ggT und teilerfremd

23.11.2006, 11:48

timadler

ggT und teilerfremd

Hey zusammen,

ich stehe mal wieder nicht ganz schlüssig vor einer Aufgabe:

d = ggT(a,b)
zu zeigen: a/d und b/d sind teilerfremd

Also ich habe mich bisher so probiert:

a = d * i
b = d * j

$\begin{eqnarray*} i \neq j \\i,j \in \mathbb N \\ggT(d,j) = 1 \\ggT(d,i) = 1 \end{eqnarray*}$

Allerdings so wirklich weiter weiss ich nicht, und ob das überhaupt so der richtige Weg ist.

23.11.2006, 12:00

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Zitat:

Original von timadler
$\begin{eqnarray*} ggT(d,j) = 1 \\ggT(d,i) = 1 \end{eqnarray*}$

Allerdings so wirklich weiter weiss ich nicht, und ob das überhaupt so der richtige Weg ist.

Nein, ist er nicht. Diese Schlussfolgerungen sind nämlich falsch, Beispiel a=12, b=18 :

Da ist d=ggT(12,18)=6, also i=2 und j=3, also

ggT(d,i)=ggT(6,2)=2
ggT(d,j)=ggT(6,3)=3

beide ungleich Eins !!!

Du kannst die Behauptung aber z.B. indirekt beweisen, indem du annimmst, dass t = ggT(i,j) > 1 gilt. Dann folgt, dass t*d ein gemeinsamer Teiler von a und b sein müsste ...

23.11.2006, 12:15

timadler

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Danke!

angenommen:
$\begin{eqnarray*} t = ggT(i,j) > 1 \end{eqnarray*}$
dann würde gelten
$\begin{eqnarray*} t\cdot d|a\\t\cdot d|b\\ \end{eqnarray*}$
da t>1 und für das ggT(a,b) gilt:
es existieren keine e>d
$\begin{eqnarray*} e>d , e\in \mathbb N \end{eqnarray*}$
mit e|d und e|b, da aber t>d, würde gelten, dass
$\begin{eqnarray*} t \neq ggT(i,j) > 1 \end{eqnarray*}$

daher

muss ggT(i,j) und somit ggT(a/d, b/d) =1

23.11.2006, 12:21

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Genau so läuft der indirekte Beweis, ja. Freude

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