fast überall reellwertig

15.01.2011, 14:18

Gast11022013

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fast überall reellwertig

Meine Frage:
Zeigen Sie:

Jede integrierbare Funktion $\begin{eqnarray*} f:X\to \overline{\mathbb R} \end{eqnarray*}$ ist fast überall reellwertig.

Meine Ideen:
Okay, ich fange mal an:

f bildet ja ab in $\begin{eqnarray*} \overline{\mathbb R}=\mathbb R \cup \left\{-\infty,\infty\right\} \end{eqnarray*}$ .

Und wenn f nun fast überall reellwertig sein soll, bedeutet das doch, dass $\begin{eqnarray*} N:=\left\{x\in \mathbb R: f(x)=\pm \infty\right\} \end{eqnarray*}$ eine Nullmenge sein muss.

Ab hier komm ich jetzt nicht so wirklich sicher weiter.

Ich würde jetzt sagen: Da f integrierbar ist, gilt: $\begin{eqnarray*} \int |f|<\infty \end{eqnarray*}$ , so hatten wir das in der Vorlesung jedenfalls. Das bedeutet ja aber eigentlich, dass N die leere Menge ist, weil es gibt ja dann keine Funktionswerte, die gleich unendlich sind. Und die leere Menge hat ja die Eigenschaft: $\begin{eqnarray*} \mu(\emptyset)=0 \end{eqnarray*}$ . Daher würde ich sagen, dass damit gezeigt ist, dass N Nullmenge ist.

Kann man das so zeigen?

15.01.2011, 17:00

system-agent

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RE: fast überall reellwertig

Zitat:

Original von Dennis2010
Ich würde jetzt sagen: Da f integrierbar ist, gilt: $\begin{eqnarray*} \int |f|<\infty \end{eqnarray*}$ , so hatten wir das in der Vorlesung jedenfalls. Das bedeutet ja aber eigentlich, dass N die leere Menge ist, weil es gibt ja dann keine Funktionswerte, die gleich unendlich sind.

Das ist aber genau das, was du zu zeigen hast.

Weil $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ integrierbar ist genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} |f| \end{eqnarray*}$ integrierbar ist, reicht es anzunehmen, dass $\begin{eqnarray*} f\geq0 \end{eqnarray*}$ ist.

In diesem Fall bedeutet Integrierbarkeit, dass $\begin{eqnarray*} \int f<\infty \end{eqnarray*}$ ist.
Nun würde ich mal versuchen das mit der Standardprozedur zu beweisen.

15.01.2011, 17:02

Gast11022013

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RE: fast überall reellwertig
Was meinst Du denn mit "Standardprozedur"?

15.01.2011, 17:06

system-agent

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Zuerst zeigst du die Behauptung für eine einfache Funktion, also eine Treppenfunktion.
Da jede positive Funktion der Limes von Trepenfunktionen ist, kannst du zeigen, dass sich die Eigenschaft von den Treppenfunktionen auf die nichtnegativen Funktionen vererbt.

15.01.2011, 17:20

Gast11022013

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Wenn ich dich richtig verstanden habe, muss ich also zeigen:

1.) Das Integral einer Treppenfunktion ist kleiner unendlich.

2.) Man kann diese Eigenschaft dann übertragen auf f selbst.

??

15.01.2011, 17:28

system-agent

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Zitat:

Original von Dennis2010
1.) Das Integral einer Treppenfunktion ist kleiner unendlich.

Das habe ich nie behauptet, denn es ist sowieso falsch.
Du zeigst zuerst folgendes:
Sei $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ eine Treppenfunktion, $\begin{eqnarray*} f\geq0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \int f<\infty \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ fast überall reellwertig.

Mit diesem Wissen zeigst du danach:
Sei $\begin{eqnarray*} f\geq0 \end{eqnarray*}$ eine nichtnegative messbare Funktion mit $\begin{eqnarray*} \int f<\infty \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ fast überall reellwertig.

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15.01.2011, 17:30

Gast11022013

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Danke.

