Lösen einer Gleichung über die komplexen Zahlen

23.11.2006, 15:36

Sabsi19

Lösen einer Gleichung über die komplexen Zahlen

Hallo,

Ich würd mal einen Denkanstoss brauchen. Ich hab folgende Gleichung:

$\begin{eqnarray*} z^{2}=3-4i \end{eqnarray*}$

Ich muss jetztdie Gleichung auflösen und den Real bzw. Imaginärteil angeben. Steh aber komplett auf der Leitung.

Wer kann mir helfen?
Ich hab zwar einiges gefunden, aber ich weis nicht was richtig ist.

Reicht es wenn ich meinen rechten Teil unter die Wurzel nehm und dann irgendwie ausrechne. Oder muss ich |z| aurechnen und den Tan vom Winkel?

Danke
lg
Sabsi

23.11.2006, 15:43

klarsoweit

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RE: Lösen einer Gleichung über die komplexen Zahlen
Das kommt drauf an. Wenn du die Polarkoordinatendarstellung $\begin{eqnarray*} z = |z| \cdot e^{i\phi} \end{eqnarray*}$ kennst, dann wäre das der geschickte Ansatz.

23.11.2006, 15:51

Sabsi19

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Ja, diesen Ansatz hab ich schon gesehen, nur die Anwendung viel mir schwer ;-)

also ich rechne das |z| aus, das bei mir
$\begin{eqnarray*} \sqrt{25} \end{eqnarray*}$ wäre, oder.

Wenn ich mir nun den Winkel ausrechnen will, stehe ich an.

Ich muss doch tan o = y/x rechnen, was somit 4/3 wäre. Aber das geht ja nicht.

Wie muss ich es dann machen?

lg
Sabsi

23.11.2006, 15:54

klarsoweit

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Zitat:

Original von Sabsi19
Ich muss doch tan o = y/x rechnen, was somit 4/3 wäre. Aber das geht ja nicht.

Du mußt einen Winkel phi finden, mit $\begin{eqnarray*} tan(\phi) = -\frac{4}{3} \end{eqnarray*}$

23.11.2006, 16:08

Sabsi19

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ja, ich rechne arc tan (4/3) = 0.92

dann erhalte ich folgende gleichung:

$\begin{eqnarray*} \mid \sqrt{25} \mid^2 * cos(2*0.92)+ i * sin(2*0.92) \end{eqnarray*}$

das rechne ich dann aus?

lg
Sabsi

23.11.2006, 18:06

klarsoweit

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Zitat:

Original von Sabsi19
ja, ich rechne arc tan (4/3) = 0.92

Wieso von 4/3? Was meinst du, warum ich -4/3 geschrieben habe?

Zitat:

Original von Sabsi19
dann erhalte ich folgende gleichung:

$\begin{eqnarray*} \mid \sqrt{25} \mid^2 * cos(2*0.92)+ i * sin(2*0.92) \end{eqnarray*}$

Das ist keine Gleichung, sondern ein Term. Und obendrein vermischt du da jetzt was. Erstmal schreiben wir 3 - 4i in Polarkoordinatenform:
$\begin{eqnarray*} 3 - 4i = 5 \cdot e^{-0,92i} \end{eqnarray*}$
bzw.
$\begin{eqnarray*} 3 - 4i = 5 \cdot e^{-0,92i+2\pi i} \end{eqnarray*}$

Jetzt der Ansatz für das z:
$\begin{eqnarray*} z = |z| \cdot e^{i \phi} \end{eqnarray*}$
Dann ist:
$\begin{eqnarray*} z^2 = |z|^2 \cdot e^{i 2\phi} \end{eqnarray*}$

Und jetzt kannst z² mit 3 - 4i vergleichen. Welche Bedingungen erhältst du da?

23.11.2006, 19:50

Dlopoel

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$\begin{eqnarray*} z^2 = 3 - 4i \ \ \Leftrightarrow \ \ z^2 = (2 - i)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a^2 = b^2 \ \ \Leftrightarrow \ \ a = \pm b \end{eqnarray*}$

23.11.2006, 20:04

Mathespezialschüler

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