Fläche einer Ellipse durch Integration

14.01.2011, 23:14

LX5000

Fläche einer Ellipse durch Integration

Hallo Zusammen,

ich möchte die Fläche der Ellipse (x²/a²)+(y²/b²)=1 durch Integration ermitteln.

Meine bisherige Vorgehensweise:

Ich habe das polare Koordinatensystem gewählt mit x=acos(t), y=bsin(t)
Die "Ausglichsdeterminante" mit a*b*r ermittelt und möchte jetzt das Integral

Int Int a*b*r dr dt lösen.

Die Grenze von t habe ich 0 und 2 Pi gewählt.
Beim Radius r war ich der Meinung, da der Radius ja nicht konstant ist, müsste ich ihn als Funktion von t angeben.
Als Grenze für den Radius habe deshalb 0 und sqrt ( a²cos²t+b²sin²t) verwendet und komme damit jedesmal in den Wald.
Jetzt hab ich mal im Internet gesucht und habe genau meinen Ansatz entdeckt nur wird dort der Radius in den Grenzen 0 und 1 integriert.

Wenn ich die obere Grenze 1 verwende komme ich auch auf das richtige Ergebnis.
Ich verstehe aber nicht, warum 1 verwendet wird.
Der Radius bewegt sich doch zwischen 0 und sqrt ( a²cos²t+b²sin²t).

Würde mich sehr über Antwort freuen.

Grüße LX5000

15.01.2011, 02:13

BobbyJack

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RE: Fläche einer Ellipse durch Integration
Hey LX5000,

die Ungleichung für die Fläche der Ellipse lautet ja
$\begin{eqnarray*} \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \leq 1 \end{eqnarray*}$
Die gestauchten Polarkoordinaten lauten:
$\begin{eqnarray*} \Phi (t) = \begin{pmatrix} r(t)\cdot a \cdot \cos(t) \\ r(t)\cdot b \cdot \sin(t) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Dass dein t in den Grenzen von [0,2*pi] läuft hast du ja auch schon gewählt.

Um nun eine Bedingung für r(t) zu bekommen setzt du deine Koordinaten in die Ungleichung ein:

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} &\leq& 1<br /> \Leftrightarrow \frac{r(t)^2\cdot a^2 \cdot \cos(t)^2}{a^2} + \frac{r(t)^2\cdot b^2 \cdot \sin(t)^2}{b^2} &\leq& 1<br /> \Leftrightarrow r(t)^2 \cdot \cos(t)^2 + r(t)^2 \cdot \sin(t)^2 &\leq& 1<br /> \Leftrightarrow r(t)^2 &\leq& 1 \end{eqnarray*}$

Dein r ist also nicht von t abhängig. Den nicht konstanten Radius hast du nämlich schon mit den Vorfaktoren in deinen Polarkoordinaten berücksichtigt.

15.01.2011, 09:58

chili12

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Das Thema interessiert mich auch.

Mir ist klar, dass die Länge des Vektorpfeils sich ändert wenn a ungleich b.

Aber wieso beweist deine Rechnung das?

Bei Stauchungen ist doch klar, dass der Koeffizient kleiner 1 ist. Kann man OEdA sagen, dass r(t) eine Streckung darstellt?

mfg

15.01.2011, 13:21

BobbyJack

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Hey,

die Rechnung beweist, dass dein r(t) nicht von t abhängt:
$\begin{eqnarray*} r(t)^2 \leq 1 \Rightarrow r(t) \leq 1 \end{eqnarray*}$
und in 1 ist kein t. Das bedeutet, dass dein Radius (unabhängig von t) immer in den Grenzen von [0;1] läuft.

Der letzte Satz war nochmal ein versuch zu erklären, wie es sein kann, dass dein r nicht von t abhängt, was ja auf den ersten Blick ein wenig merkwürdig scheint. Schließlich hat man be t=0 einen anderen Radius als bei t = pi/4. Mit den Vorfaktoren a und b in deiner Parametrisierung sind die unterschiedlichen Radien aber schon berücksichtigt.

