Ober-Untersummen/Riemann-Summen

14.01.2011, 13:48

cHilLz0Ne

Ober-Untersummen/Riemann-Summen

Hallo Leute,
ich kämpfe grade mit Ober-, Untersummen und der Riemann Summe.

Meine Aufgabe:
Es sei b>0 eine reelle Zahl. Brechnen Sie das Riemann-Integral $\begin{eqnarray*} \int_0^b \! \sin(x) \, dx \end{eqnarray*}$ ,
indem Sie in folgenden Schritten vorgehen:
a) Begründen Sie, warum das Riemann Integral existieren muss.
b) Wählen Sie die Zerlegung $\begin{eqnarray*} Z_{n}:=\left\{x_{0},...,x_{n} \right\} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_{k}:=k\frac{b}{n} \end{eqnarray*}$ und den Zwischenvektor $\begin{eqnarray*} E^{(n)}:=\left(E_{0}^{(n)},...,E_{n-1}^{(n)} \right) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} E_{k}^{(n)}:= x_{k} \end{eqnarray*}$ . (Sorry ich kann das richtige Zeichen nicht machen).
Vereinfachen Sie den Ausdruck der zugehörigen Riemann-Summe $\begin{eqnarray*} R_{n} \end{eqnarray*}$ (für geeignetes n) mit Hilfe von $\begin{eqnarray*} \cos(\left(k-\frac{1}{2}\right)x ) -\cos(\left(k+\frac{1}{2}\right)x)=2\sin(kx) *\sin(\frac{x}{2} ) \end{eqnarray*}$
c) Bestimmen Sie nun den Wert des Riemann Integrals

Meine Ideen:

Zu a)
Muss ich da mit den Ober-Untersummen argumentieren? Wenn ja, könnt ihr mir vielleicht eine robe Übersicht geben, wie das geht? In unserem Skript verstehe ich das nicht so ganz.

Zu b):
Die Riemann-Summe wäre ja $\begin{eqnarray*} R_{n}=\sum\limits_{k=0}^n f(E_{k})(x_{k}-x_{k-1} ) \end{eqnarray*}$
Bei meiner Funktion $\begin{eqnarray*} R_{n}=\sum\limits_{k=0}^n \sin(E_{k})(x_{k}-x_{k-1} ) \end{eqnarray*}$
Jetzt weiß ich nicht mehr weiter. Wie kann ich das umformen, damit ich das mit dem Hnweis weiter vereinfachen kann?

lg

14.01.2011, 15:31

Manni Feinbein

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ober-Untersummen/Riemann-Summen
Wenn das betreffende Riemann-Integral existiert, dann gilt:

$\begin{eqnarray*} \int_0^b\sin(x)~\dd x=\lim_{n\to\infty}\left(\frac bn\sum_{k=1}^n\sin\left(k\frac bn\right)\right). \end{eqnarray*}$

Nun ist aber gemäß Hinweis

$\begin{eqnarray*} \frac bn \sum_{k=1}^n\sin\left(k\frac bn\right)=\frac{\frac b{2n}} {\sin\left(\frac b{2n}\right)}\sum_{k=1}^n\left(\cos\left(\left(k-\frac 12\right)x\right)-\cos\left(\left(k+\frac 12\right)x\right)\right)=\ldots \end{eqnarray*}$

Jetzt noch die Teleskopsumme erkennen, dann den Grenzübergang und fertig.

14.01.2011, 15:38

Roman Oira-Oira

Auf diesen Beitrag antworten »

zu Aufgabenteil a) Begründen Sie, warum das Riemann-Integral existieren muß.

Es gibt den Satz, daß jede Funktion, die auf einem Intervall [a; b] stetig ist, auf diesem Intervall auch integrierbar ist.

Wenn Ihr diesen Satz bereits bewiesen habt, dann kannst Du ihn hier anwenden.

15.01.2011, 15:16

cHilLz0Ne

Auf diesen Beitrag antworten »

@Roman

Das ist eine Idee. Ich suche danach mal im Skript. Vielleicht hab ich das übersehen.

@Manni
Sprichst du von Aufgabe b)?
Wenn ja, kannst du das vielleicht noch etwas ausführen?
Ich verstehe nicht ganz, wie du den Hinweis angewendet hast.

15.01.2011, 20:05

Manni Feinbein

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ober-Untersummen/Riemann-Summen
Ich hatte nach dem Kopieren der Formel Deines Hinweises vergessen zwei x-Variablen zu ersetzen. Jetzt sollte es passen.

$\begin{eqnarray*} \frac bn \sum_{k=1}^n\sin\left(k\frac bn\right)=\frac{\frac b{2n}} {\sin\left(\frac b{2n}\right)}\sum_{k=1}^n\left(\cos\left(\left(k-\frac 12\right)\frac bn\right)-\cos\left(\left(k+\frac 12\right)\frac bn\right)\right)=\ldots \end{eqnarray*}$

17.01.2011, 14:11

cHilLz0Ne

Auf diesen Beitrag antworten »

So langsam kann ich das nachvollziehen. Aber 2 Sachen verstehe ich noch nicht so ganz:

