Maximum-Likelyhood

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Riemannson Auf diesen Beitrag antworten »
Maximum-Likelyhood
Hallo,

In einer lostrommel befinden sich N lose mit nummer von 1,...,N.
Die Frage: wie groß ist N? Dazu werden n-mal ein los genommen, die nummer notiert und zurückgelegt.
Berechne aus den notierten nummern einen Maximum-Likelyhood Schätzer für N.

Ich hab keine Ahnung wie ich das mache.
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Maximum-Likelyhood
Zitat:
Original von Riemannson
Hallo,

In einer lostrommel befinden sich N lose mit nummer von 1,...,N.
Die Frage: wie groß ist N? Dazu werden n-mal ein los genommen, die nummer notiert und zurückgelegt.
Berechne aus den notierten nummern einen Maximum-Likelyhood Schätzer für N.

Ich hab keine Ahnung wie ich das mache.
Also, du kannst erstmal annehmen, dass die Lose gleichverteilt auf sind.
Dein Schätzer ist als die Gleichverteilung.
Wie maximierst du diesen nun?
Riemannson Auf diesen Beitrag antworten »

ich nehme einfach: ?
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Riemannson
ich nehme einfach: ?
Ja, genau das smile
Riemannson Auf diesen Beitrag antworten »

..und das ist dann der gesuchte schätzer?
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Riemannson
..und das ist dann der gesuchte schätzer?
Ja, genau der smile
 
 
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Eine kleine Anmerkung: Es sollte likelihood sein. Augenzwinkern
Zitrone21 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Aufgabe soll dir zeigen, das ein Maximum-Likelihood-Schätzer nicht für alle Modelle geeignet ist.
In diesem Fall (Taxibeispiel, Seriennummer der Panzer im zweiten Weltkrieg) wird mit dem Maximum-Likelihood-Schätzer nur das Maximum der Realisierungen betrachtet, was aber beim bestimmen von N nur bedingt hilfreich ist.

Vermutlich will euch diese Aufgabe das zeigen.

(An dieser Stelle kann man Änderungen am Modell vornehmen. Was genau kann ich dir leider auch noch nicht sagen, da ich die diesbezügliche Übungsaufgabe auf meinem aktuellen Blatt noch nicht gemacht habe)
Riemannson Auf diesen Beitrag antworten »

ja ziemlich sinnlos ist die schätzung schon. muss bei der likelihood methode denn immer das maximum der realisierung anschauen?
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Riemannson
ja ziemlich sinnlos ist die schätzung schon. muss bei der likelihood methode denn immer das maximum der realisierung anschauen?
Ja, muss man, darum heisst es ja Maximum-Likelihood Augenzwinkern

Es gibt hier andere Schätzer, die für dieses Modell besser geeignet sind, die dann jedoch nicht vom Maximum-Likelihood Typ sind
Riemannson Auf diesen Beitrag antworten »

dass das so einfach ist, hätte ich nicht gedacht! danke jedenfalls smile
Riemannson Auf diesen Beitrag antworten »

okay aber wie mache ich dann das ganze hier? verwirrt

vllt kann jmd beim auseinandernehmen helfen.



es handelt sich um radioaktiven zerfall! k ist die anzahl der lichtblitze und ist die anzahl der 7,5 sekundenintervalle mit genau k blitzen.

Die anzahl der blitze in einem intervall wird als unabh. und poissonverteilt angenommen mit unbekanntem .
Unter der Annahme der unabhängigkeit des zerfalls oder nichtzerfalls aller anderen atome ist die anzahl eher hypergeometrisch verteilt.
Die kann man dann durch die binomialverteilung approximieren und diese dann wieder durch ein poissonverteilung.

jetzt soll mit der ML-Methode geschätzt werden?
Zitrone21 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, kannst du machen.

Wenn mich nicht alles täuscht, müsstest du so vorgehen:

Du berechnest zunächst die Anzahl der 7,5 Sekunden Intervalle.
Das sind 2608, wenn ich mich nicht vertippt habe.

Nun konstruierst du für jedes dieser Intervalle eine Zufallsvariable , die die Anzahl der Blitze im i-ten Intervall angibt. Also
Die Realisierungen dieser Zufallsvariablen bezeichnen wir mal mit


Die Poissonverteilung ist so definiert:


Nun stellst du die Maximum-Likelihoodfunktion auf:


Setzt dann die konkreten Realisierungen ein. Dabei kann du das Produkt dann in mehrere Teilprodukte aufspalten (in der Tabelle waren die Realisierungen ja gruppiert zusammengefasst)

Wendest den Logarithmus darauf an, um die log-Likelihoodfunktion zu erhalten. Hier ist es eventuell sinnvoll dir die Rechenregeln für den Logarithmus anzugucken.

