Beschränkte divergente Folge hat mehr als einen Häufungspunkt

14.01.2011, 15:30	BieneMaja	Auf diesen Beitrag antworten »
Beschränkte divergente Folge hat mehr als einen Häufungspunkt Hallo Eine alte Übungsaufgabe von mir lautet: Zeigen Sie: Eine beschränkte divergente Folge besitzt mehr als einen Häufungspunkt. Die Musterlösung dazu war: Nach Bolzano-Weierstraß besitzt die Folge mind. einen Häufungspunkt a. Da nun $\begin{eqnarray} a_{n} \end{eqnarray}$ divergentexistiert ein e>0, so dass unendlichviele Folgenglieder außerhalb von $\begin{eqnarray} B_{e}(a) \end{eqnarray}$ liegen. Bezeichne die Indizes dieser Folgenglieder mit $\begin{eqnarray} n_{1},n_{2},... \end{eqnarray}$ . Also erhält man eie Teilfolge $\begin{eqnarray} a_{n_{k} } \end{eqnarray}$ deren Glieder nicht in $\begin{eqnarray} B_{e}(a) \end{eqnarray}$ liegen. Da $\begin{eqnarray} a_{n_{k} } \end{eqnarray}$ beschränkt existiert nach Bolzano Weierstraß wieder ein HP b und es folgt die Behauptung. Den Beweis habe ich soweit verstanden, nur hätte ich versucht die Aufgabe anders zu beweisen, nämlich: Nach Bolzano-Weierstraß besitzt die Folge mind. einen Häufungspunkt a. Angenommen a wäre einziger HP der Folge, dann würde gelten: $\begin{eqnarray} \forall e>0: \| a_{n},a \| <e \end{eqnarray}$ für unendich viele $\begin{eqnarray} a_{n} \end{eqnarray}$ , insbesondere also für alle bis auf endlich viele $\begin{eqnarray} \Rightarrow \lim_{n \to \infty } a_{n} =a \end{eqnarray}$ im Widerspruch zur Voraussetzung dass $\begin{eqnarray} a_{n} \end{eqnarray}$ divergent. Wäre dieser Beweis genau so richtig? Danke schonmal für eure Antworten
14.01.2011, 16:37	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Problem an deinem Beweis ist, dass aus "A gilt für unendlich viele n" noch nicht folgt, dass es für alle bis auf endlich viele gilt. Z.b. gibt es unendlich viele gerade Zahlen, aber das sind sicherlich nicht alle bis auf endlich viele, denn es gibt ja auch unendlich viele ungerade Zahlen.
15.11.2011, 21:26	s.b.	Auf diesen Beitrag antworten »
ähnliches problem also ich habe grad fast das gleiche problem bei einer aufgabe zu lösen... und deine musterlösung oben hilft mir dabei total weiter... nur verstehe ich dabei noch nicht so ganz wie du darauf kommst, dass unendlich viele folgeglieder außerhalb von Be(a) liegen?? was ist überhaupt B?
16.11.2011, 09:55	BieneMaja	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Also $\begin{eqnarray} B_{e}(a) \end{eqnarray}$ meint eine "Kugel" um den Punkt a mit Radius e. Eine Folge wäre konvergent gegen a, wenn gelten würde: In einer Umgebung = Kugel um a mit beliebig kleinen Radius e liegen fast alle (d.h. alle bis auf eindlich viele) Folgenglieder $\begin{eqnarray} a_{n} \end{eqnarray}$ . Da die Folge aber nach Voraussetzung divergent ist, können nicht fast alle Folgenglieder in der Nähe von a liegen, d.h. es liegen auch unendlich viele außerhalb dieser Umgebung $\begin{eqnarray} B_{e}(a) \end{eqnarray}$ Gruß Biene

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