Beweis Potenz von Matrizen mittels Induktion

14.01.2011, 11:56	donvito	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis Potenz von Matrizen mittels Induktion Habe folgende Matrix gegeben $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und soll beweisen, dass die n-te Potenz dieser Matrix durch $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ gegeben ist. Wie stelle ich das an? Ansatz muss ja sein $\begin{eqnarray} (A_{ij}) = \sum\limits_{k=1}^2 A_{ik}A_{kj} \end{eqnarray}$ Nur ist das nur für eine Potenz. Wie schreibe ich eine Summe für die n-te Potenz?
14.01.2011, 11:59	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Schreibweise mit der Summe ist recht kompliziert ... Wieso machst du es nicht direkt? n=1: Zu zeigen: $\begin{eqnarray} A^1 = \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Und dann setzt du halt n auf n+1. Und berechnest $\begin{eqnarray} A^{n+1} \end{eqnarray}$
14.01.2011, 12:01	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Für ein beliebiges k setzen wir also voraus, dass $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}^k= \begin{pmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Im nächsten Schritt muss gezeigt werden, dass $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & k+1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Multipliziere die rechte Seite aus. Das war's. W.z.b.w.
14.01.2011, 12:02	Math1986	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich verstehe nicht, wo diese Summe herkommt oO Eine Induktion besteht aus Anfang, Annahme und Schluss. Anfang: Hier ist die Gleichung für n=1 zu zeigen Annahme: Nimm an, dass die zu zeigende Aussage für n gilt Schluss: Zeige die Aussage für n+1 unter Verwendung der Annahme Mach mal jeden Schritt alleine, dann sehen wir ja wo das Problem liegt
14.01.2011, 12:04	chrizke	Auf diesen Beitrag antworten »
Distributivgesetz + Induktion. Für das Distributivgesetz könntest du folgenden Zusammenhang benutzen: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$
14.01.2011, 12:14	donvito	Auf diesen Beitrag antworten »
Gott, ich hätte nicht gedacht, dass das SO einfach ist Ich dachte ich muss das mit der Summenformel beweisen, nachdem diese in der Aufgabe erwähnt wurde. So scheint mir das aber viel übersichtlicher! Wer redet denn von Distributivgesetz?
Anzeige

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »