Stetigkeit und Umgebung

15.01.2011, 14:49

alex2007

Stetigkeit und Umgebung

$\begin{eqnarray*} Sei \, (X,d)\, ein\, metrischer\, Raum,\, a \in X, \, f: X \to \mathbb R, \, f \, stetig\, in \, a.\, \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Zeigen\, Sie:\, Gilt\, f(a)>0,\, so\, gibt\, es\, eine \, Umgebung\, U\, von\, a\, mit\, f(x)>0 \, \forall x. \in U \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:

Also logisch erscheint mir das ganze ja. Ich habe einen Punkt a aus der Menge X. Die Menge X gehört zum metrischen Raum (X,d). Die Funktion, die die Menge X auf IR abbildet ist stetig in a. Wenn f(a) echt größer 0 ist, dann muss es eine Umgebung U(a) geben, in der jeder Funktionswert echt größer 0 ist. Es muss also ein epsilon>0 geben, für das jedes Element aus dem Intervall ]a-epsilon;a+epsilon[ einen Funktionswert größer 0 hat. Mathematisch ausgedrückt eben jedes x € U muss den Funktionswert f(x)>0 haben. Wobei U mein offenes Intervall ]a-epsilon;a+epsilon[ ist.

Hab ich das erstmal soweit richtig gedeutet? Wie gesagt, das dem so sein mjuss ist mir klar, aber wie zeige ich, dass es wirklich so ist?

Ich dneke ich muss hier irgendwie mit der Metrik arbeiten, bin aber nicht sicher wie ich das anstelle. Es muss irgendetwas mit den Abständen der Punkte zu tun haben. Anregungen wären hilfreich.

15.01.2011, 15:54

Roman Oira-Oira

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Der analoge Satz für X = $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ in der Schulanalysis ist der Satz

$\begin{eqnarray*} f(x) \text \,\,{stetig \,\,bei} \,\, a \wedge f(a) > 0 \Rightarrow \exists \delta \in \mathbb R^+ : f(U(a; \delta)) > \{0\} \end{eqnarray*}$ (analog für f(a) < 0)

Bei uns nannte sich dieser Satz seinerzeit der "Signum-Satz für stetige Funktionen".

Der Beweis im Bereich von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ funktionierte nach folgendem Schema:

1. Wähle eine $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ -Umgebung von f(a), die sicher größer 0 ist, z.B. $\begin{eqnarray*} U(f(a), \varepsilon) \end{eqnarray*}$ , mit $\begin{eqnarray*} \varepsilon = \frac{1}{2} f(a) \end{eqnarray*}$ . Für diese Umgebung gilt bestimmt $\begin{eqnarray*} U(f(a), \varepsilon) > 0 \end{eqnarray*}$ .

2. Verwende nun die Stetigkeit von f(x), um zu folgern, daß zu diesem $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ existiert, mit $\begin{eqnarray*} f(U(a; \delta) \subseteq U(f(a); \varepsilon) \end{eqnarray*}$ . Dies folgt direkt aus der Definition der Stetigkeit.

Ich denke, Du kannst diesen Ansatz verwenden, um diesen Satz auf einen beliebigen metrischen Raum X mit Metrik d zu übertragen. Wie dies im Einzelnen geschehen kann, weiß ich momentan jedoch nicht.

//edit Rechtschreibung

15.01.2011, 16:08

alex2007

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wieso wähle ich das epsilon= 1/2 f(a)?

Die Frage wäre halt, ob das einfach so für metrische Räume gilt, nur weils in IR gilt???

15.01.2011, 16:20

Roman Oira-Oira

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Zitat:

Original von alex2007
wieso wähle ich das epsilon= 1/2 f(a)?

Weil in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} x > 0 \Rightarrow \frac{1}{2}x > 0 \end{eqnarray*}$ . Der Wert $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ ist natürlich willkürlich gewählt, es könnte auch ein anderer Wert sein, für den dies gilt.

Zitat:

Die Frage wäre halt, ob das einfach so für metrische Räume gilt, nur weils in IR gilt???

Das habe ich auch nicht behauptet!

Es ging mir nur um die Beweisidee, die eventuell auf den allgemeinen metrischen Raum übertragen werden kann. Ich halte dies für wahrscheinlich, da die Stetigkeit in beiden Fällen formal dieselbe ist, und auch die Metriken aufeinander abgebildet werden können. Mir fällt jetzt nur kein Analogon auf X für die Folgerung $\begin{eqnarray*} x > 0 \Rightarrow \frac{1}{2}x > 0 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ein!

Das wäre dann Dein Part, da ich nicht die Erfahrung mit allgemeinen metrischen Räumen habe!

