[Potenzrechnung] Potenzterme bilden

14.01.2011, 09:58

NewWarrior15

[Potenzrechnung] Potenzterme bilden

Meine Frage:
Hallo,

ich habe folgende Aufgabe bekommen zu rechnen:

a) $\begin{eqnarray*} 128 * 2^{n-7} \end{eqnarray*}$
b) $\begin{eqnarray*} 243 * 3^{n-5} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
folgendes habe ich als Lösung:

a) $\begin{eqnarray*} 256^{n-7} \end{eqnarray*}$
b) $\begin{eqnarray*} 729^{n-5} \end{eqnarray*}$

So jetzt sagt mir mein Lösungsbuch aber, die Lösung müsste sein:

a) $\begin{eqnarray*} 2^{7} \end{eqnarray*}$
b) $\begin{eqnarray*} 3^{5} \end{eqnarray*}$

Meine Frage ist jetzt, ist meine Lösung auch richtet, oder nur die, die im Buch als Lösung angegeben wurde?
Und wenn nicht, warum.

14.01.2011, 10:10

PhyMaLehrer

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Deine Lösung ist auf jeden Fall nicht richtig, aber auch die vorgegebene Lösung finde ich falsch (oder ich stehe auf meiner eigenen langen Leitung...). Ich bekomme

$\begin{eqnarray*} 128 \cdot 2^{n-7} = 2^{7} \cdot 2^{n-7} = 2^{7+n-7} = 2 ^ {n} \end{eqnarray*}$

und entsprechend

$\begin{eqnarray*} 243 \cdot 3^{n-5} = 3^{5} \cdot 3^{n-5} = 3^{5+n-5} = 3 ^ {n} \end{eqnarray*}$

14.01.2011, 10:21

Gualtiero

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RE: [Potenzrechnung] Potenzterme bilden
@PhyMaLehrer
Bitte nicht gleich alles sagen. Ein wenig sollte der Fragesteller schon mitarbeiten.
Wenigstens die zweite Aufgabe hätte er selber lösen sollen.

14.01.2011, 10:30

PhyMaLehrer

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RE: [Potenzrechnung] Potenzterme bilden
Ja, das stimmt, aber ich war jetzt so perplex, daß das Lösungsbuch etwas anderes sagt und war mir meiner Lösung deshalb selbst nicht ganz sicher, so daß ich hier zeigen wollte, wie ich zu meiner Lösung gekommen bin. Es lag also am mangelnden Selbstvertrauen! Augenzwinkern

14.01.2011, 10:36

NewWarrior15

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Zitat:

Original von PhyMaLehrer
Deine Lösung ist auf jeden Fall nicht richtig, aber auch die vorgegebene Lösung finde ich falsch (oder ich stehe auf meiner eigenen langen Leitung...). Ich bekomme

$\begin{eqnarray*} 128 \cdot 2^{n-7} = 2^{7} \cdot 2^{n-7} = 2^{7+n-7} = 2 ^ {n} \end{eqnarray*}$

und entsprechend

$\begin{eqnarray*} 243 \cdot 3^{n-5} = 3^{5} \cdot 3^{n-5} = 3^{5+n-5} = 3 ^ {n} \end{eqnarray*}$

Ups, falsch abgeschrieben. Deine Lösung ist richtig.
Also muss ich bei solchen Aufgaben immer erst umwandeln, bis beie Produkte eine Potenzzahl haben?

14.01.2011, 10:44

Gualtiero

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@NewWarrior15
Du solltest Dich nicht nur auf die Lösung, sondern auf den Rechenweg konzentrieren.
Stichwort: Potenzgesetze, hast Du sicher schon gehört.
Wenn man zwei Potenzen mit gleicher Basis miteinander multipliziert, gibt es eine einfache Regel, wie mit den Hochzahlen zu verfahren ist. Welche?

@PhyMaLehrer
OK, zugegeben, die Sache war etwas kompliziert durch den Schreibfehler bei den Buchlösungen.
Mach weiter, falls nötig, ich bin wieder weg. Wink

14.01.2011, 10:58

NewWarrior15

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Bei der Multiplikation zweier Potenzen mit der selben Basis, werden die Potenzen adiert und die Basen bleiben gleich

14.01.2011, 11:06

Gualtiero

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(PhyMaLehrer ist OFF)

Genau. Eigentlich ". . . die Baisis . . .", denn Du hast ja nur mehr eine.
Frag ruhig weiter, wenn Du noch ein Beispiel hast.

14.01.2011, 11:13

NewWarrior15

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Eine Frage habe ich noch, woher weiß ich das die 128 auf $\begin{eqnarray*} 2^{7} \end{eqnarray*}$ . Gibt es da einen Lösungsweg, wie ich ohne Taschenrechner drauf komme, ob es eine Potenz oder in welcher Höhe es sie gibt?

14.01.2011, 11:29

Gualtiero

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So einfache Potenzen wie von 2, 3, 4 . . hat man bis zu den ersten niedrigen Hochzahlen im Kopf, zumindest nach einer gewissen Zeit.
Eine mathematische Methode wäre, die Zahl in Primfaktoren zu zerlegen. Da stellst Du dann schnell fest, dass 128 eine 2er-Potenz ist.

14.01.2011, 11:39

NewWarrior15

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Also zerlege ich Zahl solange bis der Rest eine Primzahl ist, richtig?

14.01.2011, 12:31

Gualtiero

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Nein, Rest darf keiner bleiben. Du zerlegst die Zahl in ein Produkt, in dem jeder Faktor "prim" ist, also eine Primzahl.
Man beginnt mit der niedrigsten, 2, und fährt damit so lange fort, bis es damit nicht mehr geht. Für den Fall, dass nicht 2 als Ergebnis bleibt, rechnet man in derselben Weise mit 3, 5, 7 usw. . .
Hattet Ihr das nocht nicht in der Schule?

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