Eigenwert einer symmetrischen 4x4 Matrix

15.01.2011, 15:17	dekrzy	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenwert einer symmetrischen 4x4 Matrix Hallo, ich habe hier eine symmetrische 4x4 Matrix, deren Eigenwerte zu bestimmen sind. Ich weiss, dass ich dazu das charaketristische Polynom bilden müsste. Aber der Aufwand erscheint mir zu groß für diesen Aufgabentyp, mein Prof hat noch nie solche Aufgaben rausgegeben, wo man viele kleine einfache Schritte rechnen muss. Eigentlich läuft es immer darauf hinaus, dass man sehr elegant und mit wenig rechnen an die Lösung kommt, so nach dem Motto "Mathematik ist die Kunst nicht zu rechnen...". Deshalb kann ich mir nicht vorstellen, dass wirklich der klassiche Weg die einzige Lösung seien kann. Daher meine Frage kann es sein, dass man bei meiner Matrix speziel oder bei symmetrischen Matrizen über einen einfachen Trick an die Eigenwerte kommt, so wie bei den Diagonal oder Dreickesmatrizen?! Hier die Matrix noch: 5 -1 2 3 -1 2 -1 0 2 -1 1 1 3 0 1 2 vielen dank im vor raus für alle Rückmeldung
15.01.2011, 16:13	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Sieht nach Rechnen aus.
15.01.2011, 16:23	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine kleine Vereinfachung wäre die Entwicklung nach der vierten Zeile/Spalte, damit hätte man "nur" noch 3 3x3 Determinanten zu berechnen.
15.01.2011, 16:24	dekrzy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwert einer symmetrischen 4x4 Matrix mir fällt gerade auf dass die Determinante der Matrix =0 ist. ich glaube das ändert alles?! heisst das das die matrix deswegen auch keine Eigenwerte hat, ich meine mich an sowas zu erinnern und im internet finde ich auch sachen die darauf hindeuten? ist das der Fall? wenn ja warum?
15.01.2011, 16:28	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, das bedeutet nur, dass die Matrix auf jeden Fall den Eigenwert 0 besitzt; es sind aber durchaus noch andere Eigenwerte möglich (hier existieren auch noch zwei weitere). Ein einfaches Beispiel: $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , die Determinante dieser Matrix ist offensichtlich null, aber es ist $\begin{eqnarray} \chi_A(x)=(x-1)^2\cdot x \end{eqnarray}$ , also hat die Matrix neben dem Eigenwert 0 noch die 1.
15.01.2011, 16:58	dekrzy	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, kann damit wenigstens einfacher an die restlichen eigenwerte ran kommen ohne das charakteristische polynom auszurechnen? mir hat jemand noch bezüglich dieser aufgabe geasgt : "die determinante ist 0. d.h. die matrix ist singulär und bei singulären matritzen haben homogene lgs keine lösung außer o. damit hat sie keine eigenwerte." ist diese Aussage somit falsch?
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15.01.2011, 17:12	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, die Aussage ist falsch, sogar in allen Aussagen die sie macht. Und um das Berechnen des charakt. Polynoms wirst du meines Wissens nach nicht rumkommen, ich wüsste gerade keinen Sonderfall den man anwenden könnte.

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