nullstellen, extrema, wendepunkte: kurvendiskussion

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Koi Auf diesen Beitrag antworten »
nullstellen, extrema, wendepunkte: kurvendiskussion
Meine Frage:
wie im titel schon zu erkennen, muss ich mir eine kurvendisskussion erarbeiten. also los gehts: f(x)= 1/8(3x^4 - 8x³ +16)
tipp vom lehrer : mit polynom division arbeiten !(?) ich hab da mathe-verständnis-probleme ;/ -> ich weiß, dass polynom division mit ausprobieren ist, dennoch weiß ich nicht wo und was??

Meine Ideen:
extrema: 1. Notw. Bedingung : f'(x)=0 ; 2. Hinr. Bed.: f''(x) < 0 Hochpunkt/ f''(x)> 0 tiefpunkt
ich würde zuerst die 1. abltung bestimmen -> weiß aber nicht was als 1. Ableitung rauskommt?? da ist das problem (u.a), wenn ich die hätte würde ich diese f'(x) = 0 setzen. und danach weiß ich einfach nicht weiter ??
Seawave Auf diesen Beitrag antworten »
RE: nullstellen,extrema, wendepunkte ?? kurvendisskussion
Musst du auch die Nullstellen bestimmen?

Ableiten kannst du hier ganz normal mit der Potenzregel, die 1/8 schreibst du einfach als konstanten Faktor vor die Ableitung (Klammer dann aber nicht vergessen, alles wird mit 1/8 multipliziert).

Als mögliche Nullstelle kommen alle (ganzzahligen) Teiler von 16 in Frage.
[email protected] Auf diesen Beitrag antworten »

ok erstmal danke bis jetzt ;D und aso stimmt ich muss gar keine nullstellen bestimmen ...hehe ok also ist es dann ausmultiplizieren ? danach kann ich dann erst die 1. ableitung herführen oder?
Seawave Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst nicht ausmultiplizieren.
Denn 1/8 wird ja als konstanter Faktor immer mitgeführt, auch beim Ableiten.

Als Vergleich:

g(x) = 5(x²+2x) [= 5x² + 10x]
g'(x) = 5(2x+2) [= 10x + 10]

Siehst du? Und mit 1/8 funktioniert erst genauso. Du kannst es also als ausgeklammerten Faktor davorlassen, ist mMn übersichtlicher.
Koi Auf diesen Beitrag antworten »

aso, heißt es dann : f'(x) = 1/8 (12x³ - 24x²) ?
Seawave Auf diesen Beitrag antworten »

Freude
Und jetzt tritt der angenehme Nebeneffekt ein, dass wir kein absolutes Glied mehr haben und überhaupt keine Polynomdivision brauchen! =)

Daher vermute ich fast, dass auch die Nullstellen bestimmt werden sollen, weil das eigetnlich zu jeder Kurvendiskussion dazu gehört.
Aber wir können uns ja erstmal um die Extremstellen kümmern.
Wie sieht also nun die notwendige Bedingung für Extremstellen aus?
 
 
Koi Auf diesen Beitrag antworten »

dann wären die anderen ableitungen so (?):
f''(x)=1/8 (36x² - 48x)
f'''(x) = 1/8 (72x - 48)

wenn es richtig ist habe ich es gott sei dank verstanden mit den ableitungen xD
Koi Auf diesen Beitrag antworten »

notwe.: f'(xE)= 0
Seawave Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, genau richtig.
Jetzt ermittle die möglichen Extremstellen.
Koi Auf diesen Beitrag antworten »

also muss ich jetzt die erste ableitung = 0 setzen, und dann umstellen oder wie ? mathe kann doch nicht so schwer sein ...uff

*übrigens danke , dass du dir die zeit nimmst Big Laugh
Seawave Auf diesen Beitrag antworten »

Jap, in

f'(xE)= 0 statt f'(xE) den Term für die erste Ableitung einsetzen und nach xE auflösen.
Koi Auf diesen Beitrag antworten »

hat n bissn länger gedauert bis ichs gerafft hab ^^" es kommt raus: xE= 2 gibts dann nur ein wert oder auch -2?
Seawave Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt 2 Lösungen, aber die zweite ist nicht -2 Augenzwinkern
Warum schreibst du nicht einfach mal deinen Rechenweg hier auf und wir schauen wo die Zweitlösung "verschwunden" ist ?

/E : Sorry, hatte den Exponent 3 unterschlagen.
Koi Auf diesen Beitrag antworten »

ok: f'(x) = 1/8(12x³-24x²)
0 = 1/8(12x³-24²)
0 = 3/2 x³ - 3x² /: x² -> der fehler könnte hier liegen -.-"
0 = 3/2 x - 3 /+3
3 = 3/2 x /: 3/2
2 = x
Seawave Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Koi
ok: f'(x) = 1/8(12x³-24x²)
0 = 1/8(12x³-24²) = (1/8)*x² (12x-24)
0 = 3/2 x³ - 3x² /: x² -> der fehler könnte hier liegen -.-"
0 = 3/2 x - 3 /+3
3 = 3/2 x /: 3/2
2 = x


Ganz genau, du musst an dieser Stelle eine Fallunterscheidung machen :
Entweder x²=0 (Das kann man hier ausklammern) oder x-2 (man kann durch 12 teilen) = 0.
Dementsprechend kommen dann als Lösungen 0 und 2 raus.

Leichter geht es übrigens, wenn du am Anfang durch 1/8 teilst und durch 12, dann hast du keine Brüche, sondern ganz einfache Zahlen.
Koi Auf diesen Beitrag antworten »

heißt dann also : xE1= 2 und xE2= 0 => 2 extremstellen in jeweils die 2. ablt. einsetzen ? und ausrechen und gucken , ob es dann "< 0" oder "> 0" ist , verwirrt
Seawave Auf diesen Beitrag antworten »

Ganz genau.
Die Funktion kann also sowohl bei 0 wie auch bei 2 ein Extremum haben.
Ob sie das wirklich hat, überprüfst du mit der hinreichenden Bedingung.
Koi Auf diesen Beitrag antworten »

f"(x) = 1/8(36x²- 48x)

f"(O) = 1/8 (36*0² - 48*0) = 0 -> kein extremum

f"(2) = 1/8 ((36*2²) - (48*2)) = 6 > 0 => Tiefpunkt bzw. Minimum

-> hinr. bed: f"(xE) (ungleich) 0
bzw: f"(xE)<0 hochpunkt bzw. maximum
f"(xE) >0 tiefpunkt bzw. minimum Tanzen hoffe es ist richtig
Seawave Auf diesen Beitrag antworten »

Jap, stimmt genau,
wenn man es ganz genau nimmt, besteht die hinreichende Bedingung aus der notwendigen Bedingung und zusätzlich dem, was du als hinreichende Bedingung formuliert hast.
Also hinreichende Bedingung:


Was liegt also an der Stelle 0 vor? (Es ist kein Extrempunkt, aber die 1. Ableitung ist 0)?
Koi Auf diesen Beitrag antworten »

heißt also ich hab die extremstellen und den tiefpunkt herausgefunden Big Laugh und muss jetzt die wendepunkte berechnen ....ein langer weg , der ist ja gar nicht so schwer
Seawave Auf diesen Beitrag antworten »

Vorsicht.
Du hast die beiden möglichen Extremstellen ermittelt. Davon ist aber nur 2 tatsächlich Extremstelle, bei 2 liegt ein Minimum vor.

Für 0 ist die hinreichende Bedingung nicht erfüllt, daher ist dies keine tatsächliche Extremstelle.
Hier hat die Funktion einen Sattelpunkt, das ist ein Wendepunkt , in dem die Funktion die Steigung 0 hat (daher auch f'(0) = 0).

Wendestellen geht im Prinzip genauso, nur dass du "eine Ableitung weiter springst".
Koi Auf diesen Beitrag antworten »

ich brauch dann die 0 nicht mehr oder? war doch sogesagt nur ein kandidat
Koi Auf diesen Beitrag antworten »

ach so wir brauchen ja noch einen punkt für den tiefpunkt also y-koordinate und müssen die 2 (extremstelle) in die ausgangsgleichung einsetzen oder?
Seawave Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig.
Und das mit der 0 stimmt auch.
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