Und wie gesagt: Es war nur ein Vorschlag meinerseits, wegen der formalen Analogie.

15.01.2011, 16:44

system-agent

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Um die Problematik mit " $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ " und dergleichen zu vermeiden kannst du einen Widerspruchsbeweis führen.

Angenommen es gibt keine solche Umgebung, das heisst etwas formaler, dass es für jedes $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ in der Kugel $\begin{eqnarray*} B(a,\epsilon) \end{eqnarray*}$ mit Radius $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ um den Punkt $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ eine Stelle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ geben muss derart, dass $\begin{eqnarray*} f(x)\leq 0 \end{eqnarray*}$ ist.

Daraus kannst du eine Folge $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ machen mit $\begin{eqnarray*} f(x_n)\leq 0 \end{eqnarray*}$ :
Betrachte für $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ die Umgebungen $\begin{eqnarray*} U\left(a,\frac{1}{n}\right) \end{eqnarray*}$ .
Was passiert mit $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ ? Was mit $\begin{eqnarray*} (f(x_n))_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ ? Widersprüche?

15.01.2011, 17:06

Roman Oira-Oira

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Ich habe mir nochmals die ursprüngliche Fragestellung angesehen, und habe erst jetzt realisiert, daß $\begin{eqnarray*} f(x) : X \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ vorgegeben ist. Zuvor hatte ich $\begin{eqnarray*} f(x) : X \rightarrow X \end{eqnarray*}$ im Kopf gehabt!

Ich bin jetzt doch der Meinung, daß man mit meinem Ansatz argumentieren kann, denn die Umgebung in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ , mit $\begin{eqnarray*} U(f(a); \varepsilon) > \{0\} \end{eqnarray*}$ kann auf jeden Fall entsprechend meinem obigen Vorschlag ermittelt werden.

Und dann die Argumentation über die Stetigkeit von f(x).

Sollte dies nicht in dieser Art möglich sein, so würde mich doch sehr interessieren, warum das nicht geht!

15.01.2011, 17:54

system-agent

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Zitat:

Original von Roman Oira-Oira
$\begin{eqnarray*} U(f(a); \varepsilon) > \{0\} \end{eqnarray*}$

Du weisst schon dass das eine sehr gefährliche Notation ist?

Ja, man kann auch so argumentieren wie du das wolltest. Man betrachtet dann am Besten die Menge $\begin{eqnarray*} V:=f^{-1}(U(f(a),\epsilon)) \end{eqnarray*}$ und es ist klar, dass $\begin{eqnarray*} a\in V \end{eqnarray*}$ ist.
Mit der Stetigkeit von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ muss man nun irgendwie einsehen, dass $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ offen ist, denn dann folgt die Behauptung [in einer offenen Menge kann man immer ein $\begin{eqnarray*} \delta>0 \end{eqnarray*}$ finden derart, dass $\begin{eqnarray*} B(a,\delta)\subset V \end{eqnarray*}$ gilt, wobei $\begin{eqnarray*} B(a,\delta) \end{eqnarray*}$ die offene Kugel um $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ist mit Radius $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ ].

15.01.2011, 18:10

Roman Oira-Oira

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Zitat:

Original von system-agent
Du weisst schon dass das eine sehr gefährliche Notation ist?

Wäre Dir dankbar für eine Erläuterung.

PS: Die Umgebungsschreibweise ist mir sozusagen seit der Abi-Schulzeit (1980er Jahre) eingebrannt worden, da wir den Einstieg in die Analysis über Mengen und Umgebungen gemacht haben. Wir haben z.B. die Stetigkeit direkt über $\begin{eqnarray*} \varepsilon, \delta \end{eqnarray*}$ -Umgebungen definiert. Danach die stetige Fortsetzung und darüber dann erst den Grenzwert, den wir als den Wert der stetigen Fortsezung (falls vorhanden) definiert haben. Das ist ein für die Schulzeit sehr unkonventioneller Weg (wir hatten auch einen sehr unkonventionellen Lehrer - Pfeife und Zigarette im Unterricht waren normal!). Folgen und deren Grenzwerte haben wir nie gesehen!

15.01.2011, 18:17

system-agent

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Ganz einfach:
Die Relation " $\begin{eqnarray*} > \end{eqnarray*}$ " [oder auch " $\begin{eqnarray*} < \end{eqnarray*}$ " ] ist etwas, das macht für Zahlen einen Sinn. $\begin{eqnarray*} U(f(a),\epsilon) \end{eqnarray*}$ ist aber eine Menge und keine Zahl.
Korrekter wäre zb:
Für alle $\begin{eqnarray*} p\in U(f(a),\epsilon) \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} p>0 \end{eqnarray*}$ .