15.01.2011, 17:51

Gast11022013

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Ich versuchs mal:

Eine Treppenfunktion ist ja in kanonischer Darstellung von der Form:

$\begin{eqnarray*} f=\sum_{j=1}^{m}a_j*\chi_{A_j} \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} f(x)=\left\{a_1,a_2,...,a_m\right\}, A_j=f^{-1}(a_j) \end{eqnarray*}$ .

Für das Integral einer Treppenfunktion f gilt:
$\begin{eqnarray*} \int f=\sum_{j=1}^{m}a_j*\mu(A_j) \end{eqnarray*}$ .

Wenn nun gilt $\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^{m}a_j*\mu(A_j)<\infty \end{eqnarray*}$ , so kann das doch nur sein, wenn sowohl die $\begin{eqnarray*} a_j \end{eqnarray*}$ als auch die $\begin{eqnarray*} \mu(A_j) \end{eqnarray*}$ kleiner unendlich sind.

Damit folgt aber für die obige Definition der Treppenfunktion f, dass also alle $\begin{eqnarray*} a_j \end{eqnarray*}$ reellwertig sind und damit ist dann die Nullmenge, die ich oben definiert habe, die leere Menge.

Ist es bis hierhin korrekt?

15.01.2011, 17:58

system-agent

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Du solltest aber auf deine Notationen aufpassen !

Es ist
$\begin{eqnarray*} f=\infty\cdot\chi_{A}+\sum\limits_{i=1}^na_i\chi_{A_i} \end{eqnarray*}$
und die $\begin{eqnarray*} A_j \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ sind paarweise disjunkt und $\begin{eqnarray*} \{a_1,...,a_m\}\subset\mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Dann kommt deine Folgerung, ja.

15.01.2011, 18:18

Gast11022013

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Okay, diese Notation war mir unbekannt, wir hatten den ersten Summanden $\begin{eqnarray*} \infty*\chi_{A} \end{eqnarray*}$ nicht so aufgeschrieben in der Vorlesung.

Und kann man jetzt einfach sagen:

Jede messbare Funktion ist punktweiser Grenzwert einer Folge von Treppenfunktionen. Weil die Behauptung für Treppenfunktionen gezeigt wurde, ist die Aussage bewiesen?

15.01.2011, 18:29

system-agent

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Sagen kann man das schon, es ist allerdings alles Andere als ein Beweis.

Sei also $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ eine nichtnegative messbare Funktion. Dann kannst du eine Folge $\begin{eqnarray*} (f_n) \end{eqnarray*}$ von Treppenfunktionen finden derart, dass $\begin{eqnarray*} f=\lim_{n\to\infty}f_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_n\leq f_{n+1} \end{eqnarray*}$ . Ausserdem gilt
$\begin{eqnarray*} \infty>\int f\dd\mu =\lim_{n\to\infty}\int f_n\dd\mu \end{eqnarray*}$ .

Was kannst du nun über die Folge
$\begin{eqnarray*} \left(\int f_n\dd\mu\right)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$
sagen? [A priori ist es eine Folge in $\begin{eqnarray*} \mathbb R\cup\{\infty\} \end{eqnarray*}$ . Wieso ist es aber eine Folge in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ?]
Was kannst du damit über die $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ sagen?
Dann nutze, dass $\begin{eqnarray*} f^{-1}(\{\infty\})=\bigcup\limits_{n\in\mathbb N}f^{-1}_n(\{\infty\}) \end{eqnarray*}$ ist [wieso? Hinweis: Die Folge $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ ist aufsteigend].
Danach sollte die Stetigkeit des Masses von unten helfen.

Die Notation mit dem Unendlichsymbol in der Summe ist vielleicht nicht gerade Standard, aber es dürfte zweckmässig sein. Aber das war es nicht was ich an deiner Notation bemängelt habe, sondern

Zitat:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\left\{a_1,a_2,...,a_m\right\} \end{eqnarray*}$

15.01.2011, 18:48

Gast11022013

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Wenn gilt, dass $\begin{eqnarray*} \infty>\int f=\lim_{n \to \infty}\int f_n \end{eqnarray*}$ , d.h., wenn der Grenzwert der Folge $\begin{eqnarray*} (\int f_n)_{n\in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ kleiner unendlich ist, sind auch die Folgenglieder kleiner unendlich, das heißt, es ist eine Folge in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Wenn die Folgenglieder also kleiner unendlich sind, dann sind ja die Treppenfunktionen fast überall reellwertig, das habe ich ja gezeigt.

