Isomorphismus HomK(V,W)

14.01.2011, 19:59

G0rd0nGeKK0

Isomorphismus HomK(V,W)

Seien V,W endlichdimensionlae K-Vektorräume. Zeigen Sie, dass die Abbildung

$\begin{eqnarray*} \Omega: Hom_{\mathbb K } (V,W) \rightarrow Hom_{\mathbb K } (W^{*} ,V^{*} ) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \Omega(\varphi):= \varphi^{*} \end{eqnarray*}$ ein Isomorphismus ist.

Meine / Unsere Ansätze:

ZZ : $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ ist injektiv + surjektiv also bijektiv

Zur Injektivität:
Für lineares $\begin{eqnarray*} \Omega:V \rightarrow W \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ injektiv $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} Kern \Omega = \{0\} \end{eqnarray*}$

Zur Surjektivität:
ich kann mich dunkeln erinnern, dass wir einen Dimensionssatz dafür brauchen; aber welcher?

14.01.2011, 21:15

system-agent

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RE: Isomorphismus HomK(V,W)
Du musst etwas über die Abbildung $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ zeigen, nicht über $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von G0rd0nGeKK0
ZZ : $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ ist injektiv + surjektiv also bijektiv

Das zeigt nur, dass $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ eine Bijektion ist. Du sollst aber zeigen, dass es ein Isomorphismus ist. Das heisst das Erste was du tun musst ist zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ ein Homomorphismus ist.

15.01.2011, 14:28

G0rd0nGeKK0

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RE: Isomorphismus HomK(V,W)
Moment mal, ein Isomorphismus sowie ich es verstanden habe, ist eine bijektive lineare Abbildung. Also muss ich doch nur Bijektivität und Linearität zeigen.

Ok Linearität muss ich doch nicht zeigen, weil die ist ja schon per Aufgabenstellung schon gegeben. ==> HomK(V,W) sind ist ja die Menge aller linearen Abb. von V nach W.

Also bleibt nur Bijektivität zu zeigen.

15.01.2011, 15:14

system-agent

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RE: Isomorphismus HomK(V,W)

Zitat:

Original von G0rd0nGeKK0
Ok Linearität muss ich doch nicht zeigen, weil die ist ja schon per Aufgabenstellung schon gegeben. ==> HomK(V,W) sind ist ja die Menge aller linearen Abb. von V nach W.

Total falsch. Es geht hier doch um die Abbildung $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ . Diese Abbildung nimmt eine lineare Funktion $\begin{eqnarray*} \varphi: V\to W \end{eqnarray*}$ und macht daraus eine neue Funktion $\begin{eqnarray*} \varphi^*: W^*\to V^* \end{eqnarray*}$ . Du sollst zeigen, dass die Zuordnung $\begin{eqnarray*} \varphi\mapsto\varphi^* \end{eqnarray*}$ ein Isomorphismus ist [und es ist diese Abbildung, die $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ heisst].

16.01.2011, 15:02

G0rd0nGeKK0

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RE: Isomorphismus HomK(V,W)
Man muss ja einfach eine passende Umkehrabbildung definieren. Dann sollte es sich schon um einen Isom. handeln.

16.01.2011, 19:51

system-agent

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Natürlich kannst du eine Umkehrabbildung suchen.
Meiner Meinung nach ist es aber einfacher einzusehen, wieso $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ injektiv ist [über den Kern] und dass die Dimensionen von $\begin{eqnarray*} \text{Hom}_K(V,W) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \text{Hom}_K(W^*,V^*) \end{eqnarray*}$ gleich sind. Daraus folgt dann sofort, dass $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ ein Isomorphismus ist.

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