15.01.2011, 18:38

Roman Oira-Oira

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Zitat:

Original von system-agent
Ganz einfach:
Die Relation " $\begin{eqnarray*} > \end{eqnarray*}$ " [oder auch " $\begin{eqnarray*} < \end{eqnarray*}$ " ] ist etwas, das macht für Zahlen einen Sinn. $\begin{eqnarray*} U(f(a),\epsilon) \end{eqnarray*}$ ist aber eine Menge und keine Zahl.
Korrekter wäre zb:
Für alle $\begin{eqnarray*} p\in U(f(a),\epsilon) \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} p>0 \end{eqnarray*}$ .

Danke! Ich habe Schlimmeres befürchtet!

Deine Schreibweise ist natürlich korrekt - insbesondere, wenn man nur die Definition der >-Relation auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ (oder Teilmengen davon) (aner)kennt (bzw. für "<")!

Ich habe oben bereits unseren unkonventionellen Einstieg in die Analysis erwähnt. Und da gab es auch die schöne Definition für die >-Relation zwischen Mengen (bzw. "<"):

für $\begin{eqnarray*} A, B \subseteq \mathbb R : A < B \Leftarrow\!\!\Rightarrow \forall a \in A, b \in B : a < b \end{eqnarray*}$ .

Beispiel: {1, 2, 3} < {4, 5}

Aber ich glaube, wir entfernen uns momentan vom eigentlichen Thema! verwirrt

15.01.2011, 18:59

system-agent

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Ich habe nicht gesagt dass deine Schreibweise nicht ginge, nur ist sie nicht gerade Standard, das heisst man muss erstmal sagen was damit gemeint ist, auch wenn sie intuitiv völlig klar ist.

Da das geklärt ist, wieder zurück zum Thema Augenzwinkern

16.01.2011, 17:47

alex2007

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Zitat:

Original von system-agent
Um die Problematik mit " $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ " und dergleichen zu vermeiden kannst du einen Widerspruchsbeweis führen.

Angenommen es gibt keine solche Umgebung, das heisst etwas formaler, dass es für jedes $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ in der Kugel $\begin{eqnarray*} B(a,\epsilon) \end{eqnarray*}$ mit Radius $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ um den Punkt $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ eine Stelle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ geben muss derart, dass $\begin{eqnarray*} f(x)\leq 0 \end{eqnarray*}$ ist.

Daraus kannst du eine Folge $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ machen mit $\begin{eqnarray*} f(x_n)\leq 0 \end{eqnarray*}$ :
Betrachte für $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ die Umgebungen $\begin{eqnarray*} U\left(a,\frac{1}{n}\right) \end{eqnarray*}$ .
Was passiert mit $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ ? Was mit $\begin{eqnarray*} (f(x_n))_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ ? Widersprüche?

Ok diese Idee finde ich nicht schlecht.

Also nehme ich an:

Sei $\begin{eqnarray*} B_\epsilon (a) \end{eqnarray*}$ die offene Epsilon-Kugel um den Punkt a für alle $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ . Dann muss für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gelten: $\begin{eqnarray*} f(x)\leq 0 \end{eqnarray*}$ . Für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ in der Umgebung $\begin{eqnarray*} U(a,\epsilon) \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ nun eine Folge mit $\begin{eqnarray*} f(x_n)\leq0 \end{eqnarray*}$

Ich wähle eine Umgebung $\begin{eqnarray*} \, U(a,\frac{1}{n}) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

(Das bedeutet jetzt, dass ich das Intervall von a-(1/n) bis a +(1/n) habe richtig?)

So wenn ich das jetzt richtig deute, dann müsste ja für $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x_n \to a \end{eqnarray*}$ gehen. Wegen dem Intervall. oder hab ich das Falsch verstanden?
Wen dem so wäre würde natürlich $\begin{eqnarray*} f(x_n) \to f(a) \end{eqnarray*}$ .

Jetzt folgt ein Widerspruch zwischen der annahme $\begin{eqnarray*} f(x)\leq0 \end{eqnarray*}$ für unserer Umgebung und der Lösung für ein konkretes Beispiel (Gegenbeispiel) für Folgen $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ , das ich $\begin{eqnarray*} f(a) \end{eqnarray*}$ erhalte. Was ja laut Aufgaben Text bekanntlich größer 0 ist.
Somit wäre gezeigt, dass nicht für jedes Epsilon eine Umgebung existiert, für die f(x)<=0 für alle x € U. Damit muss es mindestens eine Umgebung geben, für welche f(x)>0 für alle x €U und unter den gegebenen Bedingungen.
q.e.d.

