Grenzwert Interpolationspolynome

13.01.2011, 15:13

Gast11022013

Grenzwert Interpolationspolynome

Meine Frage:
Sei $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ eine n-mal stetige Funktion und $\begin{eqnarray*} x_0 \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Betrachten Sie eine Folge von paarweise verschiedenen Stützpunkten $\begin{eqnarray*} x_1^{(j)},...,x_n^{(j)}, j=0,1,2,... \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_i^{(j)}\to x_0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} j\to \infty \end{eqnarray*}$ . Es bezeichne $\begin{eqnarray*} P_n^{(j)} \end{eqnarray*}$ das Interpolationspolynom, welches $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ an den Stützstellen $\begin{eqnarray*} x_0,x_1^{(j)},...,x_n^{(j)} \end{eqnarray*}$ interpoliert.

Untersuchen Sie den Grenzwert der Folge von Interpolationspolynomen $\begin{eqnarray*} P_n^{(j)} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} j\to \infty \end{eqnarray*}$ .

Hinweis: Für die "Dividierten Differenzen" gilt:

$\begin{eqnarray*} [f_0,...,f_i]=\frac{1}{i!}f^{(i)}(\zeta_i^{(j)}) \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} \min\left\{x_0,x_1^{(j)},...,x_n^{(j)}\right\}<\zeta_i^{(j)}<\max\left\{x_0,x_1^{(j)},..,x_n^{(j)}\right\} \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Ich habe nur sehr wenig bisher zu Wege gebracht.
Da im Hinweis etwas von "Dividierten Differenzen" steht, bin ich jetzt mal davon ausgegangen, dass man die Newton´sche Interpolationsformel heranziehen muss:

$\begin{eqnarray*} P_{0...n}^{(j)}(x_i^{(j)})=\sum_{i=0}^{n}[f_0,...,f_i]\prod_{k=0}^{i-1}(x_i^{(j)}-x_k^{(j)}) \end{eqnarray*}$

Und mit dem Hinweis habe ich dann:

$\begin{eqnarray*} P_{0...n}^{(j)}(\zeta_i^{(j)})=\sum_{i=0}^{n}\frac{f^{(i)}(\zeta_i^{(j)})}{i!}\prod_{k=0}^{i-1}(\zeta_i^{(j)}-x_k^{(j)}) \end{eqnarray*}$

Wenn ich den Hinweis richtig verstanden habe, ist $\begin{eqnarray*} \zeta_i^{(j)} \end{eqnarray*}$ ein Folgenglied der Folge von verschiedenen Stützstellen. Das bedeutet doch aber, dass $\begin{eqnarray*} \zeta_i^{(j)}\to x_0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} j\to \infty \end{eqnarray*}$ . Und da in jeder Multiplikation der Faktor $\begin{eqnarray*} (\zeta_i^{(j)}-x_0) \end{eqnarray*}$ steht, strebt das doch dann gegen Null.

Ich würde daher sagen, dass der Grenzwert der Folge von Interpolationspolynomen gegen 0 strebt für $\begin{eqnarray*} j\to \infty \end{eqnarray*}$ .

Ich würde mich sehr (!) freuen, wenn mir jemand irgendwie behilflich sein kann!

13.01.2011, 18:02

Gast11022013

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RE: Grenzwert Interpolationspolynome
Hat nicht jemand einen Hinweis, einen Tipp für mich?

geschockt

13.01.2011, 21:59

Gast11022013

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RE: Grenzwert Interpolationspolynome
Ich bitte nochmal um Hilfe: Diesmal mit DIESEM Ansatz, denn mein erster Ansatz ist mit ziemlicher Sicherheit Käse!

$\begin{eqnarray*} P_{0,...,n}(x)=\sum_{i=0}^{n}[f_0,...,f_i]\prod_{k=1}^{i-1}(x-x_k)=\sum_{i=0}^{n}\frac{f^{(i)}(\zeta_i^{(j)})}{i!}\prod_{k=0}^{i-1}(x-x_k) \end{eqnarray*}$ laut dem Hinweis in der Aufgabenstellung [korrekterweise hätte ich für die Stützpunkte statt $\begin{eqnarray*} x_k \end{eqnarray*}$ eigentlich $\begin{eqnarray*} x_i^{(j)} \end{eqnarray*}$ schreiben müssen, aber das finde ich sehr unübersichtlich, deswegen habe ichs weggelassen.]

Weiter gilt:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^{n}\frac{f^{(i)}(\zeta_i^{(j)})}{i!}\prod_{k=0}^{i-1}(x-x_k)<\sum_{i=0}^{n}f^{(i)}(\zeta_i^{(j)})\prod_{k=1}^{i-1}(x-x_k) \end{eqnarray*}$

Geht nun $\begin{eqnarray*} j\to \infty \end{eqnarray*}$ , so (würde ich sagen) gehen ja die ganzen Stützstellen gegen $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ , d.h. das Produkt auf der rechten Seite ändert sich und außerdem folgt dann wegen

