Ableitung einer Funktion im 3d-Raum

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Razen Auf diesen Beitrag antworten »
Ableitung einer Funktion im 3d-Raum


Hallo,

wir haben gerade die ABleitung von dreidimensionalen FUnktionen und als Aufgabe nun die obige Funktion, es sollen alle kritischen Punkte und deren Charakteristika bestimmt werden - also ob lokales min, max oder ein Sattelpunkt. Soweit sogut, im R2 war das ja noch in Ordnung - aber hier fehlt mir komplett der Ansatz wie ich vorgehen soll.

Seperat einmal nach x und einmal nach y ableiten und dann irgendwie vergleichen? Blick da nicht recht durch...

Danke für die Hilfe smile
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Die Ableitung einer mehrdimensionalen Funktion wie deiner ist der Gradient. Berechne doch zuerst mal diesen. Danach:
Was muss bezüglich dem Gradienten gelten wenn ein lokales Extremum vorliegt? Mit dieser Bedingung findest du die Kandidaten.
Razen Auf diesen Beitrag antworten »

Also da ich etwas unsicher bin erst mal den Gradient:








und bei nem extrempunkt muss der gradient null sein, dürfte mit dem skalarprodukt gehen - kannst du mir kurz aushelfen und sagen ob das bis dahin so stimmt?
Lucas Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ableitung einer Funktion im 3d-Raum
Hallo Razen,

schau mal in dein "Bronstein,..." !

Zur Kontrolle deiner Rechnung: Sattelpkt. bei P(1,1,2),
Min bei

Gruß Lucas
Razen Auf diesen Beitrag antworten »

erm, hab ich nicht - was steht da drin das ich wissen sollte?
Lucas Auf diesen Beitrag antworten »
Bronstein
...deine Aufgabe steht bestimmt nicht drin, aber wie man es löst.
P. S.: Es steht naturlich überall drin, war nur als Tipp gemeint.

Lucas
 
 
Razen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bronstein
erm, hä!? dein tip zum tip hat mich komplett verwirrt. PS eine frage zu der schreib weise deiner gefunden min - wie ist das zu deuten!? ist nich wirklich mehr ein Punkt...

edit: achja und das mim skalarprodukt war quatsch, hab ich inzwischen bemerkt :p

partielle ableitungen müssen beide (alle) null sein damit ein extrempunkt dort ist.
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bronstein
Zitat:
Original von Razen
partielle ableitungen müssen beide (alle) null sein damit ein extrempunkt dort ist.


Ja. Aber nochmal zur Klarheit: Das ist nur eine notwenige Bedingung. Wenn der Gradient verschwindet kann ein Extrempunkt vorliegen, muss aber nicht.

Es ist ganz analog wie in der Schule: Damit ein Extrempunkt vorliegen kann, muss die Ableitung [was hier der Gradient ist] Null sein.
Razen Auf diesen Beitrag antworten »

naja theoretisch sits schon klar, praktisch etwas verwirrend - versuche gerade die nullstellen rauszufinden von -6x + 2y + 4 = 0

Also eine ist ja 1/1, aber bei -1/-5 ist auch eine und rausgefunden hab ichs über probieren - gibts da keinen besseren weg? für die partielle Ableitung über x hab ich noch gar keinen plan...

edit: ok ein brett weniger vorm Kopf: x = (2y+4) / 6
Mit der GLeichung sollte ich für jeden y-Wert die dazugehörende Koordinate finden um das ganze auf null zu bringen, dann etz weiter mit der partiellen ableitung über x und dann die zweite partielle ableitung an diesen stellen iwie betrachten, mal sehen wie weit ich komme
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, die Punkte die du gefunden hast sind Nullstellen von .
Du erkennst sicher dass dies eine Geradengleichung in der x-y-Ebene ist. Das heisst die y-Koordinaten vom Gradient verschwindet in jedem Punkt der Geraden.
Razen Auf diesen Beitrag antworten »

ja tu ich, um jetzt festzustellen welche punkte auf der gerade mimima, maxima und sattelpunkte sind brauch ich ja nochmal die ableitung, einmal wieder nach x und einmal nach y, dann bekomm ich raus:

-6x + 2y + 4

nach x: -6
nach y: 2

(ich weiß die schreibweise ist recht unorthodox, hoffe es ist trotzdem verständlich)

nur wie ist nun die deutung welche punkte was sind, denn soweit ich mich erinner kann war bei 2d das der fall:

zweite ableitung:
= 0 -> sattelpunkte
> 0 -> minimum
< 0 -> maximum

aber hier ist das eine größer und das andere immer kleiner, gibts da übverhaupt deutungsmöglichkeiten?
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Was tust du da?
Ich sagte in jedem Punkt dieser Geraden verschwindet die y-Koordinate des Gradienten.
Du sollst nun noch schauen in welchen dieser Punkte ebenfalls die x-Koordinate des Gradienten verschwindet und nicht die Gerade untersuchen.
Razen Auf diesen Beitrag antworten »

... und die x-koordinaten vom gradient verschwinden bei jedem punkt der gerade



dann muss ich dem zu folge was du gesagt hast den schnittpunkt der geraden bestimmen. ich würde das mit gleichsetzen machen und komme auf folgendes ergebnis:



also sollte jeder wert auf dieser kurve ein extrempunkt sein wenn ich keinen weiteren verständnixfehler gemacht habe - habe ich?

wenn nicht - wie kann ich nun feststellen welcher ein sattelpunkt und welcher ein min / max ist?
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe nicht was du tust.

Also wir wissen, dass die y-Koordinate vom Gradienten für jeden Punkt mit Null ist.
Umgeformt kann man die Bedingung auch als schreiben.

Unter all den Punkten die (*) erfüllen suchst du nun diese, die auch noch erfüllen.

Das heisst es muss

für solche Punkte erfüllt sein. Also welche Werte für können auftreten? Dann bestimme die zugehörigen y-Werte.
Razen Auf diesen Beitrag antworten »

aha, das was ich gemacht habe ist



auszurechnen, also die zwei partiellen ableitungen gleichzusetzen.

was ich hätte tun müssen ist sie ineinander einsetzen (wie du nun) und dort die nullstellen herausfinden welche 1/3 und 5 sind.

wenn ich diese x-werte jetzt in y = 3x+2 einsetze komme ich auf die Punkte:

(1/3 / -1) und (5 / 13) ... soweit richtig oder erneuter denkfehler?

wie finde ich nun raus was da ein maximum ist o.ä.?
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe als Nullstellen von aber und verwirrt .
Razen Auf diesen Beitrag antworten »

omg, ich verkack heute auch überall - ja hast recht, ich komm auch drauf. nur bei mir ist 2x6 gelegentlich 4

also dann 1 und 13/3

y = 3x+2

(1 / 5)
(13/3 / 15)

selbe frage von vorhin: wie finde ich nun raus was da ein maximum ist o.ä.?
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Razen
omg, ich verkack heute auch überall - ja hast recht, ich komm auch drauf. nur bei mir ist 2x6 gelegentlich 4


Dann drehen wir das Produktzeichen "x" ein wenig und dann hast du nur noch einen Vorzeichenfehler Big Laugh .


Um zu unterscheiden ob ein Extremum vorliegt und gegenfalls welches, musst du die Hesse-Matrix ausrechnen und diese auf Definitheit untersuchen, siehe zb hier.
Razen Auf diesen Beitrag antworten »



das da oben ist meineswissens die hesse-matrix zu meinem problem.

6x + 2 > 0
-> x > -3

und

(6x + 2) * 2 > -6^2
12x + 4 > 36
12x > 32
x > 8/3

-> für alle x größer 8/3 ist die Hessematrix positiv definit

Habe ich das richtig gemacht? Nun die Frage wie ich darauf auf minima und maxima schließe, aber ich rechne damit wieder fehler gemach zu haben unglücklich
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Razen


das da oben ist meineswissens die hesse-matrix zu meinem problem.


Dann weisst du das richtig Freude .


Noch Grundsätzlich:
Es ist immer schlecht einfach eine Rechnung ohne jeden Kommentar hinzuschreiben, egal ob im Forum oder auf dem Übungsblatt. Du solltest immer klar sagen was du tust.

Also hier willst du die Hesse-Matrix auf positive Definitheit mit dem Hauptminorenkriterium überprüfen. OK.

Sie ist positiv definit, falls

und

gilt.

Nun denke nochmal darüber nach, wie du die passenden finden kannst [deine Versuche zu lösen passen nicht].
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