Ist das so als Beweis zulässig? Habe ich die Stetigkeit eigentlich jetzt irgendwo indirekt verwendet? Ich meine eigtl. braucht es das nämlich nicht, das ist lediglich wichtig für die Annahme der Umgebung, da man somit weis, dass keine Sprungstellen bei a vorhanden sind. Oder?

16.01.2011, 19:33

system-agent

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Leider ist an deiner Ausführung einiges falsch.

Zitat:

Original von alex2007
Dann muss für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gelten: $\begin{eqnarray*} f(x)\leq 0 \end{eqnarray*}$ . Für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ in der Umgebung $\begin{eqnarray*} U(a,\epsilon) \end{eqnarray*}$

Nein, das ist nicht deine Annahme.

Zitat:

Original von alex2007
Sei $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ nun eine Folge mit $\begin{eqnarray*} f(x_n)\leq0 \end{eqnarray*}$

Du musst zeigen wieso es solch eine Folge gibt.
Das allerdings habe ich dir schon in meinem Beitrag abgenommen.

Zitat:

Original von alex2007
Ich wähle eine Umgebung $\begin{eqnarray*} \, U(a,\frac{1}{n}) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

(Das bedeutet jetzt, dass ich das Intervall von a-(1/n) bis a +(1/n) habe richtig?)

Oh nein. Diese Umgebungen befinden sich im metrischen Raum $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und nirgends steht geschrieben dass $\begin{eqnarray*} X=\mathbb R \end{eqnarray*}$ wäre.

Zitat:

Original von alex2007
So wenn ich das jetzt richtig deute, dann müsste ja für $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x_n \to a \end{eqnarray*}$ gehen. Wegen dem Intervall. oder hab ich das Falsch verstanden?

Ja, die Folge die du konstruieren sollst ist gerade so gebaut, dass sie gegen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ konvergiert. Mach dir dazu klar was es heisst, dass in $\begin{eqnarray*} (X,d) \end{eqnarray*}$ eine Folge konvergiert.

Zitat:

Original von alex2007
Wen dem so wäre würde natürlich $\begin{eqnarray*} f(x_n) \to f(a) \end{eqnarray*}$ .

Das musst du begründen.

16.01.2011, 20:54

alex2007

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Zitat:

Original von system-agent
Leider ist an deiner Ausführung einiges falsch.

Zitat:

Nein, das ist nicht deine Annahme.

Stimmt die Formulierung war falsch. Es muss natürich heißen: sei $\begin{eqnarray*} B_\epsilon(a) \end{eqnarray*}$ die offene Epsilon-Kugel um die stelle a $\begin{eqnarray*} \forall\, \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ , so gibt es ein Stelle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , die in dieser Kugel enthalten ist, sodass $\begin{eqnarray*} f(x)\leq0 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von system-agent

Zitat:

Original von alex2007
Sei $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ nun eine Folge mit $\begin{eqnarray*} f(x_n)\leq0 \end{eqnarray*}$

Du musst zeigen wieso es solch eine Folge gibt.
Das allerdings habe ich dir schon in meinem Beitrag abgenommen.

Ok, das verstehe ich nicht ganz. Womit hast du denn gezeigt, dass man das machen kann. Du hast es doch ebenfalls einfach angenommen oder? verwirrt

Zitat:

Original von system-agent

Zitat:

Oh nein. Diese Umgebungen befinden sich im metrischen Raum $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und nirgends steht geschrieben dass $\begin{eqnarray*} X=\mathbb R \end{eqnarray*}$ wäre.

ja klar stimmt. damit ist ja der abstand zwischen zwei punkten (bzw. stellen) gar nicht klar. In IR wäre das Intervall so wie aufgeschrieben. Macht mir die ganze Sache gerade klarer. Danke

Zitat:

Original von system-agent

Zitat:

Na die Folge soll ja quasi die Elemente aus der Umgebung von epsilon und a bezüglich der Metrik angeben. wenn nun das epsilon (hier 1/n) gegen 0 konvergiert, heißt das egal welche metrik ich nutze, dass der abstand zu a gegen 0 konvergiert und damit x gegen a konvergiert. heißt wenn die folge in X gegen a konvergiert, dann tut sie das auch in IR. Richtig?

Zitat:

Original von system-agent

Zitat:

Original von alex2007
Wen dem so wäre würde natürlich $\begin{eqnarray*} f(x_n) \to f(a) \end{eqnarray*}$ .

Das musst du begründen.

Das verstehe ich nicht. wenn x gegen a konvergiert, dann konvergiert f(x) gegen f(a), das ist doch offensichtlich oder etwa nicht?

Wenn diese Punkte geklärt sind, müsste der Beweis ja dann stehen. Würde ihn vorsichthalber nochmal komplett aufschreiben dann.

