Normalverteilung - Wahrscheinlichkeitsrechnung

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Carpo Auf diesen Beitrag antworten »
Normalverteilung - Wahrscheinlichkeitsrechnung
Hallo allerseits!

Ich habe hier eine Aufgabe bei der ich nicht weiterkomme. Statistik an sich mit solchen Sachen wie Varianz, Standardabweichnung usw. find ich recht interessant, aber sobald es um Wahrscheinlichkeitsrechnung geht, blick ich nicht mehr durch.... hoffe ihr könnt weiterhelfen. Folgende Frage:

"Im Jahre 2009 hatte die Bundesrepublik Deutschland 81.802.000 Einwohner. Darunter waren
40.103.000 männlich. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
a) unter 100 Personen höchstens 50 Frauen sind
b) mindestens 40 und höchstens 60 Frauen sind?"

Hoffe ihr könnt mir weiterhelfen - weil ich weiß nicht, wie ich das lösen soll.
Gruß Carpo
Lampe16 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Normalverteilung - Wahrscheinlichkeitsrechnung
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig eingefangene Person männlich ist, sei p. Den Wert dafür kannst du aus der Aufgabenstellung ausrechnen.
Das Geschlecht kannst du als zweipunktverteilte Zufallsvariable mit den Werten 0 oder 1 abbilden, 0 für Frau*) und 1 für Mann. Dann ist die Wahrscheinlichkeit w(1)=p und w(0)=1-p. Wenn du mehrere Personen als Stichprobe nimmst, ist die Summe der eben eingeführten Zufallsvariablen binomialverteilt. Du kannst also deine Aufgabe mit Hilfe der Binomialverteilung lösen.

*)Man kann es auch andersrum machen.
Carpo Auf diesen Beitrag antworten »

danke für deine Antwort! Das werd ich mal ausprobieren.
Ich hab das mal - unabhängig von deiner Antwort - so probiert, dass ich gesagt habe:

- Frauen = 51%, Männer = 49%

a) P(X größer gleich 0,51), dann über die Tabelle der Normalverteilung schauen was bei 0,51 steht. Es kommt 0,6950 raus. Sprich die Wahrscheinlichkeit, dass unter 100 Personen höchstens 50 Frauen sind, beträgt 69,5%.
Lampe16 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe per Binomialweg für a 45,99 % und für b 96,11 % raus.

Mit der Normalverteilung kannst du auch arbeiten, weil sie hier die B.-Vert. nähert. Aber es geht anders als dein Ansatz.
Carpo Auf diesen Beitrag antworten »

liege ich richtig wenn ich sage:

p = 0,49 (Männer)
1-p = 0,51 (Frauen)
n = 100
k = 2, 3, 4, .... 50

Dann muss ich es nur noch in die Formel einsetzen, oder? Das wird aber dann ne ewig lange Formel wenn k = 2, 3, 4, .... 50
Lampe16 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Carpo: liege ich richtig...


Ja, fast!
Für a gilt k=0, 1, ..., 50.
Für b gilt k=40, 41, ..., 60.
Die Formel wäre wirklich lang. Du musst aber nicht unbedingt die Einzelwahrscheinlichkeiten addieren, sondern kannst statt dessen die Wahrscheinlichkeitsfunktion der BinV (kumulierte Einzelwahrscheinlichkeiten) verwenden. Die Funktion könnte auch auf deinem Taschenrechner sein. Dann werden die langen Summen wertgleiche einfache Differenzen.
 
 
Lampe16 Auf diesen Beitrag antworten »

Damit der Schreck vor der langen Formel nachlässt, verrate ich dir noch den workaround mit der NV.
Du kannst die Wahrscheinlichkeitsfunktion (Wf) der Binomialverteilung näherungsweise durch die Wf der erwartungswert- und varianzgleichen Normalverteilung ersetzen. Das wären dann
bzw.
Carpo Auf diesen Beitrag antworten »

mü = 49, sigma² = 24,99

das heißt ich nehme dann mü und sigma und füge es in die Formel ein:

bei a) P(X kleiner gleich 50) = (50 - mü)/ sigma = (50 - 49)/ 4,99 = 0,2
0,2 --> über Tabelle 0,5793

und bei b) P(40 kleiner gleich X kleiner gleich 60) = ((60 - 49)/ 4,99) - ((40 - 49)/ 4,99) = 0,396
0,396 --> über Tabelle 0,6539
Lampe16 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich gebe dir jetzt noch die Näherungslösungen für die Teilaufgaben a und b:





Die "0,5" hängen damit zusammen, das n-verteilte ZV stetig und und bin.-verteilte ZV diskret sind.

und wie oben von mir angegeben

bezeichnet die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Standard-Normalverteilung.
Carpo Auf diesen Beitrag antworten »

danke für deine Hilfe bisher, aber sag mir bitte wie groß bei dir mü und sigma ist. Weil ich immer noch auf andere Ergebnisse komme... ich verstehe nicht warum... verwirrt
Lampe16 Auf diesen Beitrag antworten »



Nimmst du vielleicht statt
Carpo Auf diesen Beitrag antworten »

doch ich habs richtig gemacht. Ich bekomme dann bei der a) -0,1 und bei der b) 4,008

und wenn ich dann in der Tabelle der Normalverteilung schaue, stehen da ganz andere Werte.... wo ist mein Fehler? Hammer
Lampe16 Auf diesen Beitrag antworten »

Du schaust möglicherweise in der Wahrscheinlickeitsdichte-Tabelle der Normalverteilung nach statt in der Wahrscheinlickeitsfunktions-Tabelle. Letztere muss bei 0 den Wert 0,5 haben.
Carpo Auf diesen Beitrag antworten »

ich habe hier 2 verschiedene Bücher und beide sagen mir andere Werte... daran liegts!

