Basis eines Untervektorraumes

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attze Auf diesen Beitrag antworten »
Basis eines Untervektorraumes
Meine allererste Frage hier ;-)

Sei ein eindimensionaler Vektorraum über dem Körper , und sei ein Untervektorraum. Zeigen sie, dass eine Basis besitzt.


Ich hab bisher nur die Idee, dass die Vektoren linear unabhängig sein müssen.

d.h. eine Basis existiert genau dann, wenn eindeutig bestimmte existieren. mit .

sind linear unabhängig, wenn oder trivial

ist eine Basis von

Ich hab bloß das blöde Gefühl, dass das totaler Unfug ist, oder?

Für sachdienliche Hinweise wäre ich sehr dankbar smile

PS: Latex is schwer smile
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis eines Untervektorraumes
Wie lang ist denn die Basis von V?

P.S.: Antworten kostet Zeit Augenzwinkern
 
 
attze Auf diesen Beitrag antworten »

ok.. Ich bin soweit, dass ich weiss, dass eine Basis ein linear unabhängiges erzeugendes System ist. d.h. das in einem beliebigen die Kanonischen Einheitsvektoren eine Basis von bilden.



Richtig? Was aber sagt mir das für den Untervektorraum?? unglücklich
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Schön. Du hast von einem eindimensionalen Vektorraum gesprochen. Wie viele Basisvektoren gibt es?
attze Auf diesen Beitrag antworten »

Alles wieder zurück.. neue Überlegung...

Annahme: Jeder Vektoraum mit endlichen vielen Vektoren hat eine Basis. Also auch der Untervektorraum.

Beweis: Aus diesem Vektorraum kann man ein unverkürzbares Erzeugendensystem machen und in Verbindung mit dem Austauschsatz ist dieses Erzeugendensystem eine Basis.


Ich hab das jetzt nur auf die schnelle "hingeschmiert" weil es schon spät ist, aber könnte das so passen?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Hat sich jetzt die Aufgabe geändert, oder was?

Aus deinem ersten Post folgt U = V. Denn wir haben nur einen Basisvektor v und span(v) = V. Da U Nicht der Nullvektorraum ist, muss er hier V sein.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Hier auch ein Link zum Thema:

Hat jeder Vektorraum eine Basis?

http://de.wikipedia.org/wiki/Basis_(Vektorraum)#Existenzbeweis_.28Skizze.29
attze Auf diesen Beitrag antworten »

Ups.... in der Aufgabenstellung geht es natürlich nicht um einen eindimensionalen sonder um ein endlichdimesionalen Vektorraum. Deswegen konnte ich dir anfangs auch nicht folgen *andenkopfklatsch*
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

A jetzt ja. Den Link zur Existenz einer Basis habe ich Dir gegeben. Wenn man weiß, dass ein Vektorraum eine Basis hat, na dann muss ja auch der Unter Vektorraum ein haben.

Deswegen finde ich die Aufgabe etwas seltsam. Kommst du denn jetzt damit klar? Also wir dürfen voraussetzen, dass V eine Basis hat, oder wie?

Wie ist nun ein Untervektorraum definiert? Da liegen ja Elemente aus V drin, mit bestimmenten Eigenschaften.
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