Hiervon bestimmt du das Maximum. Wenn du es gefunden hast, dann hast du geschätzt.
Riemannson Auf diesen Beitrag antworten »

ist dann das erste teilprodukt: ? ...und dann das maximale teilprodukt finden? muss ich dann nach lambda umstellen?
Zitrone21 Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist das erste Teilprodukt, wobei das Gleichheitszeichen da kein Sinn macht, da du nach dem Gleichheitszeichen bereits den Logarithmus angewendet hast. Außerdem wird aus dem Produkt dort eine Summe. http://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus#Produkte

Schreib dir am besten erstmal nur die ML-Funktion auf, mit allen Teilprodukten.
Wende danach den Logarithmus an. (Dabei wird aus dem Produkt eine Summe, da

Das Ergebnis dann ableiten und gleich Null setzen.

Zitat:
und dann das maximale teilprodukt finden? muss ich dann nach lambda umstellen?

Nein, da du nach dem logarithmieren eine Summe hast. Deswegen kannst du nicht nach dem größten Teilprodukt suchen
Riemannson Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Riemannson
ist dann das erste teilprodukt:


so sollte es aber sein:
Zitrone21 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Riemannson
so sollte es aber sein:




Riemannson Auf diesen Beitrag antworten »

ja hast recht soviel zum formalismus Augenzwinkern
Riemannson Auf diesen Beitrag antworten »

so richtig:



und dann nach lambda ableiten?
Riemannson Auf diesen Beitrag antworten »

obwohl vllt. doch lieber nach ... ich erhalte dann ist dass das ergebnis?
T0b1a5 Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso bitte nach ? Du hast doch alle Realisierungen eingesetzt und willst einen Schätzer für erhalten. Mehr muss man doch nicht sagen
Riemannson Auf diesen Beitrag antworten »

ja stimmt! Hammer

so sollte es dann sein:




richtig Gott ?
Riemannson Auf diesen Beitrag antworten »

halt da fehlen noch die 57 vom anfang verwirrt
Riemannson Auf diesen Beitrag antworten »

ach die fallen weg weil die erste summe nicht -1 aufsummiert sondern 0 und somit null ist also ist dann die ableitung : so jetzt aber!??
T0b1a5 Auf diesen Beitrag antworten »

1. Bitte benutzt die "edit"-Funktion
2. Summen werden geklammert
3.
4. Deine Rechnungen schaue ich nicht durch, bin gerade selber noch in einer Vorlesung
5. Leite den Schei** doch einfach ab . . . :P
Riemannson Auf diesen Beitrag antworten »



wenn ich das zuerst beachte und dann differenzieren erhalte ich für die erste summe doch -1 und nicht 0.
Der rest bleibt ja gleich dann wird aber nicht mehr so schön, sondern ca. 1,02...

wie ist es denn richtig? verwirrt (ich glaub mit 1,02... stimmt´s auch nicht?)
T0b1a5 Auf diesen Beitrag antworten »

Bei mir ist die erste Summe -57 . . .
abcd5d Auf diesen Beitrag antworten »

ja die erste summe ist -57,

muss dann 2608 werden (also lambda bestimmen?) oder wie??
T0b1a5 Auf diesen Beitrag antworten »

Wo ist das Problem.

Ich habt eine Funktion:



Und die leitet ihr einfach nach Lambda ab. Das ist jetzt Niveau der 11. Klasse. Danach die Ableitung gleich 0 setzen (notwendige Bedingung) und komischerweise gibt es dann noch eine hinreichende Bedingung . . . Lehrer
abcd5d Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Riemannson








oder nicht?
abcd5d Auf diesen Beitrag antworten »

ich glaub der fehler liegt hier:

Zitrone21 Auf diesen Beitrag antworten »



Ich habs grad mal durchgerechnet.

Bei mir ist die erste Ableitung


Aufgelöst nach erhalten wir

Rechenfehler natürlich vorbehalten.

Wenn ihr weitere Hilfe wollt, dann macht euch wenigstens die Mühe und schreibt anstatt ... mal alles auf
Harty Auf diesen Beitrag antworten »

Also die Ableitung die ich raus habe ist .
Damit wäre dann . Muss aber auch nicht stimmen...
Riemannson Auf diesen Beitrag antworten »

ach ja dieser fehler mit der ableitung... Hammer

die 3,8... hab ich auch raus danke!
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