Aber bei der b) 4,008 - wie kann ich den Wert nachschauen? Bei mir geht das nur bis 3.
Lampe16 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Carpo
Aber bei der b) 4,008 - wie kann ich den Wert nachschauen? Bei mir geht das nur bis 3.

Über 3 machst du keinen großen Fehler, wenn du den Wert eins nimmst.

Die Werte für 3.0, 3.1, ..., 4.0 sind folgende:
0.9986501
0.9990324
0.9993129
0.9995166
0.9996631
0.9997674
0.9998409
0.9998922
0.9999277
0.9999519
0.9999683
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Lampe16
Über 3 machst du keinen großen Fehler, wenn du den Wert eins nimmst.

Aber da kommt gar kein Wert über 3 heraus.

@Carpo
Schreib doch mal hin, was du konkret gerechnet hast.
Wo ist bei dir die Differenz geblieben?
Ich vermute mal, du hast erst die Differenz genommen und bist dann in die Tabelle gegangen. Du musst aber mit jedem der beiden Werte in die Tabelle gehen und dann die Differenz bilden.
Lampe16 Auf diesen Beitrag antworten »

Huggy führt dich auf eine richtige Spur. Damit du nicht weiter rätseln musst, schicke ich dir den Scilab-Code mit allen Zwischenwerten
n=100;p=0.51; //p: Frauen
mue=n*p //51
sig=sqrt(mue*(1-p))// 4.999
za=(50+0.5-mue)/sig //- 0.1000200
wan=cdfnor("PQ",za,0,1)//0.4601642
zb1=(60+0.5-mue)/sig//1.9003801
zb2=(40-0.5-mue)/sig//-2.3004601
Pb1=cdfnor("PQ",zb1,0,1)//0.9713084
Pb2=cdfnor("PQ",zb2,0,1)//0.0107111
wbn=Pb1-Pb2//0.9605973
Carpo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Huggy
@Carpo
Schreib doch mal hin, was du konkret gerechnet hast.
Wo ist bei dir die Differenz geblieben?
Ich vermute mal, du hast erst die Differenz genommen und bist dann in die Tabelle gegangen. Du musst aber mit jedem der beiden Werte in die Tabelle gehen und dann die Differenz bilden.


jap das war der Fehler! Danke euch vielmals!!
Carpo Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab noch ne Frage zu den Z-Werten allgemein.
Wenn ich jetzt beispielsweise einen negativen Z-Wert habe 0,3 - kann ich dann davon ausgehen, dass -0,3 = 0,3 entspricht, wegen der Symetrie der Normalverteilung?
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ganz genau
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Math1986
Ja, ganz genau

Das ist sicher richtig gemeint, aber doch missverständlich. Für die Dichtefunktion gilt tatsächlich



Für die Verteilungsfunktion, die man für Wahrscheinlichkeiten braucht, ergibt sich aber aus der Symmetrie

Lampe16 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Carpo

Wenn ich jetzt beispielsweise einen negativen Z-Wert habe 0,3 - kann ich dann davon ausgehen, dass -0,3 = 0,3 entspricht, wegen der Symetrie der Normalverteilung?



Die W.-Dichte ist so. Die W.-Funktion, die du hier benutzt hast, hat die Eigenschaft nicht.

edit: sehe gerade, dass meine Bemerkung überflüssig ist.
Carpo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Huggy
Das ist sicher richtig gemeint, aber doch missverständlich. Für die Dichtefunktion gilt tatsächlich



Für die Verteilungsfunktion, die man für Wahrscheinlichkeiten braucht, ergibt sich aber aus der Symmetrie



ok aber was wenn der Z-Wert über 1 ist? Z.B. -2,3 - dann rechne ich ja 1-2,3 und hab am Ende wieder einen negativen Wert. Hammer

Und was mich total verwirrt: ich hab hier zwei Statistik Bücher, in deren Tabellen unterschiedliche Werte für den jeweiligen Z-Wert vorkommen. Wie kann das sein??
Bei dem einen verwirrt mich z.B., dass je größer der Z-Wert wird, die Wahrscheinlichkeit gegen 0 geht. Obwohl es doch anders herum sein müsste...!
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Carpo
Zitat:
Original von Huggy
Das ist sicher richtig gemeint, aber doch missverständlich. Für die Dichtefunktion gilt tatsächlich



Für die Verteilungsfunktion, die man für Wahrscheinlichkeiten braucht, ergibt sich aber aus der Symmetrie



ok aber was wenn der Z-Wert über 1 ist? Z.B. -2,3 - dann rechne ich ja 1-2,3 und hab am Ende wieder einen negativen Wert. Hammer
Nein, dann rechnest du



Zitat:
Original von Carpo
Und was mich total verwirrt: ich hab hier zwei Statistik Bücher, in deren Tabellen unterschiedliche Werte für den jeweiligen Z-Wert vorkommen. Wie kann das sein??
Bei dem einen verwirrt mich z.B., dass je größer der Z-Wert wird, die Wahrscheinlichkeit gegen 0 geht. Obwohl es doch anders herum sein müsste...!
Dann schau dir mal an, was da tabelliert ist, Tabellen haben üblicherweise sowas wie eine Legende...
Carpo Auf diesen Beitrag antworten »

in dem einen steht über der Tabelle
"Verteilungsfunktion der standardtisierten Normalverteilung" (Statistik für Soziologen, Pädagogen, Psychologen und Mediziner. Clauß)

im anderen heißt es
"Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung" (Statistische Methoden in der Geographie. Bahrenberg)
Lampe16 Auf diesen Beitrag antworten »

@Carpo
Damit du ein Bild hast ...
Carpo Auf diesen Beitrag antworten »

danke dir vielmals!
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