Schätzer für Poissonverteilung

13.01.2011, 21:37	Zitrone21	Auf diesen Beitrag antworten »
Schätzer für Poissonverteilung Nabend. Ich hänge bei dieser Aufgabe fest. Seien $\begin{eqnarray} X_1, ..., X_n \end{eqnarray}$ unabhängige Zufallsvariablen für $\begin{eqnarray} n \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ . Ferner sei $\begin{eqnarray} 1 \le n1 < n \end{eqnarray}$ gegeben. Für einen unbekannten Parameter $\begin{eqnarray} \lambda > 0 \end{eqnarray}$ seien die Zufallsvariablen $\begin{eqnarray} X_1, ..., X_{n_1} \end{eqnarray}$ identisch jeweils gemäß einer Poission-Verteilung zum Parameter $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ und die Zufallsvariablen $\begin{eqnarray} X_{n_1 + 1}, ... ,X_n \end{eqnarray}$ identisch jeweils gemäß einer Poisson-Verteilung zum Parameter $\begin{eqnarray} c \lambda \end{eqnarray}$ verteilt. a) Bestimmen Sie eine Maximum-Likelihood-Schätzung $\begin{eqnarray} \hat \lambda \end{eqnarray}$ für den unbekannten Parameter $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ zu gegebenen Realisierungen $\begin{eqnarray} k_1, ..., k_n \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} X_1, ..., X_n \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie, dass keine Maximum Likelihood-Schätzung existiert, falls alle $\begin{eqnarray} k_i = 0 \end{eqnarray}$ sind. Setzen Sie in diesem Fall den Schätzer als $\begin{eqnarray} \hat \lambda = 0 \end{eqnarray}$ an. b) Zeigen Sie, dass der erhaltene Schätzer erwartungstreu ist. c) Berechnen Sie $\begin{eqnarray} Var(\hat \lambda) \end{eqnarray}$ in Abhängigkeit vom wahren Parameter $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ a) Habe ich noch lösen können: Die Likelihoodfunktion ist $\begin{eqnarray} L(k_1, ..., k_n, \lambda) = \prod_{i=1}^{n_1} exp(-\lambda) * \frac{\lambda^{k_i}}{(k_i)!} * \prod_{i=n_1 + 1}^{n} exp(-c \lambda) \frac{(c* \lambda)^{k_i}}{(k_i)!} \end{eqnarray}$ Nach dem maximieren der log-Likelihoodfunktion ergibt sich als Schätzer $\begin{eqnarray} \hat \lambda = \frac{\sum\limits_{i=1}^n k_i }{n_1 + c(n-n_1)} \end{eqnarray}$ Die Frage mit, was passiert wenn alle Realisierungen Null sind, habe ich auch beantwortet. Nun hänge ich fest: Bei der b) habe ich diesen Ansatz (ohne zu wissen, ob das korrekt ist): Das ist unsere Defintion von Erwartungstreue: Ein Schätzer $\begin{eqnarray} T:\Omega \mapsto \mathbb{R} \end{eqnarray}$ heißt erwartungstreu für $\begin{eqnarray} \varkappa \end{eqnarray}$ , falls $\begin{eqnarray} E_{P_{\kappa}}(T) = \kappa(\varkappa) \quad \forall \varkappa \in \Theta \end{eqnarray}$ T ist mein Schätzer aus 42a). Als Funktional nehmen ich das aus der Definition.(Wobei ich immer noch nicht wirklich verstehe, wofür ich hier ein Funktional brauche. Das ist doch nur eine komplizierte Schreibweise, um zu sagen, welchen Wert ich durch einen Schätzer ermitteln will) $\begin{eqnarray} E(\frac{\sum\limits_{i=1}^n k_i }{n_1 + c(n-n_1)}) = \frac{1}{n_1 + c(n-n_1)} * \sum\limits_{i=1}^n E(k_i) \end{eqnarray}$ Nun weiß ich nicht ob die folgende Gleichheit auch gilt: $\begin{eqnarray} = \frac{1}{n_1 + c(n-n_1)} * (\sum\limits_{i=1}^{n_1} \lambda + \sum\limits_{i=n_1 + 1}^{n} (c * \lambda) ) = \frac{1}{n_1 + c(n-n_1)} * (n_1 * \lambda + (n-n_1)c\lambda) = \lambda \end{eqnarray*}$ => erwartungstreue Wars das? Bei c) fällt mir leider noch kein Ansatz ein. Hat da jemand eine Idee?
14.01.2011, 16:22	Zitrone21	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaube die b) stimmt so nicht, da ich ja über die Realisierungen summiere und nicht über die Zufallsvariablen. Oder doch?

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