grenzwertermittlung

13.01.2011, 23:08

guckmal

grenzwertermittlung

Meine Frage:
Hallo,
also ich steh vor einem problem...
es geht um die grenzwertermittlung von $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=3}^n \frac{1}{k(k-2)} \end{eqnarray*}$

so die machen da jetz ne Partialbruchzerlegung:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \sum\limits_{k=3}^n (\frac{1}{k-2}-\frac{1}{k}) \end{eqnarray*}$
und dann setzen die irgendwas ein... sodass rauskommt:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} (\frac{1}{3-2}+\frac{1}{4-2}) =\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$
wie kommen die dadrauf???? also am ende kommt dann grenzwert 1 raus... aber wie zum teufel kommen die da drauf???

Meine Ideen:
??

Edit: LaTeX-Tags eingefügt. LG Iorek

13.01.2011, 23:29

dr.morrison

Auf diesen Beitrag antworten »

Guten Abend.

Schreib dir doch mal die ersten 8 Glieder der Summe auf. Was stellst Du fest? Damit müsstest Du dir die Frage eigentlich schon selbst beantworten smile

(Anm. Solche Summen heißen Teleskopsummen, überlege Dir mal warum!)

lg, dr.morrison

14.01.2011, 00:24

guckmal

Auf diesen Beitrag antworten »

grenzwert
Des klingt logisch,
aber warum macht man dann überhaupt ne partialsumme??? und vor allem wie kommt man trotzdem auf das ergebnis

1/2 x 3/2 ist 1??

14.01.2011, 00:27

guckmal

Auf diesen Beitrag antworten »

grenzwert
und wo verschwindet das 1/k hin???

14.01.2011, 00:31

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

1 ist nicht der Grenzwert, ist entweder ein Rechen- oder ein Druckfehler.

Und wohin das 1/k "verschwindet" sollte dir mit dem Begriff der Teleskopsumme eigentlich klar sein, spätestens wenn du dir wie dr.morrison die ersten 8 Glieder mal explizit aufgeschrieben hast.

14.01.2011, 00:34

guckmal

Auf diesen Beitrag antworten »

grenzwert
das problem is nur, dass in dem skript vom prof des genau so drin steht
mit dem grenzwert gleich 1...

14.01.2011, 00:36

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Iorek
1 ist nicht der Grenzwert, ist entweder ein Rechen- oder ein Druckfehler.

Auch Professoren sind nicht unfehlbar. Augenzwinkern

14.01.2011, 00:48

guckmal

Auf diesen Beitrag antworten »

grenzwert
oh man ich steh voll auf der leitung ich hab des jetz eingesetzt... bis zur achten summe... soll ih des eigenltich vor oder nach der psz machen, also das einsetzen?
weil ich checks nämlich immernoch nicht wo die -1/k hin sin am ende
sorry

14.01.2011, 00:54

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Nach der Partialbruchzerlegung.

Und da du dich anscheinend noch immer nicht nach der Teleskopsumme erkundigt hast, nehme ich dir ausnahmsweise auch diese überaus leichte Arbeit ab, hier findest du eine Erklärung des Begriffs inklusive einiger Beispiele, eins davon ist deinem sehr ähnlich.

14.01.2011, 10:08

Rizzoli

Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich hab das nun mal versucht fortzusetzen, da ich mich derzeit wieder sehr stark in Analysis trainiere ^^ Hoffe, ich fusche hier keinem rein, aber ich möchte gerne gucken, ob ich es richtig gemacht habe. Und ich hoffe ich bekomme das mit dem Latex hin ^^

Ich habe die Summe mal ausgerechnet und komme auf folgendes:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=3}^{n}=\frac{1}{2} \left(\frac{3}{2}-\frac{1}{n}\right) \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} n \rightarrow \infty \end{eqnarray*}$ würde das doch heißen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=3}^{n}=\frac{1}{2} \left(\frac{3}{2}-\frac{1}{n}\right)=\frac{3}{4} \end{eqnarray*}$

Also Grenzwert $\begin{eqnarray*} \frac{3}{4} \end{eqnarray*}$

Liege ich da richtig?

Und kann mir jemand sagen, ob es einen Trick gibt, wie ich auf diese Zerlegung komme? Das ist meist mein großes Problem bei der ganzen Sache, dass ich zu Beginn hängen bleibe.

LG Rizzo

14.01.2011, 10:25

Manni Feinbein

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Rizzoli
Liege ich da richtig?

Mit dem Grenzwert schon aber die Rechnung stimmt nicht.

Ich fasse mal zusammen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=3}^n\frac1{k(k-2)}=\frac 12\sum_{k=3}^n\left(\frac 1{k-2}-\frac 1k\right)\\=\frac 12\left(\sum_{k=1}^{n-2}\frac 1k-\sum_{k=3}^n\frac 1k\right)\\=\frac 12\left(\frac 32-\frac{2n-1}{n(n-1)}\right)\stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow}\frac 34. \end{eqnarray*}$

14.01.2011, 11:00

Rizzoli

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Ah ich hab den Fehler in meiner rechnung gefunden, danke. ^^ Doch ein kleiner Schnellschuss ^^

Neue Frage »

Antworten »

grenzwertermittlung

Verwandte Themen