Also $\begin{eqnarray*} \mu(N)=0. \end{eqnarray*}$

Ab jetzt komme ich nicht weiter und verstehe nicht mehr, was Du meinst.

15.01.2011, 18:56

system-agent

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Zitat:

Original von Dennis2010
Wenn gilt, dass $\begin{eqnarray*} \infty>\int f=\lim_{n \to \infty}\int f_n \end{eqnarray*}$ , d.h., wenn der Grenzwert der Folge $\begin{eqnarray*} (\int f_n)_{n\in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ kleiner unendlich ist, sind auch die Folgenglieder kleiner unendlich, das heißt, es ist eine Folge in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

So wie es dasteht reicht das noch nicht als Begründung. Die Folge
$\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ definiert durch $\begin{eqnarray*} a_1=\infty \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_n=1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\geq2 \end{eqnarray*}$ ist auch konvergent, aber es ist keine Folge in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ .
Du brauchst hier schon noch, dass $\begin{eqnarray*} f_n\leq f_{n+1} \end{eqnarray*}$ und die entsprechende Aussage für Integrale.

15.01.2011, 19:22

Gast11022013

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Also noch ein Versuch!

Die Treppenfunktionen sind monoton anwachsend und daher auch die jeweiligen Integrale [Monotonie des Integrals]. Da nun die Folge der Integrale gegen einen Wert konvergiert, der kleiner als unendlich ist, müssen also auch die Treppenfunktionen kleiner als unendlich sein und dann gilt nach Obigem, dass sie fast überall reellwertig sind.

Dass wieder bedeutet ja, dass die oben definierte Nullmenge das Maß 0 hat.

Ziel ist es ja nun zz., dass f(x) immer NICHT unendlich ist, wobei f jetzt eine nichtnegative meßbare Funktion ist. Das heißt, man will zeigen, dass das Maß für die Nullmenge N auch hier gleich 0 ist.

Also schaut man das Urbild von $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ an, also den Definitionsbereich der Funktion f.

Und da die Treppenfunktionen monoton anwachsen, ist ja die Vereinigung von deren Urbildbereich identisch mit dem Urbildbereich der Funktion f (f sammelt ja als Grenzwert sozusagen alle einzelnen Urbildbereiche auf).

Und dann gilt ja dann die Stetigkeit von unten des Maßes:

Das bekomm ich grad nicht formuliert. Ich versuchs weiter.

15.01.2011, 19:29

Gast11022013

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Stetigkeit von unten des Maßes:

$\begin{eqnarray*} \mu(\bigcup_{n}^{\infty}f_n^{-1}(\infty))=\lim_{n \to \infty} \mu(f_n^{-1}(\infty))=\mu(f^{-1}(\infty))=0 \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} \mu(\bigcup_{n}^{\infty}f_n^{-1}(\infty)=0 \end{eqnarray*}$ nach Obigem.

Damit folgt die Behauptung, nämlich dass das Maß von N auch hier 0 ist.

15.01.2011, 19:44

system-agent

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Zitat:

Original von Dennis2010
Dass wieder bedeutet ja, dass die oben definierte Nullmenge das Maß 0 hat.

Eine Nullmenge hat immer Mass Null, das ist schliesslich die Definition.

Zitat:

Original von Dennis2010
Ziel ist es ja nun zz., dass f(x) immer NICHT unendlich ist, wobei f jetzt eine nichtnegative meßbare Funktion ist. Das heißt, man will zeigen, dass das Maß für die Nullmenge N auch hier gleich 0 ist.

