Untervektorraum von Vektorraum R³

15.01.2011, 17:13	DMB	Auf diesen Beitrag antworten »
Untervektorraum von Vektorraum R³ Hallo Forum, ich hätte mal eine Frage, ob ich das so richtig gemacht habe: Überprüfen Sie ob die angegebene Menge M2 ein Untervektorraum vom Vektorraum $\begin{eqnarray} \mathbb R ^3 \end{eqnarray}$ ist. $\begin{eqnarray} M3 := \left\{ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \in \mathbb R ^3 \| x - y = 0 \wedge 3 x - y + 5 * z = 42\right\} \end{eqnarray}$ Meine Lösung ist: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x1 \\ y1 \\ z1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x2 \\ y2 \\ z2 \end{pmatrix} \in \end{eqnarray}$ M3 $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_{1} - y_{1} = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_{2} - y_{2} = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 3 x_{1} - y_{1} + 5 z_{1} = 42 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 3 x_{2} - y_{2} + 5 z_{2} = 42 \end{eqnarray}$ Abgeschlossenheit bzgl. Addition: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x1 \\ y1 \\ z1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x2 \\ y2 \\ z2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x1+x2 \\ y1+y2 \\ z1+z2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \left(x_{1} + x_{2}\right) - \left(y_{1} + y_{2}\right) = 0 \end{eqnarray}$ (ok) $\begin{eqnarray} 3 \left(x_{1} + x_{2}\right) - \left(y_{1} + y_{2}\right) + 5 \left(z_{1} + z_{2}\right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = 3 x_{1} + 3 x_{2} - y_{1} - y_{2} + 5 z_{1} + 5 z_{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \left(3 x_{1} - y_{1} + 5 z_{1}\right) + \left(3 x_{2} - y_{2} + 5 z_{2}\right) = 84 \neq 42 \Rightarrow \end{eqnarray*}$ Nicht abgeschlossen bzgl. Addition Den Rest kann man sich ja dann sparen. Stimmt das so?
15.01.2011, 17:16	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, du hättest es dir sogar noch ein klein wenig leichter machen können. Der Nullvektor muss zwingenderweise in der Menge enthalten sein, damit es sich überhaupt um einen Unterraum handeln kann; diese Bedingung ist schon nicht erfüllt.

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