gleichmäßige Stetigkeit

15.01.2011, 15:10

alex2007

gleichmäßige Stetigkeit

Sei $\begin{eqnarray*} (X,d) \end{eqnarray*}$ ein metrischer Raum.
Zeigen Sie: Sind $\begin{eqnarray*} f, g:\, X \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ gleichmäßig stetig und beschränkt, so ist auch $\begin{eqnarray*} f \cdot g \end{eqnarray*}$ gleichmäßig stetig.

Meine Ideen:

Naja ich habe hier ja den Abstand d in meinem metrischen Raum (X,d), sowie, dass sich X auf IR abbildet. Demzufolge gilt für die gleichmäßige Stetigkeit:

$\begin{eqnarray*} \forall\epsilon > 0\, \exists \delta >0\, \forall x, x_o \in X: d(x,x_o)<\delta \Rightarrow d_\mathbb R(f(x),f(x_0))<\epsilon \end{eqnarray*}$ (für g dann natürlich das gleiche)

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \forall\epsilon > 0\, \exists \delta >0\, \forall x, x_o \in X: | x-x_0 | <\delta \Rightarrow| f(x)-f(x_0) | <\epsilon \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \forall\epsilon > 0\, \exists \delta >0\, \forall x, x_o \in X: | x-x_0 | <\delta \Rightarrow| g(x)-g(x_0) | <\epsilon \end{eqnarray*}$

Jetzt hängst bei mir etwas am Verständnis. Ich soll jetzt zeigen, dass es für f*g ebenfalls gilt. Heißt jawohl, dass ich in den gerade genannten Definitionen die gelten müssen hinten epsilon* stehen haben muss und am Ende so umformen muss, dass bei der verknüpfung durch Multiplikation <epsilon rauskommt stimmts? (ähnlich wie beim epsilonkriterium für grenzwerte)

Ich muss sicher noch die beschränktheit mit reinnehmen und dann umformen. auch hier fehlt mir ein ein Schritt. Wie gebe ich die Beschränktheit bezüglich der Metrik an? Und wie gehe ich am besten vor beim Beginn des Beweises?

15.01.2011, 15:28

tmo

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Beschränktheit bedeutet, dass es ein M gibt, $\begin{eqnarray*} d(f(x),f(y)) \leq M \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x,y \in X \end{eqnarray*}$ .

Und der Trick sollte klar sein, oder? Der ist doch immer der selbe, egal ob Produktregel beim Differenzieren, Grenzwertsätze für die Multiplikation oder was auch immer..

15.01.2011, 15:43

alex2007

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ok, also habe ich insgesamt folgende Bedingungen:

$\begin{eqnarray*} \forall\epsilon > 0\, \exists \delta >0\, \forall x, x_o \in X: | x-x_0 | <\delta \Rightarrow| f(x)-f(x_0) | <\epsilon* \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \forall\epsilon > 0\, \exists \delta >0\, \forall x, x_o \in X: | x-x_0 | <\delta \Rightarrow| g(x)-g(x_0) | <\epsilon* \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} | f(x)-f(y) |\leq M_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} | g(x)-g(y) |\leq M_2 \end{eqnarray*}$

Was meinst du mit dem Trick? Wie ich mein $\begin{eqnarray*} \epsilon* \end{eqnarray*}$ wähle?

Zeigen soll ich ja offensichtlich:

$\begin{eqnarray*} \forall\epsilon > 0\, \exists \delta >0\, \forall x, x_o \in X: | x-x_0 | <\delta \Rightarrow| f(x)\cdot g(x)-f(x_0)\cdot g(x_0) | <\epsilon \end{eqnarray*}$

Ich finde trotzdem keinen echten Ansatz. Mir ist klar, dass ich mit den Beträgen der Bedingungen rumhantieren muss. Hast du da noch einen Tipp für mich? verwirrt

16.01.2011, 17:48

alex2007

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Ich komme einfach nicht weiter. Ich meine, wie bringe ich die Stetigkeit mit der Beschränktheit in Verbindung? verwirrt

16.01.2011, 20:59

alex2007

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Hat niemand einen Tipp für mich? sitz schon einige Zeit jetzt an der Aufgabe und komme einfach auf keinen sinnvollen Weg. Wäre über Hilfeecht dankbar.

16.01.2011, 21:50

EinGast

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$\begin{eqnarray*} |f(x)g(x)-f(x_0)g(x_0)| =|f(x)g(x)-f(x)g(x_0)+f(x)g(x_0)-f(x_0)g(x_0)|\le |f(x)|\,|g(x)-g(x_0)|+|g(x_0)|\,|f(x)-f(x_0)| \end{eqnarray*}$

Wegen der Beschränktheit gibt es eine Konstante M mit $\begin{eqnarray*} |f(x)|\le M \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |g(x_0)|\le M \end{eqnarray*}$ für beliebige $\begin{eqnarray*} x,x_0\in X \end{eqnarray*}$ . Der Rest folgt aus der gleichmässigen Stetigkeit, wie du ja schon ausgeführt hast.

16.01.2011, 22:19

alex2007

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Zitat:

Original von EinGast
$\begin{eqnarray*} |f(x)g(x)-f(x_0)g(x_0)| =|f(x)g(x)-f(x)g(x_0)+f(x)g(x_0)-f(x_0)g(x_0)|\le |f(x)|\,|g(x)-g(x_0)|+|g(x_0)|\,|f(x)-f(x_0)| \end{eqnarray*}$

Wegen der Beschränktheit gibt es eine Konstante M mit $\begin{eqnarray*} |f(x)|\le M \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |g(x_0)|\le M \end{eqnarray*}$ für beliebige $\begin{eqnarray*} x,x_0\in X \end{eqnarray*}$ . Der Rest folgt aus der gleichmässigen Stetigkeit, wie du ja schon ausgeführt hast.

Ok, das verstehe ich. Das Problem ist aber das $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ . Angenommen ich wähle jetzt $\begin{eqnarray*} \epsilon*=\frac{\epsilon}{2M} \end{eqnarray*}$ .

Dann komme ich am Ende mit deiner Ungleichung und meinen voher aufgestellten Definitionen auf $\begin{eqnarray*} |f(x)g(x)-f(x_0)g(x_0)| \leq \epsilon \end{eqnarray*}$ . Da muss aber < stehen. Wie bekomm ich das weg?

16.01.2011, 22:39

EinGast

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oben hattest du $\begin{eqnarray*} |f(x)-f(x_0)|<\epsilon^* \end{eqnarray*}$ (strikte Ungleichung), und analog für $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ . Dh. mit deiner Wahl von $\begin{eqnarray*} \epsilon^* \end{eqnarray*}$ funktioniert es.
Oder wenn du willst kannst du auch $\begin{eqnarray*} \epsilon^* \end{eqnarray*}$ einfach kleiner wählen, zB $\begin{eqnarray*} \epsilon^*=\frac{\epsilon}{4M} \end{eqnarray*}$ .

16.01.2011, 22:47

alex2007

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Manchmal ist man eben für die offensichtlichsten Dinge zu blind. Da steht ja > epsilon* und damit ist das alles klar!

Ich danke dir vielmals.

Also gehe ich Beim Beweis so vor, dass ich erst die Definitionen aus dem Aufgabentext hinschreibe. Dann nehme ich an, dass auch f *g gleichmäßig stetig ist. Schreibe die formale Defintion hin und setze ein. fertig.

Dankeschön

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