Bsp: (jetzt für den Rand der Ellipse)
bei t=0 ist y(t)=0 und x(t)=r*b
bei t=pi/4 ist y(t)=r*a und x(t)=0

man sieht, dass die Koordinaten zwischen [-ra;ra] bzw [-rb;rb] laufen.

Und zu deiner zweiten Frage: r(t) kann ja eine beliebige Funktion sein. Zum Beispiel r(t)=sin(t).

In diesem Fall ist würde man r(t) vermutlich eher nicht als Streckung bezeichnen.

Ich hoffe, ich habe deine Fragen richtig verstanden und beantworten können
smile

16.01.2011, 13:58

LX5000

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Hallo BobbyJack,

vielen Dank für die Antwort. Ich versuche mal in meinen Worten zu sagen, was ich verstanden habe.

Bei einem Kreis hat man z.B. die Geichung x²+y²=3². Setzt man für x und y die Polarkoordianten x=r*cost und y=r*sint ein und kürzt das ganze auf r zusammen, wie Du bereits vorgemacht hast, erhält man für den Radius r=3. (Was ja auch zu erwarten war). Im Polarkoordinatensystem ist deshalb 3 die äußere Grenze für den Radius zur Integration über die Fläche.

Bei einer Ellipse hat man z.B. (x²/a²)+/y²/b²)=1.
Setzt man für x und y jetzt die "Ellipsenpolarkoordianten" x=r*a*cost, y=r*b*sint ein und kürzt die Gleichung wieder, wie von Dir vorgemacht, auf r zusammen erhält man am Ende für den Radius r=1 und nicht r=f(t,a,b). Analog zum Kreis muß deshalb die äußere Grenze für die Integration auch r=1 und nicht r=f(t,a,b) sein.

Ich interpretier das mal so, das in der "Ellipsenpolarkoordinatenwelt" ,aus welchen Gründen auch immer die Ellipse sowas wie ein Quadrat mit einer Seitenlänge r=1 ist.

Ich möchte aber nicht wissen wer sich sowas hat einfallen lassen. smile

Grüße
LX5000

17.01.2011, 11:36

Huggy

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Zitat:

Original von LX5000
Bei einer Ellipse hat man z.B. (x²/a²)+/y²/b²)=1.
Setzt man für x und y jetzt die "Ellipsenpolarkoordianten" x=r*a*cost, y=r*b*sint ein

Das sind nicht die Polarkoordinaten der Ellipse. Das sind die Polarkoordinaten eines Kreises vom Radius 1, der aus der Ellipse entsteht, wenn man ihre Achsen um die Faktoren a bzw. b staucht/streckt. Das wird vielleicht deutlicher, wenn man die Gleichungen in der Form

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{a}=r \cos t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{y}{b}=r \sin t \end{eqnarray*}$

schreibt.

Zitat:

Ich interpretier das mal so, das in der "Ellipsenpolarkoordinatenwelt" ,aus welchen Gründen auch immer die Ellipse sowas wie ein Quadrat mit einer Seitenlänge r=1 ist.

Nein! Das ist lediglich die Verbindung einer Stauchung/Streckung der Ellipse mit anschließender Transformation auf Polarkoordinaten.

Was ist bei deinem ursprünglichen Ansatz schief gegangen?
Du hast die Ellipsengleichung in der Paramaterform

$\begin{eqnarray*} x=a \cos t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=b \sin t \end{eqnarray*}$

geschrieben. Und jetzt hast du gedacht, der Parameter t sei identisch mit Winkel $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ in Polarkoordinaten. Ist er aber nicht! Es ist ja

$\begin{eqnarray*} \tan \varphi = \frac {y}{x}=\frac {b}{a} \tan t \end{eqnarray*}$

Das heißt, für $\begin{eqnarray*} a \neq b \end{eqnarray*}$ unterscheiden sich t und $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ .

Wenn du zu Polarkoordinaten übergehen möchtest, musst du von den Transformationsgleichungen

$\begin{eqnarray*} x=r \cos \varphi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=r \sin \varphi \end{eqnarray*}$

ausgehen. In die Ellipsengleichung eingesetzt erhält man

$\begin{eqnarray*} \frac{r^2 \cos^2 \varphi}{a^2}+\frac{r^2 \sin^2 \varphi}{b^2}=1 \end{eqnarray*}$

Daraus ergibt sich

$\begin{eqnarray*} r=\frac{ab}{\sqrt {b^2 \cos^2 \varphi +a^2 \sin^2 \varphi}} \end{eqnarray*}$

Wenn man damit in Polarkoordinaten integrieren will, erhält man ein ziemlich unerfreulich aussehendes Integral, obwohl es natürlich zu dem korrekten Ergebnis führt. Aber da sieht es einfacher aus, gleich in kartesischen Koorinaten zu integrieren.

Unbotmäßige Angestellte soll man gehörig zusammenstauchen. Das bewährt sich auch bei der Fläche der Ellipse. Nach der Stauchung integriert sie sich fast von allein.

18.01.2011, 07:35

LX5000

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Zitat:

Original von Huggy
Das sind nicht die Polarkoordinaten der Ellipse. Das sind die Polarkoordinaten eines Kreises vom Radius 1, der aus der Ellipse entsteht, wenn man ihre Achsen um die Faktoren a bzw. b staucht/streckt. Das wird vielleicht deutlicher, wenn man die Gleichungen in der Form

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{a}=r \cos t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{y}{b}=r \sin t \end{eqnarray*}$

schreibt.

Vielen Dank. Dadurch wird mir jetzt auch klar woher x=a cost und x=b sin t kommt.

Trotzdem hier nocheinmal meine derzeitige Sicht der Dinge.
Durch x=a cost und x=b sin t überführt man die Ellipse in ein anderes Koordinatensystem als durch x= cost und y = sint, auch wenn beide stark miteinander verwand sind.

Durch x=cos t und y=sint im Polarkoordinatensystem wird der Kreis zum Rechteck. Auf der r-Achse ist der jeweilige Radius R angetragen auf der t-Achse der Winkel. Will ich jetzt die Fläche des Kreises berecnnen, berechne ich das
Doppelintegral mit den Grenzen 0<r<R und 0<t<2*Pi unter Berückscihtigung der Jacobideterminatnte die beim Kreis r wird.

Durch x= a cost und x=b sint im "Ellipsenpolarkoordinatensystem" wird jetzt die Ellipse zum Rechteck. Allerdings steht jetzt auf der r-Achse lustigerweise kein Radius sondern IMMER 1 und auf der t-Achse der Winkel.
Will ich jetzt die Fläche der Ellipse berechnen, berechne ich das Doppelintegral mit den Grenzen 0<r< "1" und 0<t<2*Pi unter berücksichtigung der Jacobideterminante die bei der Ellipse ab*Pi wird.

Das war mein Problem. Ich hatte nicht verstanden warum ich nach x=a cost und x=b sint den Radius bis " 1 " und nicht bis zu einer Funktion r=f(a,b,t) integrieren muß.

Das t nicht gleich phi ist habe ich jetzt auch verstanden. Aber wenn ich über den vollen Umfang einer Ellipse integriere ist er doch immer trotzdem 2*Pi oder?

Gruß LX5000

18.01.2011, 09:27

Huggy

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Zitat:

Original von LX5000
Trotzdem hier nocheinmal meine derzeitige Sicht der Dinge.
Durch x=a cost und x=b sin t überführt man die Ellipse in ein anderes Koordinatensystem als durch x= cost und y = sint, auch wenn beide stark miteinander verwand sind.

