Linienintegral

15.01.2011, 12:15	Hermiot	Auf diesen Beitrag antworten »
Linienintegral Meine Frage: Hallo, ich sitze vor einem Linienintegral und mir fehlt der Ansatz. Es soll das Linienintegral von P1(-1;0) nach P2(0;1) berechnet werden. Einmal entlang am Viertelkreis und einmal entlang einer Gerade. Ich weiß nicht so recht wie ich an den Bruch herangehen soll. Kann mir jemand helfen? Dieses Integral habe ich gegeben. $\begin{eqnarray} I= \int \! \frac{x dx - y dy}{x^2 + y^2} \ \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Meine Idee wäre den Bruch nach dx und dy zu trennen. Macht das Sinn?
15.01.2011, 12:25	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Das macht Sinn. Schreibe das also in einer solchen Form: $\begin{eqnarray} \int~ \dots \dd x + \dots \dd y \end{eqnarray}$ . Einen Ansatz für die Parametrisierung der Linien findest du übrigens hier, falls du da Probleme haben solltest.
15.01.2011, 13:52	Hermiot	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, mein Integral hat nun diese Form: $\begin{eqnarray} \int \! \frac{x}{x^2+y^2} \, dx - \frac{y}{x^2+y^2} dy \end{eqnarray}$ Wie du aber schon vermutet hast, bekomme ich nun ein Problem mit der Parametrisierung der Linie. Ich komme nicht auf die Verknüpfung der Punkte zu meinem Integral… Vielen Dank!
15.01.2011, 14:39	Hermiot	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe mir folgendes überlegt: $\begin{eqnarray} C: y= x+1 , -1 \leq x \leq 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{dy}{dx} = 1 \Rightarrow dy=dx \end{eqnarray}$ Das Integral muss demnach: $\begin{eqnarray} \int_1^0 \! \frac{x}{x^2+(x+1)^2} \, dx -\frac{x+1}{x^2+(x+1)^2} dx \end{eqnarray}$ In den Grenzen -1 bis 0, nicht 1 bis 0 … Das Ergebnis wäre 0 Kann das sein ?
15.01.2011, 15:45	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Integral, das du angibst, ist korrekt (ich habe das zwar ein bisschen anders gerechnet, aber es stimmt). Nur kommt da nicht Null heraus. Da hast du wohl einen Vorzeichenfehler. Wenn du deine Rechnung zeigst, kann ich gucken, wo etwas falsch ist. Wenn du noch mal selber rechnen möchtest: Ich habe als Ergebnis -Pi/2 heraus.
19.01.2011, 14:39	Hermiot	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hatte es in den Ti eingegeben… Welche Integralform hast du genutzt?
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20.01.2011, 18:53	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe die Gerade als Weg parametrisiert: $\begin{eqnarray} \gamma(t) = (t-1, t)^T,~t \in [0,1] \end{eqnarray}$ und dann die Definition aus meinem WS benutzt. Führt aber auf das gleiche Integral.
20.01.2011, 19:18	Hermiot	Auf diesen Beitrag antworten »
Mmh ok, aber nach welcher Regel hast du integriert? Da hänge ich im Moment…
20.01.2011, 19:33	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Hier ist es so, dass man eine Richtung zur Lösung "sehen" muss. Wenn man die Ableitung vom Arcustangens kennt, geht das ganz gut: Netterweise ist sie sogar mit einem linearen Argument angegeben. Du kannst hier so umformen, dass du u = 2x+1 substituieren kannst.
22.01.2011, 14:52	Hermiot	Auf diesen Beitrag antworten »
Yeah, ich hab's raus! Vielen Dank für deine Hilfe!

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