Beweis HomK(V,W)

13.01.2011, 13:06

G0rd0nGeKK0

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Beweis HomK(V,W)

Seien V,W endlichdimensionale K-Vektorräume und $\begin{eqnarray*} \varphi \in Hom_{\mathbb K } (V,W) \end{eqnarray*}$ .

Zeigen Sie:

a) Es gilt $\begin{eqnarray*} \varphi^{*} (W^{*} ) = (Ker \varphi)^{o} \end{eqnarray*}$
b) Es ist $\begin{eqnarray*} Ker (\varphi^{*}) = (\varphi(V))^{o} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} o \end{eqnarray*}$ soll der Annulator bedeuten und * bedeutet Dualraum.
Leider ist mir dieser "Homomorphismenraum" über den Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb K \end{eqnarray*}$ noch nicht so ganz klar. Kann mir das einer ein bisschen erläutern bitte?

Thx für eure Tipps.

13.01.2011, 15:35

EinGast

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RE: Beweis HomK(V,W)
$\begin{eqnarray*} \mathrm{Hom}_\mathbb{K}(V,W) \end{eqnarray*}$ ist die Menge aller linearen Abbildungen von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ .
Der Dualraum $\begin{eqnarray*} V^* \end{eqnarray*}$ ist definiert als die Menge aller linearen Abbildungen von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb{K} \end{eqnarray*}$

Ist $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ ein Unterraum von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ , so besteht der Annulator $\begin{eqnarray*} U^\circ \end{eqnarray*}$ aus denjenigen $\begin{eqnarray*} f\in V^* \end{eqnarray*}$ , die Null sind auf ganz U (also für die gilt $\begin{eqnarray*} f(u)=0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} u\in U \end{eqnarray*}$ ). Damit ist $\begin{eqnarray*} U^\circ \end{eqnarray*}$ ein Unterraum von $\begin{eqnarray*} V^* \end{eqnarray*}$ .

Bei b) meinst du links $\begin{eqnarray*} \mathrm{Ker}(\varphi^*) \end{eqnarray*}$ , oder?

13.01.2011, 15:57

G0rd0nGeKK0

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RE: Beweis HomK(V,W)
Ja genau Augenzwinkern

Augenzwinkern

Danke für die Erklärungen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Bearbeitest du dasselbe Aufgabenblatt wie ich? Augenzwinkern

Augenzwinkern

14.01.2011, 17:30

G0rd0nGeKK0

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RE: Beweis HomK(V,W)
Kann mir hier jemand einen Tipp geben pls?

14.01.2011, 17:42

Elvis

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Jetzt müssten wir nur noch wissen, wie zu gegebenem $\begin{eqnarray*} \varphi\in Hom_{\mathbb K}(V,W) \end{eqnarray*}$ die Abbildung $\begin{eqnarray*} \varphi^* \end{eqnarray*}$ definiert ist. Dann könnten wir anfangen zu beweisen.

14.01.2011, 17:48

G0rd0nGeKK0

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Dualraum

Sei V ein Vektorraum über einen Körper K. Die Menge aller linearen Abb von V nach K bezeichnen wir als Dualraum.

$\begin{eqnarray*} V^{*}:= \{{\varphi: V\rightarrow K | \varphi } \end{eqnarray*}$ ist linear $\begin{eqnarray*} \} \end{eqnarray*}$

Die Elemente nennen wir Linearform.
Also auf dem Aufgabenblatt steht da nichts mehr über $\begin{eqnarray*} \varphi^{*} \end{eqnarray*}$ .

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14.01.2011, 18:00

Elvis

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Müssen wir aber wissen, denn auf der linken Seite in Aufgabe a) und b) taucht das Ding auf. Es ist offenbar sein Bild und sein Kern gesucht. In den Untiefen deines Skripts muss dieses "Ungeheuer" zu finden sein.

14.01.2011, 18:04

jester.

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Üblicherweise ist zu $\begin{eqnarray*} \varphi ~:~ V \to W \end{eqnarray*}$ linear $\begin{eqnarray*} \varphi ^* \end{eqnarray*}$ definiert durch $\begin{eqnarray*} \varphi^* ~:~ W^* \to V^*, ~ \tau \mapsto \tau\circ\varphi \end{eqnarray*}$ .

14.01.2011, 18:13

G0rd0nGeKK0

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Also vielleicht bin ich ganz nah dran die Aufgabe zu lösen oder meilenweit entfernt. Was genau ist der Unterschied zwischen einem Annulator und einem Kern?
Die Definitionen sehen ziemlich ähnlich aus.

14.01.2011, 18:17

Elvis

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@jester: Danke, das macht enorm viel Sinn, weil man so zu jeder Linearform $\begin{eqnarray*} \tau:W\to\mathbb K \end{eqnarray*}$ eine Linearform $\begin{eqnarray*} \varphi^{*}(\tau)=\tau\circ\varphi:V\to \mathbb K \end{eqnarray*}$ bekommt. Jetzt sollte der Beweis möglich sein. smile

smile

14.01.2011, 18:20

Elvis

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Ein Kern sind Vektoren, die auf Null abgebildet werden. Ein Annulator sind Funktionen, die auf Null abbilden.

14.01.2011, 18:27

G0rd0nGeKK0

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Ok also zu a)

Die Bildmenge von der linken Seite muss dann $\begin{eqnarray*} V^{*} \end{eqnarray*}$ sein. Das heißt jedes $\begin{eqnarray*} \tau \mapsto \tau o \varphi \end{eqnarray*}$ . Also heißt das zu zeigen, dass die rechte Seite dasselbe Bild haben muss richtig?

14.01.2011, 18:36

jester.

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@Elvis: Ja, genua das ist die Intention der dualen Abbildung.

@Gordon Gekko: Ich glaube, du bist eher meilenweit von der Lösung entfernt. In Aufgabe (a) stehen zwei Unterräume von $\begin{eqnarray*} V^* \end{eqnarray*}$ , deren Gleichheit du zeigen musst.

Folgere dazu aus $\begin{eqnarray*} x\in \varphi^*(W^*) \end{eqnarray*}$ , dass $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ jeden Vektor im Kern von $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ annuliert. Das ist mit der Definition, die ich gerade eben für die duale Abbildung angegeben habe, total klar. Zeige dann noch, dass die Dimensionen gleich sind, um die Gleichheit der Räume zu folgern.

14.01.2011, 18:57

creek

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hom
man muss sich ja bei aufgabe a ja ein element aus dem V stern nehmen und auf W stern anwenden und dieses ergibt.
das gleiche element muss nun im kern phi liegen oder dann hat man eine inklusion gezeigt kann einer den ersten 3 schritte zeigen wie man das aufschreibt?
bin neu hier also sorry

14.01.2011, 19:56

jester.

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Hallo creek,

das ist leider kein gelungener Einstieg im Matheboard. Du solltest dir stets Mühe geben, deine Beiträge verständlich zu formulieren. Auch korrekte Groß- und Kleinschreibung und die Verwendung von Satzzeichen wären sehr wünschenswert.

Auf jeden Fall solltest du dich auch mit Prinzip "Mathe online verstehen!" vertraut machen.

Also formuliere deinen Beitrag am besten noch einmal neu, sodass man auch genau weiß, was du willst, denn vor Allem bei einem mathematischen Thema kommt es auf Genauigkeit an.

14.01.2011, 20:09

G0rd0nGeKK0

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Leider ist mir das alles NICHT "total klar" sorry...unter den Definitionen kann man sich ja was vorstellen. Aber das Problem was ich habe ist, wie wende ich die Sachen an, die ich weiß? Die Gleichheit von Mengeninklusionen zz ist ja ein Thema für sich.

14.01.2011, 20:14

jester.

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Nun gut, dann versuchen wir es eben kleinschrittiger: Wenn $\begin{eqnarray*} x\in\varphi^*(W^*) \end{eqnarray*}$ liegt, dann heißt das ja nichts anderes, als dann $\begin{eqnarray*} x\in \operatorname{Bild}(\varphi^*) \end{eqnarray*}$ .
Das solltest du schon einmal gesehen haben: Was bedeutet es, im Bild einer Abbildung zu liegen? Wie kannst du $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ also noch schreiben?

14.01.2011, 20:21

G0rd0nGeKK0

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Wenn ich an Bilder einer Abbildung denke dann schreibe ich $\begin{eqnarray*} \varphi (x)\in Bild(\varphi^{*}) \end{eqnarray*}$ .

Oder meinst du was anderes?

14.01.2011, 20:25

jester.

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Ich meine: $\begin{eqnarray*} \varphi^* \end{eqnarray*}$ ist eine Abbildung von $\begin{eqnarray*} W^* \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} V^* \end{eqnarray*}$ . Wenn $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ im Bild dieser Abbildung liegt, dann gibt es ein $\begin{eqnarray*} y\in V^* \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x=\varphi^*(y) \end{eqnarray*}$ . Das ist erstmal eine Sache, die man aus der ersten Woche des Studiums kennt.
Dann kann man aber jetzt, da man $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ anders aufgeschrieben hat, nämlich als Bild unter $\begin{eqnarray*} \varphi^* \end{eqnarray*}$ , die Definition von $\begin{eqnarray*} \varphi^* \end{eqnarray*}$ einsetzen. Tu das und überlege dir dann, was passiert, wenn du die entstehende Abildung (beachte also, dass $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ selbst eine Abildung ist) auf einen Vektor anwendest, der im Kern von $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ liegt.

14.01.2011, 20:54

G0rd0nGeKK0

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Wenn ich $\begin{eqnarray*} x = \varphi^*(y) \end{eqnarray*}$ hinschreibe und dann die Definition von $\begin{eqnarray*} \varphi^* \end{eqnarray*}$ einsetze, dann steht da doch:

$\begin{eqnarray*} \tau \circ \varphi = \varphi^{*} (y) \end{eqnarray*}$
Und was haben wir nun genau erreicht?

15.01.2011, 08:10

jester.

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Was hat denn dieses $\begin{eqnarray*} \tau \end{eqnarray*}$ da zu suchen? Hast du die Definition von $\begin{eqnarray*} \varphi^* \end{eqnarray*}$ verstanden?

Und was wir erreicht haben, sollte dir wirklich klar sein:

Zitat:

Original von jester.
[...] überlege dir dann, was passiert, wenn du die entstehende Abildung (beachte also, dass $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ selbst eine Abildung ist) auf einen Vektor anwendest, der im Kern von $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ liegt.

16.01.2011, 00:16

Thermi

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Zitat:

Original von jester.
Ich meine: $\begin{eqnarray*} \varphi^* \end{eqnarray*}$ ist eine Abbildung von $\begin{eqnarray*} W^* \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} V^* \end{eqnarray*}$ . Wenn $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ im Bild dieser Abbildung liegt, dann gibt es ein $\begin{eqnarray*} y\in V^* \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x=\varphi^*(y) \end{eqnarray*}$ . Das ist erstmal eine Sache, die man aus der ersten Woche des Studiums kennt.

Warum wendet man die Abbildung denn auf einmal auf ein Element aus V* (y) an, um ein Element aus W* (x) zu erhalten? Das läuft doch eigentlich umgekehrt?

16.01.2011, 09:20

jester.

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Ja, stimmt, $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ ist aus $\begin{eqnarray*} W^* \end{eqnarray*}$ zu wählen. Schade, dass das nicht Gordon Gekko aufgefallen ist.

Edit: Vielleicht noch als Nachtrag: Wir haben als eine Abbildung $\begin{eqnarray*} x\in V^* \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ im Bild von $\begin{eqnarray*} \varphi^* \end{eqnarray*}$ liegt, können wir es auch als $\begin{eqnarray*} y\circ\varphi \end{eqnarray*}$ schreiben. Sei nun $\begin{eqnarray*} v\in \ker\varphi \end{eqnarray*}$ . Was ist dann $\begin{eqnarray*} (y\circ\varphi)(v)=y(\varphi(v)) \end{eqnarray*}$ ?

16.01.2011, 17:21

Thermi

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Wir haben jetzt ja schon gezeigt, dass wir mit $\begin{eqnarray*} \varphi^{*}(W^{*}) \end{eqnarray*}$ eine Abbildung aus $\begin{eqnarray*} V^{*} \end{eqnarray*}$ erhalten (Frage meinerseits: Kann man hier sagen, dass $\begin{eqnarray*} \varphi^{*}(W^{*})=V^{*} \end{eqnarray*}$ ?). Da $\begin{eqnarray*} \varphi: V -> W \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y\in W^{*} \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} W -> K \end{eqnarray*}$ geht, können wir $\begin{eqnarray*} x\in V^{*} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x: V -> K \end{eqnarray*}$ auch als Komposition $\begin{eqnarray*} x=y\circ \varphi \end{eqnarray*}$ schreiben. Dieses $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist also $\begin{eqnarray*} \in \varphi^{*}(W^{*}) \end{eqnarray*}$ . Jetzt wollen wir sehen, ob dieses $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ auch eine Abbildung ist, die $\begin{eqnarray*} ker \varphi \end{eqnarray*}$ auf Null schickt. $\begin{eqnarray*} ker \varphi \end{eqnarray*}$ sind definitionsgemäß alle $\begin{eqnarray*} v\in V \end{eqnarray*}$ , die von $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ auf Null geschickt werden. Wenden wir jetzt $\begin{eqnarray*} x=y\circ \varphi \end{eqnarray*}$ auf eines dieser $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ an, erhalten wir $\begin{eqnarray*} x(v)=y(0) \end{eqnarray*}$ . An dieser Stelle fällt mir das Argumentieren etwas schwierig, soll heißen: Ich kann nicht so recht argumentieren, warum $\begin{eqnarray*} y(0)=0 \end{eqnarray*}$ , denn damit wäre ja gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} x\in \varphi^{*}(W^{*}) \end{eqnarray*}$ den $\begin{eqnarray*} ker \varphi \end{eqnarray*}$ annuliert. Vielleicht könntest du da noch mal einen kleinen Hinweis geben?

25.02.2011, 16:23

hnky

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hey,

ich versuche gerade auch diese aussage zu beweisen, bin mir aber noch nicht sicher, ob ich das bis hier hin richtig verstanden habe.

zu zeigen ist die aussage: $\begin{eqnarray*} Bild(\phi^*)=(Kern(\phi))^0 \end{eqnarray*}$ , wobei
$\begin{eqnarray*} \phi: V \to W \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} \phi^*: W^* \to V^*, \tau \to \tau \circ \phi \end{eqnarray*}$ ist.

1. $\begin{eqnarray*} Bild(\phi^*) \subseteq (Kern(\phi))^0 \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} x \in Bild(\phi^*) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \implies \exists y \in W^*: \phi^*(y)=x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \implies y \circ \phi = x \end{eqnarray*}$ .

Sei $\begin{eqnarray*} v \in Kern(\phi) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \implies \phi(v)=0 \end{eqnarray*}$ .

Jetzt ist $\begin{eqnarray*} (y \circ \phi) (v) = y(\phi(v)) = y(0) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y \in W^* \end{eqnarray*}$ , also linear, und somit ist $\begin{eqnarray*} y(0)=0 \end{eqnarray*}$ .
Da aber auch $\begin{eqnarray*} y \circ \phi = x \end{eqnarray*}$ gilt, ist $\begin{eqnarray*} x(v)=0 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} x \in (Kern(\phi))^0 \end{eqnarray*}$ .

so habe ich zumindest die bisherigen posts in diesem thread verstanden.

wäre das so in ordnung, für die eine teilmengenbeziehung?

25.02.2011, 17:32

jester.

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Das ist so richtig. Der Rest folgt dann über die Dimension.

26.02.2011, 11:37

hnky

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Zitat:

Original von jester.
Das ist so richtig. Der Rest folgt dann über die Dimension.

über die dimension zu argumentieren, macht doch nur sinn, wenn es sich um endlich dimensionale räume handelt, oder?

soweit ich das sehe, geht man hier aber nicht explizit von einem endlich dimensionalen vektorraum aus.

edit: ich bin blöd, hab übersehen, dass im ersten post von einem endlich dimensionalen vektorraum gesprochen wird. dann ist mein einwand natürlich überflüssig smile

smile

Ich versuchs trotzdem mal smile

smile

$\begin{eqnarray*} dim(Bild(\phi^*)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =rang(\phi^*) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =rang(\phi) \end{eqnarray*}$ , da zeilenrang = spaltenrang bei matrizen gilt, sollte das bei der dualen abbildung auch der fall sein
$\begin{eqnarray*} =dim(Bild(\phi)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =dim V - dim Kern(\phi) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = dim((Kern(\phi))^0 \end{eqnarray*}$

wäre das so richtig?

26.02.2011, 18:02

jester.

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Ja, das mit den Dimensionen kommt so hin.

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