16.01.2011, 22:46

system-agent

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Zitat:

Original von alex2007

Zitat:

Original von system-agent
Du musst zeigen wieso es solch eine Folge gibt.
Das allerdings habe ich dir schon in meinem Beitrag abgenommen.

Ok, das verstehe ich nicht ganz. Womit hast du denn gezeigt, dass man das machen kann. Du hast es doch ebenfalls einfach angenommen oder? verwirrt

Deine Annahme ist, dass es für jedes $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ in der Kugel $\begin{eqnarray*} B_{\epsilon}(a) \end{eqnarray*}$ (mindestens) ein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} f(x)\leq0 \end{eqnarray*}$ .
Nun wählst du speziell für jedes $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ die Umgebungen $\begin{eqnarray*} B_{\frac{1}{n}}(a) \end{eqnarray*}$ . Das heisst für jedes $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ gibt es ein $\begin{eqnarray*} x_n\in B_{\frac{1}{n}}(a) \end{eqnarray*}$ . Das zeigt die Existenz.

Zitat:

Original von alex2007
Na die Folge soll ja quasi die Elemente aus der Umgebung von epsilon und a bezüglich der Metrik angeben.

Dieser Satz ist Unsinn.

Zitat:

Original von alex2007
wenn nun das epsilon (hier 1/n) gegen 0 konvergiert, heißt das egal welche metrik ich nutze, dass der abstand zu a gegen 0 konvergiert und damit x gegen a konvergiert.

$\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ konvergiert nicht. Es geht auch nicht um irgendwelche $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ sondern um die Folge $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ von oben.
Wie ich sagte, du sollst nicht solche schwammigen Formulierungen produzieren sondern genau nach der Definition der Konvergenz arbeiten sprich schreib sie dir für deinen Fall hin:
Es gilt $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}x_n=a \end{eqnarray*}$ genau dann, wenn es für jedes $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} N\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ gibt derart, dass $\begin{eqnarray*} d(x_n,a)<\epsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq N \end{eqnarray*}$ .
Das musst du begründen.

Zitat:

Original von alex2007
heißt wenn die folge in X gegen a konvergiert, dann tut sie das auch in IR. Richtig?

Dieser Satz ist auch Unsinn. $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ hat mit $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ garnichts zu tun.

Zitat:

Original von alex2007
Das verstehe ich nicht. wenn x gegen a konvergiert, dann konvergiert f(x) gegen f(a), das ist doch offensichtlich oder etwa nicht?

Nein, das ist nicht offensichtlich. Dafür braucht man gewisse Eigenschaften von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , sonst ist die Aussage einfach falsch.

16.01.2011, 23:02

alex2007

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Zitat:

Original von system-agent

Zitat:

Original von alex2007
wenn nun das epsilon (hier 1/n) gegen 0 konvergiert, heißt das egal welche metrik ich nutze, dass der abstand zu a gegen 0 konvergiert und damit x gegen a konvergiert.

Natürlich konvergiert epsilon. es gilt doch $\begin{eqnarray*} \epsilon=\frac {1}{n} \end{eqnarray*}$ und wenn ich n gegen unendlich laufen lasse, dann läuft epsilon gegen 0.

Das heißt verbildlicht gesagt, dass der Radius meiner Kugel gegen 0 konvergiert. womit x offensichtlich gegen a konvergieren muss, wenn es Element aus U ist.

formal ausgedrückt bedeutet das das die Abstandsfunktion $\begin{eqnarray*} d(x_n,a) \to 0 \end{eqnarray*}$ wenn ich n gegen unendlich laufen lasse. da $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ wäre damit die logische schlussfolgerung $\begin{eqnarray*} \, \exists N \in \mathbb N: d(x_n,a)<\epsilon, \, \forall \, \epsilon>0, n\geq N \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von system-agent

Zitat:

Original von alex2007
Das verstehe ich nicht. wenn x gegen a konvergiert, dann konvergiert f(x) gegen f(a), das ist doch offensichtlich oder etwa nicht?

Nein, das ist nicht offensichtlich. Dafür braucht man gewisse Eigenschaften von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , sonst ist die Aussage einfach falsch.

Ok, das ist mir nicht wirklich klar. Ich dachte das gilt immer. Welche Bedingung muss f dafür denn erfüllen? verwirrt

16.01.2011, 23:24

system-agent

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Achte einfach darauf wie du die Dinge schreibst, denn so wie du sie schreibst sind sie falsch.
$\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ konvergiert nicht, die Folge $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ konvergiert, und zwar gegen Null.

Zitat:

Original von alex2007
Das heißt verbildlicht gesagt, dass der Radius meiner Kugel gegen 0 konvergiert.

