Vektor tangential an Graphen

14.01.2011, 10:58	thestyx	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektor tangential an Graphen Hallo, Ich stecke bei meinen Prüfungsvorbereitungen gerade bei folgender Aufgabe fest, besser gesagt, ich weiss nicht ob meine Loesung richtig ist. Sei $\begin{eqnarray} f(x,y) = e^{x^2} \cdot (x+y) \end{eqnarray}$ . Bestimme $\begin{eqnarray} c \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ so, dass der Vektor $\begin{eqnarray} (1,-1,c)^T \end{eqnarray}$ tangential an den Graphen $\begin{eqnarray} \mathcal{G}(f) = \{(x,y,f(x,y)),(x,y) \in \mathbb{R}^2 \} \end{eqnarray}$ im Punkt $\begin{eqnarray} (1,1,z) \end{eqnarray}$ liegt. Ansatz: mit der Tangentialebene in diesem Punkt erhalte ich mit $\begin{eqnarray} z=f(x_0,y_0) + \frac{\delta f}{\delta x}(x_0,y_0)(x-x_0)+\frac{\delta f}{\delta y}(x_0,y_0)(y-y_0) \end{eqnarray}$ Die Loesung $\begin{eqnarray} c=0 \end{eqnarray}$ Stimmt das so? Ich habe für diese Aufgabe leider keine MuLö. Gruss, thestyx PS: Tolles Board. Ist jetzt das erste Mal, dass ich eine Frage stellen muss, denn ich habe sonst jeweils eine Antwort gefunden.
14.01.2011, 11:39	chili12	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Berechnung von z wirkt etwas seltsam (1,1,z) ist doch der Berührpunkt. Also müsste doch z=f(1,1) sein. -> (1,1,2e) * ( 1,-1,c)=0 -> 2e*c=0 -> c = 0 mfg Manchmal gehts einfacher als man denkt.
14.01.2011, 11:50	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die gegebene Vektorfunktion kann man sich als "Gebirge" über der xy-Ebene vorstellen, wobei die z-Koordinante die Höhe dieses Gebirges ist. $\begin{eqnarray} \vec x(x,y)=\begin{pmatrix} x \\ y \\ e^{x^2}\cdot (x+y) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die Tangentialebene kann man sich so vorstellen, als wenn der liebe Gott irgendwo ein Brett an das Gebirge legt. Die Tangentialebene wird durch zwei Tangentialvektoren aufgespannt, die man durch Ableiten der obigen Vektorfunktion nach den Parametern x bzw. y erhält. Diese beiden Tangentialvektoren lauten also $\begin{eqnarray} \frac{\partial \vec x}{\partial x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ e^{x^2}\cdot [2x(x+y)+1] \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \frac{\partial \vec x}{\partial y}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ e^{x^2} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Den Berührungspunkt $\begin{eqnarray} \vec x_0 \end{eqnarray}$ der Tangentialebene erhält man, wenn man die gegebenen Koordinanten (x\|y)=(1\|1) in die obige Funktion einsetzt, also $\begin{eqnarray} \vec x_0=(1\|1\|2e) \end{eqnarray}$ . Die Tangentialebene, die durch diesen Berührungspunkt geht, lautet also (gemäß der üblichen Ebenengleichung) $\begin{eqnarray} \vec x(x,y)=\frac{\partial \vec x}{\partial x}+\frac{\partial \vec x}{\partial y}+\vec x_0=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 5e \end{pmatrix} \cdot t_1+\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ e \end {pmatrix} \cdot t_2+\begin {pmatrix} 1 \\ 1\\ 2e \end {pmatrix} \end{eqnarray}$ Dabei sind $\begin{eqnarray} t_1,t_2 \end{eqnarray}$ wie üblich freie Parameter. Innerhalb dieser Tangentialebene soll ein Vektor (1\|-1\|c) gefunden werden. Setze dies also auf der linken Seite der Ebenengleichung ein $\begin{eqnarray} \begin {pmatrix} 1\\ -1\\ c \end {pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 5e \end{pmatrix} \cdot t_1+\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ e \end {pmatrix} \cdot t_2+\begin {pmatrix} 1 \\ 1\\ 2e \end {pmatrix} \end{eqnarray}$ Aus der Identität für die x-Komponenet folgt $\begin{eqnarray} t_1=0 \end{eqnarray}$ . Aus der Identität für die y-Komponente folgt $\begin{eqnarray} t_2=-2 \end{eqnarray}$ . Setze diese beiden Parameter in die Ebenengleichung ein, und du bekommst den Punkt (1\|-1\|c) und damit die Zahl c=0
14.01.2011, 12:03	thestyx	Auf diesen Beitrag antworten »
@Ehos: Wow, vielen Dank für die anschauliche Erklärung.
15.01.2011, 01:39	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Irrtum! @thestyx, freue dich nicht zu früh! Die Lösung c = 0 ist unzutreffend, weil sie auf einer falsche Voraussetzung beruht. Denn wenn der Tangentenvektor (1; -1; c)T IN der Tangentialebene liegen soll, ist er ein Richtungsvektor der Ebene und KEIN Ortsvektor von ihr. Daher ist dessen Einsetzen anstatt X auf der linken Seite der Ebenengleichung unzulässig. Jeder Vektor X der Ebenengleichung beschreibt einen Punkt der Ebene und ist somit als Ortsvektor aufzufassen. Die Berechnung des Gradienten im Punkt B(1; 1; 2e) (Berührungspunkt der Tangente) zeigt auch schnell die richtige Lösung c = 4e. Wie man den Gradienten (mittels der partiellen Ableitungen) berechnet, sei als bekannt vorauszusetzen. Der Gradientenvektor $\begin{eqnarray} \mathfrak{grad}(f(x,y)-z)=\begin{pmatrix} e^{x^2(1+2x(x+y))} \\ e^{x^2} \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ lautet im Berührungspunkt der Tangentialebene (x = 1, y = 1, z = 2e) $\begin{eqnarray} \mathfrak{grad}(f(x,y)-z)(1,1,2e)=\begin{pmatrix} 5e \\ e \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Sein skalares Produkt mit (1; -1; c)T muss Null sein, weil der Gradientenvektor senkrecht auf der Tangentialeben steht. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ c \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 5e \\ e \\ -1 \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 5e - e - c = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} c = 4e \end{eqnarray}$ ====== @ehos Hinsichtlich Komplettlösung: Hier spricht für dich, dass du c = 0 als bereits erarbeitet und korrekt betrachtet hast und den richtigen Weg dahin zeigen wolltest. Da dies nun nicht richtig war, habe ich meinerseits ausnahmsweise eine Komplettlösung gezeigt. In diesem Fall durften wir beide eine Ausnahme machen mY+
15.01.2011, 09:51	thestyx	Auf diesen Beitrag antworten »
@mYthos: Danke für die Korrektur und die Inputs. Der einzige Fehler in Ehos' Ansatz war also, dass ich einen Richtungsvektor und nicht einen Ortsvektor gesucht habe. Demnach, kann man $\begin{eqnarray} \vec{x}_0 \end{eqnarray}$ einfach streichen und kommt auf dieselbe Lösung. An den Gradient habe ich gestern auch kurz gedacht, war aber wohl etwas verwirrt, da ich diesen Schritt irgendwie übersehen habe: $\begin{eqnarray} f(x,y) = z \to g(x,y,z) = f(x,y) -z \to \mathfrak{grad}(g) \end{eqnarray}$ Danke an euch alle!
Anzeige

17.01.2011, 11:13	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
@mYthos Dein Einwand ist richtig.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »