Schnitt über Teilkörper

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15.01.2011, 13:53	Tobiass	Auf diesen Beitrag antworten »
Schnitt über Teilkörper Meine Frage: a) Sei $\begin{eqnarray} L \end{eqnarray}$ ein Körper und $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ ein Teilring sowie $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ der Schnitt aller Teilkörper von $\begin{eqnarray} L \end{eqnarray}$ , die $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ enthalten. Zeigen Sie $\begin{eqnarray} K\cong Q(R) \end{eqnarray}$ . b) Sei $\begin{eqnarray} L\|K \end{eqnarray}$ eine Körpererweiterung, und gebe es ein $\begin{eqnarray} a\in L \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} L=K[a] \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ algebraisch über $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ ist. Meine Ideen: zu a): Der Schnitt aller Teilkörper von $\begin{eqnarray} L \end{eqnarray}$ , die $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ enthalten, ist doch der kleinste Teilkörper von $\begin{eqnarray} L \end{eqnarray}$ , der $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ enthält. Also ist $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ sozusagen $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ so weit erweitert, dass gerade die Körpereigenschaften erfüllt sind, d.h. $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ ist bzgl. der Multiplikation eine abelsche Gruppe, also auch abgeschlossen. Also kann man jedes $\begin{eqnarray} a\in K \end{eqnarray}$ als Produkt $\begin{eqnarray} a=b\cdot c \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} b,c\in R \end{eqnarray}$ schreiben. Also gibt es einen Homomorphismus $\begin{eqnarray} f:K\rightarrow Q(R),\ a=bc\mapsto \frac{b}{c} \end{eqnarray}$ . Allerdings wieß ich noch nicht so genau, wie ich zeigen kann, dass es sich sogar um einen Isomorphismus handelt. Kann ich so argumentieren? zu b): Da hab ich noch keine großartige Idee...
15.01.2011, 15:52	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu b) habe ich die großartige Idee, daß $\begin{eqnarray} \frac 1 a \in K[a] \end{eqnarray}$ , weil $\begin{eqnarray} L \end{eqnarray}$ ein Körper ist.
15.01.2011, 19:10	Tobiass	Auf diesen Beitrag antworten »
Leuchtet ein. Aber wie genau bringt mich das weiter?
16.01.2011, 11:37	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
So wie jede großartige Idee ist das der Anfang des Beweises. $\begin{eqnarray} \frac 1 a \in K[a]=\{\sum_{i=0}^n \alpha_i a^i : n \in \mathbb N_0,\alpha_i \in K\}\Rightarrow \frac 1 a =\sum_{i=0}^n \alpha_i a^i \end{eqnarray}$ Die nächste großartige Idee ist, das Produkt $\begin{eqnarray} \frac 1 a \cdot a \end{eqnarray}$ zu berechnen, und dann braucht man nur noch eine ganz naheliegende Idee.
16.01.2011, 11:57	Tobiass	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann gilt also $\begin{eqnarray} a\cdot \frac{1}{a}=\sum_{i=0}^n \alpha _i a^{i+1} \end{eqnarray}$ . Also muss ich jetzt zeigen, dass es ein Polynom $\begin{eqnarray} p\in K[x]^ \end{eqnarray}$ gibt mit $\begin{eqnarray} p(a)=0 \end{eqnarray*}$ .
16.01.2011, 12:09	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die linke Seite der Gleichung !
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16.01.2011, 12:13	Tobiass	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} 1=\sum_{i=0}^n \alpha _i a^{i+1} \end{eqnarray}$
16.01.2011, 12:18	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, und nach meinen 2 großartigen Ideen hast du jetzt bitte noch eine billige Idee ...
16.01.2011, 12:35	Tobiass	Auf diesen Beitrag antworten »
Damit ist also gezeigt dass es ein Polynom $\begin{eqnarray} p\in K[x]^ \end{eqnarray}$ gibt mit $\begin{eqnarray} p(a)=1 \end{eqnarray}$ . Also gilt für das Polynom $\begin{eqnarray} p'=p-1\in K[x]^* \end{eqnarray}$ stets $\begin{eqnarray} p'(a)=0 \end{eqnarray*}$ .
16.01.2011, 13:00	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau so geht's. Bei a) musst du gleich mit Quotienten argumentieren, nicht mit Produkten aus Ringelementen. Dann zieht das Argument mit dem Schnitt als kleinstem Teilkörper.
16.01.2011, 13:03	Tobiass	Auf diesen Beitrag antworten »
Gehts mit Produkten nicht genauso?
16.01.2011, 13:23	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Du willst zeigen dass K der Quotientenkörper ist. Wenn du zeigen willst, dass K Produkte enthält, kannst du natürlich auch mit Produkten argumentieren ...
16.01.2011, 13:48	Tobiass	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigentlich will ich ja nur die Isomorphie zwischen K und Q(R) zeigen. Das funktioniert ja dann mit dem Homomorphismus aus meinem ersten Post. Ich hab jetzt auch Argumente für Injektivität und Surjektivität gefunden, bin also eigentlich fertig.
16.01.2011, 13:59	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Anfang deiner Argumentation funktioniert nicht. Ist z.B. $\begin{eqnarray} L=\mathbb R \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} R=\mathbb Z \end{eqnarray}$ , so kannst du nicht jede rationale Zahl als Produkt ganzer Zahlen schreiben.

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