Ja.

Zitat:

Original von alex2007
womit x offensichtlich gegen a konvergieren muss, wenn es Element aus U ist.

Das "offensichtlich" nehme ich dir ab, wenn du es jederzeit auch ganz formal ausdrücken kannst Augenzwinkern

Zitat:

Original von alex2007
formal ausgedrückt bedeutet das das die Abstandsfunktion $\begin{eqnarray*} d(x_n,a) \to 0 \end{eqnarray*}$ wenn ich n gegen unendlich laufen lasse. da $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ wäre damit die logische schlussfolgerung $\begin{eqnarray*} \, \exists N \in \mathbb N: d(x_n,a)<\epsilon, \, \forall \, \epsilon>0, n\geq N \end{eqnarray*}$

Wie gesagt, so wie es dasteht ist es einfach nicht richtig. Es kommt, gerade wenn du Quantoren nutzt, ziemlich auf deren Reihenfolge an.
Formaler:
Sei $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ beliebig.
Nach Konstruktion von $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} d(x_n,a)<\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge ist kann man ein $\begin{eqnarray*} N\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ finden so, dass $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n}\leq\epsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq N \end{eqnarray*}$ . Dann folgt
$\begin{eqnarray*} d(x_n,a)<\epsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq N \end{eqnarray*}$ und daher ist $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ konvergent mit Grenzwert $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von system-agent
Ok, das ist mir nicht wirklich klar. Ich dachte das gilt immer. Welche Bedingung muss f dafür denn erfüllen? verwirrt

Na welche Eigenschaft hat deine Funktion denn in deiner Aufgabe? Genau diese brauchst du auch Augenzwinkern

16.01.2011, 23:59

alex2007

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Ok, dann schreib ich mal den Beweis auf.

Ich nehme an, dass es für jedes $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ in der Kugel $\begin{eqnarray*} B_{\epsilon}(a) \end{eqnarray*}$ (mindestens) ein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} f(x)\leq0 \end{eqnarray*}$ .
Nun wähle ich speziell für jedes $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ die Umgebungen $\begin{eqnarray*} U(a,\frac{1}{n}) \end{eqnarray*}$ . Das heisst für jedes $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ gibt es ein $\begin{eqnarray*} x_n\in U(a,\frac{1}{n}) \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ sei eine Folge für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$
Also muss es mindestens ein $\begin{eqnarray*} x_n \in U(a,\frac{1}{n}) \end{eqnarray*}$ geben, sodass $\begin{eqnarray*} f(x_n) \leq 0 \end{eqnarray*}$ .

Sei $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ beliebig. Nach der Konstruktion der Folge $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ gilt nun $\begin{eqnarray*} d(x_n,a)<\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ .
Da $\begin{eqnarray*} \frac {1}{n} \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge ist, kann man einen Index $\begin{eqnarray*} N \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ finden, sodass $\begin{eqnarray*} \frac {1}{n}\leq \epsilon, \, \forall n\geq N \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \exists N \in \mathbb N: d(x_n,a)<\epsilon, \, \forall n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x_n \end{eqnarray*}$ konvergiert gegen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ stetig in $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_n \to a\,\,\Rightarrow f(x_n) \to f(a) \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} f(a) >0 \,\, \Rightarrow\,\, \end{eqnarray*}$ Annahme ist falsch

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \,\,\, \exists \epsilon >0 \end{eqnarray*}$ in der Kugel $\begin{eqnarray*} B_\epsilon(a) \end{eqnarray*}$ für das kein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x)\leq0 \end{eqnarray*}$ existiert

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ Es existiert eine Umgebung $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ von a mit $\begin{eqnarray*} f(x)>0\,\, \forall x \in U \end{eqnarray*}$

q.e.d.

Bitte nochmal feedback geben, ob das formal so ok ist!

Danke für die Hilfe smile

17.01.2011, 07:57

system-agent

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Zitat:

Original von alex2007
Das heisst für jedes $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ gibt es ein $\begin{eqnarray*} x_n\in U(a,\frac{1}{n}) \end{eqnarray*}$ .

...gibt es ein $\begin{eqnarray*} x_n\in U(a,\frac{1}{n}) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x_n)\leq0 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von alex2007
$\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ sei eine Folge für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$
Also muss es mindestens ein $\begin{eqnarray*} x_n \in U(a,\frac{1}{n}) \end{eqnarray*}$ geben, sodass $\begin{eqnarray*} f(x_n) \leq 0 \end{eqnarray*}$ .

Diese $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ müssen nicht mehr "seien". Mit dem was du in der Zeile zuvor gesagt hast ist die Existenz dieser Folge gezeigt [wieso Folge? Ganz einfach, weil du zu jedem $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ gefunden hast mit einer gewissen Eigenschaft].

