uneigentlich orth. Abbildung

13.01.2011, 17:19

math_mrg

uneigentlich orth. Abbildung

Meine Frage:
Aufgabe: Sei $\begin{eqnarray*} (V,\sigma) \end{eqnarray*}$ ein endlichdimensionaler eukl. Raum mit $\begin{eqnarray*} $dim_{\mathbb{R}}V >0$ \end{eqnarray*}$ und sei $\begin{eqnarray*} w\in V\backslash \lbrace 0 \rbrace \end{eqnarray*}$ .

Für alle $\begin{eqnarray*} v\in V \end{eqnarray*}$ seien $\begin{eqnarray*} p(v) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} l(v)=v-p(v) \end{eqnarray*}$ die orth. Projektion bzw. das Lot von $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} (\mathbb{R}w)^\perp \end{eqnarray*}$ .

Sei $\begin{eqnarray*} f:V\to V,v\mapsto p(v)-l(v) \end{eqnarray*}$ . Man beweise, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ eine uneigentlich orthogonale Abbildung ist und dass $\begin{eqnarray*} f(v)=v-\frac{2\sigma(v,w)}{\sigma(w,w)}\cdot w \end{eqnarray*}$ gilt für alle $\begin{eqnarray*} v\in V \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
also: uneigentlich orth. Abbildung, f muss orthogonal (wie zeigt man, dass f bijektiv ist?? oder ist das zu trivial??) sein (orth.bedingung ist klar) und det f muss -1 sein. definition ist klar.

aber: wie bekomme ich die darstellende matrix von f, damit ich die determinante ausrechnen kann??? einheitsvektoren abbilden geht ja nicht, weil man ja nicht weiß, was das w für ein Vektor ist. das kann ja alles sein....oder?

aufgabenteil 2: verstehe ich das richtig, da p ja die orth. Projektion v auf $\begin{eqnarray*} (\mathbb{R}w)^\perp \end{eqnarray*}$ ist, dass l quasi die orth. Projektion auf Rw ist? Weil dann würde die Aufgabe klar sein und ich bekomme für f(v) den Term oben raus...

aber mein hauptproblem ist wie gesagt die darstellende matrix...ich wäre euch echt dankbar, wenn ihr mir da helfen könntet!!

13.01.2011, 17:31

math_mrg

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das sollte eig zu lineare algebra...vlt könnte das jemand verschieben? sorry^^

13.01.2011, 19:24

system-agent

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Zitat:

Original von math_mrg
das sollte eig zu lineare algebra...vlt könnte das jemand verschieben? sorry^^

Das ist hiermit getan Wink

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