Oh nein, das ist NICHT das Ziel. Das Ziel ist zu zeigen, dass die Menge aller $\begin{eqnarray*} x\in X \end{eqnarray*}$ für die $\begin{eqnarray*} f(x)=\infty \end{eqnarray*}$ gilt das Mass Null hat.
Natürlich hat die leere Menge das Mass Null, aber im Allgemeinen gibt es auch nicht-leere Mengen die das Mass Null haben.

Zitat:

Original von Dennis2010
Und da die Treppenfunktionen monoton anwachsen, ist ja die Vereinigung von deren Urbildbereich identisch mit dem Urbildbereich der Funktion f (f sammelt ja als Grenzwert sozusagen alle einzelnen Urbildbereiche auf).

Das ist ziemlich schwammig und zum Teil falsch.
$\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist definiert auf dem ganzen Raum $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ , ebenso die Treppenfunktionen $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ , das heisst der Definitionsbereich ist immer $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ .
Das was du anschauen musst ist die die Menge $\begin{eqnarray*} f^{-1}(\{\infty\}) \end{eqnarray*}$ aller Stellen, an denen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ den Wert unendlich annimmt, also
$\begin{eqnarray*} f^{-1}(\{\infty\})=\{x\in X\,\,:\,\,f(x)=\infty\} \end{eqnarray*}$ .

Nun musst du dieses "Einsammeln" noch genauer begründen. Sprich weise ordentlich nach, dass
$\begin{eqnarray*} f^{-1}(\{\infty\})=\bigcup\limits_{n\in\mathbb N}f^{-1}_n(\{\infty\}) \end{eqnarray*}$
gilt. Dazu brauchst du wieder einmal die Monotonie der Folge von Treppenfunktionen.

Um die Stetigkeit des Masses von Unten verwenden zu können, musst du selbstverständlich vorher noch begründet haben, wieso $\begin{eqnarray*} f_n^{-1}(\{\infty\}) \end{eqnarray*}$ eine aufsteigende Folge von Mengen ist [was die präzise Form von "Einsammeln" ist].

Dann kannst du wirklich das schreiben was du schon getan hast, wenn man auch aus logischen Gründen die Reihenfolge umkehren muss:
$\begin{eqnarray*} \mu(f^{-1}(\{\infty\}))=\mu\left(\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}f^{-1}_n(\{\infty\})\right)=\lim_{n\to\infty}\mu(f^{-1}_n(\{\infty\}))=\lim_{n\to\infty}0=0 \end{eqnarray*}$

15.01.2011, 21:53

Gast11022013

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Ich denke, dass ich nun ein einigermaßen zufriedenstellendes Ergebnis formuliert habe.

Ich bedanke mich bei Dir für die Hilfe, system-agent!

15.01.2011, 23:25

gonnabphd

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Mal eine Frage meinerseits:

Zitat:

Nun musst du dieses "Einsammeln" noch genauer begründen. Sprich weise ordentlich nach, dass
$\begin{eqnarray*} f^{-1}(\{\infty\})=\bigcup\limits_{n\in\mathbb N}f^{-1}_n(\{\infty\}) \end{eqnarray*}$
gilt. Dazu brauchst du wieder einmal die Monotonie der Folge von Treppenfunktionen.

Ich sehe diese Gleichheit nicht. Eine Folge von Treppenfunktionen könnte doch punktweise (und monoton) konvergieren und dennoch könnte gelten

$\begin{eqnarray*} f^{-1}_n(\{\infty\}) = \emptyset \end{eqnarray*}$

für alle n?! (diese Frage ist vor allem an Dennis gerichtet; system-agent hat dir ja überlassen, dieses Einsammeln zu beweisen - und ich habe den leisen Verdacht, dass du das nicht getan hast... Einfach hinschreiben und sagen "is' so" geht nicht - das sollte einem aber schon vor Maßtheorie bekannt sein)

Ehrlich gesagt, habe ich einige Zweifel, ob der Ansatz über Treppenfunktionen hier tatsächlich greift (lasse mich aber gerne eines besseren belehren). verwirrt

verwirrt

Einen direkteren Ansatz sähe ich übrigens darin, die Kontraposition zu zeigen.

