003801 zb2=(40-0.5-mue)/sig//-2.3004601 Pb1=cdfnor("PQ",zb1,0,1)//0.9713084 Pb2=cdfnor("PQ",zb2,0,1)//0.0107111 wbn=Pb1-Pb2//0.9605973 |
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14.01.2011, 22:15 | Carpo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
jap das war der Fehler! Danke euch vielmals!! |
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16.01.2011, 01:07 | Carpo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich hab noch ne Frage zu den Z-Werten allgemein. Wenn ich jetzt beispielsweise einen negativen Z-Wert habe 0,3 - kann ich dann davon ausgehen, dass -0,3 = 0,3 entspricht, wegen der Symetrie der Normalverteilung? |
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16.01.2011, 01:22 | Math1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja, ganz genau |
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16.01.2011, 08:07 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das ist sicher richtig gemeint, aber doch missverständlich. Für die Dichtefunktion gilt tatsächlich Für die Verteilungsfunktion, die man für Wahrscheinlichkeiten braucht, ergibt sich aber aus der Symmetrie |
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16.01.2011, 09:57 | Lampe16 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Die W.-Dichte ist so. Die W.-Funktion, die du hier benutzt hast, hat die Eigenschaft nicht. edit: sehe gerade, dass meine Bemerkung überflüssig ist. |
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16.01.2011, 11:49 | Carpo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
ok aber was wenn der Z-Wert über 1 ist? Z.B. -2,3 - dann rechne ich ja 1-2,3 und hab am Ende wieder einen negativen Wert. Und was mich total verwirrt: ich hab hier zwei Statistik Bücher, in deren Tabellen unterschiedliche Werte für den jeweiligen Z-Wert vorkommen. Wie kann das sein?? Bei dem einen verwirrt mich z.B., dass je größer der Z-Wert wird, die Wahrscheinlichkeit gegen 0 geht. Obwohl es doch anders herum sein müsste...! |
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16.01.2011, 11:54 | Math1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
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16.01.2011, 12:03 | Carpo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
in dem einen steht über der Tabelle "Verteilungsfunktion der standardtisierten Normalverteilung" (Statistik für Soziologen, Pädagogen, Psychologen und Mediziner. Clauß) im anderen heißt es "Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung" (Statistische Methoden in der Geographie. Bahrenberg) |
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16.01.2011, 12:05 | Lampe16 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
@Carpo Damit du ein Bild hast ... |
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18.01.2011, 11:59 | Carpo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
danke dir vielmals! |
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