Zum einen, warum kannst du den Hinweis anwenden? Ich habe in der Sume doch $\begin{eqnarray*} \sin(k\frac{b}{n} ) \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} 2\sin(k\frac{b}{n} )*\sin(\frac{x}{2} ) \end{eqnarray*}$ . Ich bekomme es nicht hin, das so umzuformen, dass es passt.
Was du aus dem $\begin{eqnarray*} \frac{b}{n} \end{eqnarray*}$ vor der Summe gemacht hast, kann ich auch nicht ganz nachvollziehen Augenzwinkern

17.01.2011, 14:44

Manni Feinbein

Auf diesen Beitrag antworten »

Der Hinweis lautet:

$\begin{eqnarray*} \cos \left( \left( k - \frac 12 \right) x \right) -\cos \left( \left( k + \frac 12 \right) x \right) = 2\sin(kx) \sin\left(\frac x2 \right). \end{eqnarray*}$

Umgeformt also:

$\begin{eqnarray*} \frac 1{2\sin\left(\frac x2\right)}\left(\cos \left( \left( k - \frac 12 \right) x \right) -\cos \left( \left( k + \frac 12 \right) x \right)\right) = \sin(kx). \end{eqnarray*}$

Setze nun $\begin{eqnarray*} x=\frac bn~: \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac 1{2\sin\left(\frac b{2n}\right)}\left(\cos \left( \left( k - \frac 12 \right) \frac bn \right) -\cos \left( \left( k + \frac 12 \right) \frac bn \right)\right) = \sin\left(k\frac bn\right). \end{eqnarray*}$

Das musst Du nun anwenden auf:

$\begin{eqnarray*} \frac bn\sum_{k=1}^n\sin\left(k\frac bn\right). \end{eqnarray*}$

17.01.2011, 15:07

cHilLz0Ne

Auf diesen Beitrag antworten »

Autsch... das tut weh Augenzwinkern

Ich hab umgeformt wie ein blöder, aber auf die Idee, das einfach auf die andere Seite zu bringen bin ich net gekommen^^

17.01.2011, 15:24

cHilLz0Ne

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich alles Umforme, Zusammenfasse etc. bekomme ich folgendes:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{\frac{b}{2n} }{\sin(\frac{b}{2n} ) }*\left(\cos\left(\frac{b}{2n}\right)-\cos\left(\frac{b}{2}\right)\right) \end{eqnarray*}$

Das müsste doch jetzt Aufgabenteil b) sein.
Riemann-Summe = $\begin{eqnarray*} \frac{\frac{b}{2n} }{\sin(\frac{b}{2n} ) }*\left(\cos\left(\frac{b}{2n}\right)-\cos\left(\frac{b}{2}\right)\right) \end{eqnarray*}$

Wenn ich jetzt n -> oo laufen lassen, müsste ich doch den Wert des Riemann Integrals erhalten oder?

17.01.2011, 15:39

cHilLz0Ne

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{b}{2n}%20}{\sin(\frac{b}{2n}%20)%20}*\left(\cos\left(\frac{b}{2n}\right)-\cos\left(b\right)\right) \end{eqnarray*}$

So muss es heißen.

17.01.2011, 20:16

Manni Feinbein

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von cHilLz0Ne
$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{b}{2n}%20}{\sin(\frac{b}{2n}%20)%20}*\left(\cos\left(\frac{b}{2n}\right)-\cos\left(b\right)\right) \end{eqnarray*}$

So muss es heißen.

Nö, nicht ganz - auch wenn es am Grenzwert nichts ändert - ist

$\begin{eqnarray*} \frac bn\sum_{k=1}^n\sin\left(k\frac bn\right)=\frac{\frac b{2n}}{\sin\left(\frac b{2n}\right)}\left(\cos\left(\frac b{2n}\right)-\cos\left(\frac{(2n+1)b}{2n}\right)\right)\stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow}\left(\cos(0)-\cos(b)\right). \end{eqnarray*}$

Dabei musst Du dann eigentlich nur noch investieren, dass

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0}\frac {\sin(x)}x=1. \end{eqnarray*}$

Der Rest folgt aus der Stetigkeit des Kosinus.

17.01.2011, 21:08

cHilLz0Ne

Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt das hatte ich auch. Da ist was durcheinander gekommen.

Ich hatte dann als Wert der Rieman-Summe $\begin{eqnarray*} 1-\cos(b) \end{eqnarray*}$ wenn ich n->oo laufen lasse.

Genau das, was du da auch stehen hast. Was meinst du mit investieren?

17.01.2011, 21:59

Hi25

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe nicht wie ihr auf das b durch n kommt.

17.01.2011, 22:05

cHilLz0Ne

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist doch vorgegeben:
$\begin{eqnarray*} x_{k} =k\frac{b}{n} \end{eqnarray*}$
=> $\begin{eqnarray*} k*x=k*\frac{b}{n} \end{eqnarray*}$
=> $\begin{eqnarray*} x=\frac{b}{n} \end{eqnarray*}$

17.01.2011, 22:25

Manni Feinbein

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von cHilLz0Ne
Was meinst du mit investieren?

Sozusagen prophylaktisch wollte ich durch Angabe von

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}x=1 \end{eqnarray*}$

auf Existenz und Wert von

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\frac{\frac b{2n}} {\sin\left(\frac b{2n}\right)} \end{eqnarray*}$

hinweisen, da ich dies - angesichts der zähen Vorarbeit - als letzte potentielle Hürde ansah.

Nix für ungut.

Neue Frage »

Antworten »

Ober-Untersummen/Riemann-Summen

Verwandte Themen