$\begin{eqnarray*} \min\left\{x_0,x_1^{(j)},...,x_i^{(j)}\right\}=\min\left\{x_0\right\}=x_0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} j\to \infty \end{eqnarray*}$
[ebenso: $\begin{eqnarray*} max\left\{x_0\right\}=x_0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} j\to \infty \end{eqnarray*}$ ],

dass $\begin{eqnarray*} \zeta=x_0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} j\to \infty \end{eqnarray*}$ [da $\begin{eqnarray*} x_0<\zeta<x_0 \end{eqnarray*}$ ]

Deswegen gilt weiter:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^{n}f^{(i)}(\zeta_i^{(j)})\prod_{k=1}^{i-1}(x-x_k)\to \sum_{i=0}^{n}f^{(i)}(x_0)(x-x_0)^{i-1} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} j\to \infty \end{eqnarray*}$

Also $\begin{eqnarray*} \lim_{j\to \infty}P_n^{(j)}=\sum_{i=0}^{n}f^{(i)}(x_0)(x-x_0)^{i-1} \end{eqnarray*}$

Ich würde deswegen sagen, dass so der Grenzwert aussieht.

Ich habe KEINE Ahnung, ob das nicht evtl. totaler Blödsinn ist, aber da ich bisher keine Hilfestellungen hier bekommen habe, hab ich einfach mal losgelegt, nachdem ich gemerkt habe, dass mein erster Ansatz jedenfalls falsch war.

14.01.2011, 13:43

tigerbine

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RE: Grenzwert Interpolationspolynome
Es liegt eher an der Aufgabenstellung. Augenzwinkern

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} C^n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_0 \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Betrachten Sie eine Folge von paarweise verschiedenen Stützpunkten

$\begin{eqnarray*} x_1^{(j)},...,x_n^{(j)}, \quad j=0,1,2,... \end{eqnarray*}$

mit

$\begin{eqnarray*} x_i^{(j)}\to x_0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} j\to \infty \end{eqnarray*}$ .

Es bezeichne $\begin{eqnarray*} P_n^{(j)} \end{eqnarray*}$ das Interpolationspolynom, welches $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ an den Stützstellen $\begin{eqnarray*} x_0,x_1^{(j)},...,x_n^{(j)} \end{eqnarray*}$ interpoliert.

So wie ich das nun verstehe, wird also das Intervall über den das Polynom gebildet wird immer kleiner. Denn auch $\begin{eqnarray*} x_n^{(j)} \to x_0 \end{eqnarray*}$ , oder? Man staucht also immer mehr?

Vorab: Ich kenne - ohne weiteres nachdenken - a priori nicht die Lösung der Aufgabe. Wink

14.01.2011, 14:04

Gast11022013

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RE: Grenzwert Interpolationspolynome
Ja, ich sehe das auch so!

Aber ich weiß nicht so recht, was man damit anfangen kann.

Mir ist nur Obiges eingefallen!...

[Hast Du einen anderen Ansatz für mich?]

14.01.2011, 14:34

tigerbine

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Ein konkretes Beispiel zum Testen der Hypothese
Also Man könnte f ja mal primitiv als konstante Funktion wählen $\begin{eqnarray*} C^{\infty} \end{eqnarray*}$ . Nehmen wir mal nicht die Nullfunktion [gegen die meint du konvergiert das ganze], sondern konstant 1. Bei 2 Knoten siehst du, dass da nicht das Nullpolynom herauskommt. Man erhält dort immer die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=1 \end{eqnarray*}$ .. Nehmen wir also eine andere Funktion - höheren Grades Und als Knoten nehmen wir mal nur 3

$\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1 =1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2 =2 \end{eqnarray*}$

Die Folge erzeugen wir durch halbieren, also $\begin{eqnarray*} x_i^{j}:= \frac{x_i}{2^{j}} \end{eqnarray*}$ . Nun schauen wir uns an, was passiert. Das muss ich aber erst mal in ein Programm eingeben. Augenzwinkern

14.01.2011, 14:42

Gast11022013

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RE: Ein konkretes Beispiel zum Testen der Hypothese
Ich behaupte nur in meinem ersten Lösungsvorschlag, dass es gegen 0 konvergiert.

Bei meiner zweiten Idee habe ich etwas Anderes heraus.

Vielleicht kannst Du die lieber angucken.

14.01.2011, 15:19

tigerbine

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RE: Ein konkretes Beispiel zum Testen der Hypothese
Also das IP mit Newton darzustellen, halte ich schon mal für richtig. Mit der Berechnungsvorschrift für die dividierten Diff. kommen wir nicht weiter, daher die Formel. Diese - für praktische Rechnungen unnütze Stelle $\begin{eqnarray*} \xi_i \end{eqnarray*}$ liegt im Intervall der Stützstellen. Dieses Konvergiert aber gegen $\begin{eqnarray*} [x_0] \end{eqnarray*}$ , somit gilt auch $\begin{eqnarray*} \xi_i \to x_0 \end{eqnarray*}$ . Würde deinem Grenzwert also zustimmen.

14.01.2011, 16:01

Gast11022013

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RE: Ein konkretes Beispiel zum Testen der Hypothese
Dass mir in mathematischen Ideen mal jemand zustimmt... hat Seltenheitswert.
Ich freu mich! Freude

Ich wüsste jedenfalls keinen anderen Weg den Grenzwert zu untersuchen.

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