15.01.2011, 23:45

Gast11022013

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Das ist ja interessant!
[Jetzt habe ich mich damit abgemüht und jetzt kommst Du daher und sagst, es funktioniert vermutlich gar nicht. traurig

traurig

]

Darf ich nochmal was fragen?

Jemand hat mir folgenden Hinweis gegeben, den ich allerdings leider nicht verstehe. Vielleicht kann mir jemand helfen?

-------------------------

Verwende $\begin{eqnarray*} \int_X |f| <\infty \end{eqnarray*}$
Es gilt nämlich mit $\begin{eqnarray*} N:=\left\{x \in X: f(x)=\pm \infty\right\}: \int_X |f| \geq \int_N |f| \end{eqnarray*}$
Was folgt daraus für das Maß von N?

Anders wurde es mir so formuliert:

Es gilt für jede Teilmenge $\begin{eqnarray*} N\subset X \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \int_N |f| \leq \int_X |f| \end{eqnarray*}$

Setze nun $\begin{eqnarray*} N := \left\{|f| = \infty\right\} \end{eqnarray*}$

Wäre nun $\begin{eqnarray*} \mu(N) > 0 \end{eqnarray*}$ wäre $\begin{eqnarray*} \int_X |f| \end{eqnarray*}$ sofort was?

Kann mir das jemand erklären??

16.01.2011, 08:53

system-agent

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@gonnabphd
Du hast Recht, diese Gleichheit stimmt nicht. Ein Gegenbeispiel wäre $\begin{eqnarray*} f\equiv\infty \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_n(x):=n \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ .

@Dennis
Sorry dass ich meinen Fehler vorher nicht gesehen habe.

Dein Hinweis zielt auf folgendes ab:
$\begin{eqnarray*} \infty>\int\limits_X|f|\dd\mu\geq\int\limits_N|f|\dd\mu \end{eqnarray*}$
aber falls $\begin{eqnarray*} \mu(N)>0 \end{eqnarray*}$ , folgt
$\begin{eqnarray*} \int\limits_N|f|\dd\mu=? \end{eqnarray*}$ .

16.01.2011, 18:30

Gast11022013

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Zitat:

Original von system-agent

Dein Hinweis zielt auf folgendes ab:
$\begin{eqnarray*} \infty>\int\limits_X|f|\dd\mu\geq\int\limits_N|f|\dd\mu \end{eqnarray*}$
aber falls $\begin{eqnarray*} \mu(N)>0 \end{eqnarray*}$ , folgt
$\begin{eqnarray*} \int\limits_N|f|\dd\mu=? \end{eqnarray*}$ .

Würde dann gelten:

$\begin{eqnarray*} \int\limits_N|f|\dd\mu=\infty \end{eqnarray*}$ ?

16.01.2011, 19:27

system-agent

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Ja. Und wieso?

16.01.2011, 21:23

Gast11022013

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Ich weiß es nicht genau.

Ich würde aber sagen, dass ja für das Integral gilt, dass es das Supremum von Integralen von Treppenfunktionen ist und das Maß einer Treppenfunktion ist ja (jetzt sehr ungenau gesagt): Breite mal Höhe.

Und wenn das Maß nicht Null ist, ist die Breite nicht Null und die Höhe unendlich.
Also kommt etwas unendliches bei raus.

Ich weiß, das is nicht gut formuliert. Aber ich kanns grad nicht anders beschreiben.

16.01.2011, 22:49

system-agent

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Das ist wirklich nicht gut formuliert. Das Integral $\begin{eqnarray*} \int\limits_Nf\dd\mu \end{eqnarray*}$ ist per Definition gerade $\begin{eqnarray*} \int\limits_X f\cdot\chi_N\dd\mu \end{eqnarray*}$ .

Welchen Wert hat der Integrand $\begin{eqnarray*} f\cdot\chi_N \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ ? Welchen auf $\begin{eqnarray*} N^c \end{eqnarray*}$ [das Komplement von $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ ]? Kannst du den Integranden als eine Treppenfunktion darstellen?

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