Du vermischst hartnäckig Koordinatentransformation und Parameterdarstellung einer Kurve. Das sind aber unterschiedliche Dinge. Bei einer Koordinatentransformation wird das kartesische Koordinatenpaar $\begin{eqnarray*} (x, y) \end{eqnarray*}$ in ein anderes Koordinatenpaar wie z. B. Polarkoordinaten $\begin{eqnarray*} (r, \varphi) \end{eqnarray*}$ überführt und diese Transformation gilt für die ganze Ebene. In den Transformationsgleichungen müssen deshalb auch r und $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ beide vorkommen. Es kann nicht eine Variable fehlen.

Bei der Parameterdarstellung einer Kurve werden die Koordinaten der Kurvenpunkte und nur diese als Funktion eines Parameters dargestellt. Man kann den Parameter zwar als Koordinate auf der Kurve interpretieren, aber es fehlt die Bestimmung der zweiten Koordinate. Diese Bestimmung müsste ergänzt werden und die Gleichungen müssten für die gesamte Ebene anwendbar sein.

Zur Flächenberechnung in anderen Koordinaten braucht man eine Koordinatentransformation. Eine Parameterdarstellung der Randkurve genügt nicht. Du hast dir da eine Begriffswelt geschaffen, die kein mathematisches Fundament hat. Wirf sie schleunigst in den nächsten Mülleimer.

Zitat:

Das t nicht gleich phi ist habe ich jetzt auch verstanden. Aber wenn ich über den vollen Umfang einer Ellipse integriere ist er doch immer trotzdem 2*Pi oder?

Der Parameter t und die Winkelkoordinate $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ laufen beide von 0 bis $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ . Aber übereinstimmen tun sie nur an den Stellen $\begin{eqnarray*} t=\varphi=0, \pi /2, \pi, 3 \pi/2, 2\pi \end{eqnarray*}$ . Dazwischen stimmen sie nicht überein.

19.01.2011, 11:18

LX5000

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Ich lass mich gerne überzeugen, aber noch gebe ich nicht auf. Wink

Zitat:

Original von Huggy
In den Transformationsgleichungen müssen deshalb auch r und $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ beide vorkommen. Es kann nicht eine Variable fehlen.

Ich hatte in der letzten Antwort einen Fehler gemacht. Mein "Transformation"
ist:

x = a * r * cos phi
y = b * r * sin phi

Deshalb kommen schon beide Variablen r und der Winkel phi vor.

Und dann noch ein recht unwissenschaftliches Argument.

Dieser Vorgang: x und y durch andere Koordinaten ersatzen und dann mit Hilfe
der Jacobideterminante Integrieren steht in einem Skript von mir unter der Überschrift "Koordinatentransformation".

Ich schließ ja nicht aus, dass ich da was falsch verstehe aber noch bin ich nicht 100% überzeugt.

Beste Grüße
LX5000

19.01.2011, 13:09

Huggy

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Das ist ja auch eine Koordinatentransformation. Und deshalb bekommt man damit auch die korrekte Ellipsenfläche.

Aber was sollen dann Bemerkungen wie, dadurch wird die Ellipse zum Rechteck. Das wird sie natürlich nicht. Vielleicht hast du gemeint, wenn man dann die neuen Koordinaten, die ja keine kartesischen Koordinaten sind, einfach mal als kartesische Koordinaten aufträgt, dann erhalten wir als Bild der Elllipse ein Rechteck. Das ist richtig, aber ohne besonderen Nährwert.

19.01.2011, 13:49

LX5000

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Zitat:

Original von Huggy
Vielleicht hast du gemeint, wenn man dann die neuen Koordinaten, die ja keine kartesischen Koordinaten sind, einfach mal als kartesische Koordinaten aufträgt, dann erhalten wir als Bild der Elllipse ein Rechteck.

Richtig! Das hatte ich gemeint. Ich hatte mal gesehen, dass das bei einem Kreis gemacht wurde und deshalb angenommen, dass diese Art der Darstellung üblich sei bei einer Koordinatentransformation.

Jedenfalls vielen Dank für die Diskussion.
Jetzt kann ich für mich zumindest behaupten mich intensiv mit desem Thema auseinandergesetzt zu haben. Und in Zukunft geh ich damit bestimmt schon viel sicherer um.

Grüße
LX5000

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