Beweis mit Funktionalgleichung für die e-Funktion

13.01.2011, 19:42

Stephan1989

Beweis mit Funktionalgleichung für die e-Funktion

Meine Frage:
Hallo,
sitze an folgender Aufgabe fest:

Es soll mit Hilfe der Funktionalgleichung für die e-Funktion bewiesen werden, dass Für ein beliebiges x=m/n mit m,n $\begin{eqnarray*} \in \mathbb Z \ , \ n>0 \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} exp(x) = \sqrt[n]{e^{m} } = e^{\frac{m}{n} } = e^{x} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Die Funktionalgleichung für die e-Funktion ist ja $\begin{eqnarray*} exp(z1+z2)= exp(z1)*exp(z2) \end{eqnarray*}$
Aber irgendwie krieg ich das nicht richtig umgeformt.Weiss auch nicht so recht von welcher Seite der Gleichung ich am besten anfangen sollte umzuformen. Bei den Umformversuchen lande ich meist bei sachen wie exp(x*y) aber brauche ja für die Funktionalgleichung irgengdwas mit + dadrin. Hatte es auch schon mit einfachen Potenzgesetzen versucht in etwa so: $\begin{eqnarray*} e^{x}=e^{\frac{m}{n}}= \sqrt[n]{\left(e^{\frac{m}{n}}\right)^{n} } = \sqrt[n]{e^{\frac{m}{n}*n } } = \sqrt[n]{e^{m} } \end{eqnarray*}$ , aber das bringt mich auch irgendwie nicht weiter und ist glaube auch nicht Sinn der Aufgabe.

Gibt es da vielleicht irgendwelche Tricks?

Wäre dankbar für Tipps

Mfg Stephan

13.01.2011, 19:57

system-agent

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Du solltest vielleicht erstmal sagen was ihr schon bewiesen habt und was bei euch der Unterschied zwischen $\begin{eqnarray*} \exp(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ ist.

13.01.2011, 20:36

Stephan1989

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Hey, also erstmal haben wir uns die Exponentialreihe angeguckt, dazu haben wir was zur konvergenz bewiesen, dann dass sie stetig und streng monoton wachsend ist, dann haben wir die Exponentialgleichung mit Hilfe des Faltungsproduktes bewiesen und dass die logarithmusfunktion die Umkehrfunktion ist.

Der Unterschied von $\begin{eqnarray*} exp(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} e^{x} \end{eqnarray*}$ ist, dass das eine nur für Rationale und das andere für die Komplexen zahlen definiert ist. In der Vorlesung haben wir stehen, dass die Exponentialfunktion eine stetige fortsetzung der zunächst nur für rationale x definierte Funktion $\begin{eqnarray*} x \to e^{x} \end{eqnarray*}$ auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ ist. Naheliegend definieren wir für $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb C \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e^{z} := exp(z) \end{eqnarray*}$
Die Funktionsgleichung wird dann so geschrieben: $\begin{eqnarray*} e^{z1+z2}=e^{z1}*e^{z2} \end{eqnarray*}$

13.01.2011, 20:38

Stephan1989

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Ups oben hab ich mich verschrieben meinte, dass wir die Funktionalegleichung mit Hilfe des Faltungsproduktes bewiesen haben und nicht die Exponentialgleichung

13.01.2011, 22:33

system-agent

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Zitat:

Original von Stephan1989
Der Unterschied von $\begin{eqnarray*} exp(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} e^{x} \end{eqnarray*}$ ist, dass das eine nur für Rationale und das andere für die Komplexen zahlen definiert ist.

Soso.

Zitat:

Original von Stephan1989
Naheliegend definieren wir für $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb C \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e^{z} := exp(z) \end{eqnarray*}$

Das heisst bei euch ist $\begin{eqnarray*} \exp(z) \end{eqnarray*}$ dasselbe wie die Schreibweise $\begin{eqnarray*} e^z \end{eqnarray*}$ , per Definition.

Das heisst das was du zeigen musst ist eigentlich, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{e^m}=e^{\frac{m}{n}} \end{eqnarray*}$ .

Hier brauchst du Folgendes:
(i) $\begin{eqnarray*} e^x>0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R \end{eqnarray*}$
(ii) Die Gleichung $\begin{eqnarray*} x^n=a \end{eqnarray*}$ ist eindeutig lösbar für $\begin{eqnarray*} a\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a>0 \end{eqnarray*}$ .

Nun berechne mal $\begin{eqnarray*} (e^x)^n \end{eqnarray*}$ [es läuft auf dasselbe hinaus wie das, was du schon gemacht hast].