Zitat:

Original von alex2007
Da $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ stetig in $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_n \to a\,\,\Rightarrow f(x_n) \to f(a) \end{eqnarray*}$

Genau.

Zitat:

Original von alex2007
Da $\begin{eqnarray*} f(a) >0 \,\, \Rightarrow\,\, \end{eqnarray*}$ Annahme ist falsch

Das musst du aber zeigen. Sprich: Wieso kommt hier der gewünschte Widerspruch?
Betrachte
$\begin{eqnarray*} ?\geq\lim_{n\to\infty}f(x_n)=?? \end{eqnarray*}$ .
Nutze für $\begin{eqnarray*} ? \end{eqnarray*}$ die Eigenschaft von $\begin{eqnarray*} f(x_n) \end{eqnarray*}$ und für $\begin{eqnarray*} ?? \end{eqnarray*}$ die Stetigkeit und dann die Eigenschaft von $\begin{eqnarray*} f(a) \end{eqnarray*}$ .

21.01.2011, 05:07

Roman Oira-Oira

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Hallo zusammen!

Ich hatte ja bereits vor einiger Zeit gegenüber system-agent (per PN) angekündigt, daß ich den direkten Beweis der Behauptung hier einstellen wollte. Ich habe jedoch zunächst mal abgewartet, bis ihr mit dem anderen Beweisweg zu Ende kommt. Es sieht so aus, als wäre dieses Ende bis jetzt leider nicht erreicht worden. alex2007 hat sich aber seit einiger Zeit nicht mehr gemeldet. Ich denke, jetzt kann ich es wagen, meinen Beweisgang hier vorzustellen.

Ich glaube mein direkter Beweis ist um einiges einfacher, als der von system-agent vorgeschlagene indirekte Widerspruchsbeweis über Folgen.

Aus wenn mein Beweis auf den ersten Blick vielleicht lang aussieht, so ist er im Kern doch recht kurz. Die Längerührt von Erläuterungen und Definitionen her. Ich dachte, lieber ausführlicher, als Mißverständnisse aufkommen zu lassen.

Zitat:

Original von system-agent
Ja, man kann auch so argumentieren wie du das wolltest. Man betrachtet dann am Besten die Menge und es ist klar, dass ist.
Mit der Stetigkeit von muss man nun irgendwie einsehen, dass offen ist, denn dann folgt die Behauptung [in einer offenen Menge kann man immer ein finden derart, dass gilt, wobei die offene Kugel um ist mit Radius ].

Diesen Beitrag hast Du mir mal vor längerer Zeit gepostet. Entgegen Deiner damaligen Vermutung ist dies nicht der Ansatz, den ich wähle. Ich glaube, daß Du hier auf die Definition der Stetigkeit in topologischen Räumen anspielst. Und diese unterscheidet sich ieder von der Definition der Stetigkeit in metrischen Räumen, die ich wähle (siehe unten).

Ich würde mich sehr freuen, wenn Du - und natürlich auch alex2007, falls er wieder auftaucht - Dir meinen Beweis mal anschauen und gegebenenfalls auch kritisieren würdest.

Gruß von Roman.

Und jetzt zum Beweis!
_______________________________________

Ich fasse die Aufgabe nochmals zusammen:

Sei $\begin{eqnarray*} (X, d) \end{eqnarray*}$ ein metrischer Raum. Seien außerdem gegeben ein $\begin{eqnarray*} a \in X \end{eqnarray*}$ und eine Funktion $\begin{eqnarray*} f: X \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ sei stetig in $\begin{eqnarray*} a \in X \end{eqnarray*}$ .

Zeige:

$\begin{eqnarray*} f(a) > 0 &&\Rightarrow \exists U(a, \delta): \forall x \in U(a, \delta): f(x) > 0 \\ &&\Leftrightarrow \exists \delta \in \mathbb R^+: \forall x\in U(a, \delta): f(x) > 0 \end{eqnarray*}$

Definitionen und Anmerkungen:

Das Zeichen $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ steht für offene $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ -Umgebungen in metrischen Räumen, wobei "Umgebung" gleichbedeutend ist mit den Begriffen "Kugel", "Ball", etc. Die offene $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ -Umgebung $\begin{eqnarray*} U(x, \varepsilon) \subseteq X \end{eqnarray*}$ ist definiert als $\begin{eqnarray*} \{y \in X | d(y,x) < \varepsilon\} \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} (X, d) \end{eqnarray*}$ ein metrischer Raum ist und $\begin{eqnarray*} \varepsilon \in \mathbb R^+ \end{eqnarray*}$ .