13.01.2011, 23:39

Stephan1989

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Hey, danke für die Antwort

Also habe das jetzt mal gerechnet (hoffentlich so wie du meintest):

$\begin{eqnarray*} \left(e^{x}\right)^{n}= \left(e^{\frac{m}{n} } \right)^{n} = e^{\frac{m}{n} *n} = e^{m} \end{eqnarray*}$

und die andere Seite:
$\begin{eqnarray*} \left(\sqrt[n]{e^{m}} \right)^{n} = e^{m} \end{eqnarray*}$

somit sieht man ja das die gleich sind.
Wozu braucht man eigentlich die Vorraussetzungen i) und ii) die du aufgestellt hast?
Und falls ich das so gelöst hab wie du meintest, hab ich das doch immer noch nicht mit Hilfe der Funktionsgleichung gelöst oder?

MFG Stephan

14.01.2011, 08:00

system-agent

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An deinen Nachfragen merke ich, dass du doch nicht weisst was du tust, auch wenn du genau das getan hast, was du sollst.
Die richtige Zeile
$\begin{eqnarray*} \left(e^{x}\right)^{n}= \left(e^{\frac{m}{n} } \right)^{n} = e^{\frac{m}{n} n} = e^{m} \end{eqnarray*}$
musst du schon Gleichheitszeichen für Gleichheitszeichen begründen.

$\begin{eqnarray*} (e^x) ^n=\exp(x) ^n=\left(\exp\left(\frac{m}{n}\right) \right) ^n=? \end{eqnarray*}$
In dieser Zeile habe ich bisher ausschliessliche die Definitionen genutzt. Welche Eigenschaft musst du nun nutzen um bei $\begin{eqnarray*} ? \end{eqnarray*}$ weiterzumachen?

14.01.2011, 13:55

Stephan1989

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Hey, glaub jetzt hab ichs (hoffe ich mal)

Also
$\begin{eqnarray*} (e^x) ^n=\exp(x) ^n=\left(\exp\left(\frac{m}{n}\right) \right) ^n \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} exp\left(\frac{m}{n}\right) * . . n-mal . . * exp\left(\frac{m}{n}\right) \end{eqnarray*}$

Jetzt mit Hilfe der Funktionalgleichung

$\begin{eqnarray*} = exp\left(\frac{m}{n} + . . n-mal . . + \frac{m}{n} \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = exp\left(n*\frac{m}{n} \right) =exp\left(m\right) \end{eqnarray*}$

Wenn ich jetzt wieder die n-te Wuzel Ziehe, weil ich ja am anfang die n-te Potenz genommen habe komme ich also auch auf

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{exp\left(m\right) } =\sqrt[n]{e^{m}} \end{eqnarray*}$

Würde das so gehen mit dem letzen Schritt also mit der Wurzel oder muss ich da auch noch genauer was beweisen?

Mfg Stephan

14.01.2011, 15:08

system-agent

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Ja, nun hast du wirklich $\begin{eqnarray*} (e^x)^n=e^m \end{eqnarray*}$ bewiesen Freude

.

Das mit der Wurzel zu ziehen ist natürlich die richtige Idee, aber du musst das schon begründen. Aus diesem Grund habe ich dir oben die Punkte (i) und (ii) noch als Hinweise gegeben.

Übrigens ist

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{exp\left(m\right) } =\sqrt[n]{e^{m}} \end{eqnarray*}$

sowieso trivial denn nach deiner Definition ist $\begin{eqnarray*} e^z \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \exp(z) \end{eqnarray*}$ genau dasselbe.

14.01.2011, 17:59

Stephan1989

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Ah okay, das is ja schonmal gut.

Hmmm also i) sagt ja das $\begin{eqnarray*} e^{x} \end{eqnarray*}$ immer größer Null ist, was ja eine Vorraussetzung ist um die Wurzel aus $\begin{eqnarray*} e^{m} \end{eqnarray*}$ zu ziehen.

Aber mir ist nich ganz klar wozu ich ii) gebrauche.

Mfg Stephan

14.01.2011, 18:13

system-agent

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Zitat:

Original von Stephan1989
Aber mir ist nich ganz klar wozu ich ii) gebrauche.

Um eine Wurzel ziehen zu können, muss man erstmal wissen dass eine existiert. Das ist das Eine. Das Andere ist, dass wurzelziehen eindeutig ist.

14.01.2011, 18:36

Stephan1989

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Achso okay,

Vielen Dank für deine Hilfe!

Mfg Stephan

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