Die Stetigkeit einer Funktion $\begin{eqnarray*} f: X \rightarrow Y \end{eqnarray*}$ an einer Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 \in X \end{eqnarray*}$ (lokale Stetigkeit) zwischen zwei metrischen Räumen $\begin{eqnarray*} (X, d_x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (Y, d_y) \end{eqnarray*}$ sei definiert als

$\begin{eqnarray*} \text{(1)}\,\, f\,\, \text{stetig in}\,\,x_0 &&\Leftrightarrow \forall U(f(x_0), \varepsilon): \exists U(x_0, \delta): f(U(x_0, \delta)) \subseteq U(f(x_0), \varepsilon) \end{eqnarray*}$

Diese Definition der lokalen Stetigkeit für Funktionen zwischen metrischen Räumen entspricht strukturell genau der Definition der lokalen Stetigkeit von reellen Funktionen $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Da $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit der euklidischen Metrik $\begin{eqnarray*} d = |x-y| \end{eqnarray*}$ selbst ein metrischer Raum $\begin{eqnarray*} (\mathbb R, d) \end{eqnarray*}$ ist, können alle verallgemeinerten Definitionen (Umgebung, lokale Stetigkeit) auf metrische Räume auch auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ angewendet werden.

Wir formen die oben gegebene Definition (1) der lokalen Stetigkeit zwischen metrischen Räumen nun Stück für Stück äquivalent um in eine Form, die wir später für den Beweis der Behauptung direkt anwenden können:

$\begin{eqnarray*} \text{(2)} &&\forall U(f(x_0), \varepsilon): \exists U(x_0, \delta): \forall x \in U(x_0, \delta): f(x) \in U(f(x_0), \varepsilon) \Leftrightarrow \\ \text{(3)} &&\forall \varepsilon \in \mathbb R^+: \exists \delta \in \mathbb R^+: \forall x \in U(x_0, \delta): f(x) \in U(f(x_0), \varepsilon) \end{eqnarray*}$

Beweis der Behauptung

(B1) Wegen $\begin{eqnarray*} f: X \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ folgt, daß $\begin{eqnarray*} f(a) \end{eqnarray*}$ eine reelle Zahl ist, mit der wie gewohnt gerechnet werden kann.

(B2) Wähle in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ eine beliebige Zahl $\begin{eqnarray*} \varepsilon^* \end{eqnarray*}$ , mit $\begin{eqnarray*} 0 < \varepsilon^* < f(a) \end{eqnarray*}$ , z.B. $\begin{eqnarray*} \varepsilon^* = \frac{f(a)}{2} \end{eqnarray*}$ .

Hieraus und aus der Voraussetzung $\begin{eqnarray*} f(a) > 0 \end{eqnarray*}$ der Behauptung folgt für $\begin{eqnarray*} \varepsilon^* \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{(4)} &&U(f(a), \varepsilon^*) > \{0\} \Leftrightarrow \\ \text{(5)} &&\forall y \in U(f(a), \varepsilon^*): y > 0 \end{eqnarray*}$

(B3) Die vorausgesetzte Stetigkeit von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ geschrieben in der Form (3) oben sagt aus, daß für alle $\begin{eqnarray*} \varepsilon \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ die Behauptung

$\begin{eqnarray*} \text{(6)} &&\exists \delta \in \mathbb R^+: \forall x \in U(a, \delta): f(x) \in U(f(a), \varepsilon) \end{eqnarray*}$

gilt. Wenn (6) für alle $\begin{eqnarray*} \varepsilon \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ gilt, so gilt es ganz sicher auch für ein bestimmtes $\begin{eqnarray*} \varepsilon \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Für dieses bestimmte $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ wählen wir das in (B2) gewählte $\begin{eqnarray*} \varepsilon^* = \frac{f(a)}{2} \end{eqnarray*}$ .

Somit gilt für dieses $\begin{eqnarray*} \varepsilon^* \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{(7)} &&\exists \delta \in \mathbb R^+: \forall x \in U(a, \delta): f(x) \in U(f(a), \varepsilon^*) \end{eqnarray*}$

In (5) wurde gezeigt, daß für alle Elemente $\begin{eqnarray*} x \in U(f(a), \varepsilon^*) \end{eqnarray*}$ gilt, daß $\begin{eqnarray*} f(x) > 0 \end{eqnarray*}$ ist. Wir können also aus (5) und (7) folgern

$\begin{eqnarray*} \text{(8)} &&\exists \delta \in \mathbb R^+: \forall x \in U(a, \delta): f(x) > 0 \end{eqnarray*}$

(8) entspricht aber genau der zu beweisenden Behauptung, womit wir am Ende des Beweises angekommen wären.

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