Partialbruchzerlegung

15.01.2011, 17:18

Worek

Partialbruchzerlegung

Meine Frage:
Hallo
ich schreibe in Kürze eine Klasur über Partielle Integration, Rotatiosvolumen, einfachen Integralaufgaben und eben auch Partialbruchzerlegung. Mit letzterem habe ich so einige Schwierigkeiten und habe mich auch deswegen dazu durchgerungen einige Aufgaben aus einem Buch zu machen.

Folgende Aufgabe

$\begin{eqnarray*} \frac{x^{5}+x^{4}+1}{x^{4}-4x^{3}+3x^{2}} \end{eqnarray*}$

Ergebnis: $\begin{eqnarray*} a= \frac{4}{9} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} b= \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} c= - \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
So ich hänge an einer ganz bestimmten Stelle
hier ersteinmal mein Lösungsansatz (der auch soweit richtig sein müsste)

$\begin{eqnarray*} \frac{x^{5}+x^{4}+1}{x^{4}-4x^{3}+3x^{2}} \end{eqnarray*}$

NST vom Nenner: $\begin{eqnarray*} x^{4}-4x^{3}+3x^{2} \end{eqnarray*}$ -> ausklammern und pq Formel:

NST x=3, x= -1

Polynomdivision: $\begin{eqnarray*} x^{5}+x^{4}+1 : x^{4}-4x^{3}+3x^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = x-5 \frac{17x^{3}- 15x^{2}+1}{x^{4}-4x^{3}+3x^{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int x+5 \frac{17x^{3}- 15x^{2}+1}{x^{2}(x-1)(x-3)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{a}{x} \frac{b}{x²} \frac{c}{x-1} \frac{d}{x-3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{a*x(x-1)(x-3) b*(x-1)(x+3)c*x²(x-3)d*x²(x-1)}{x²(x-1(x-3)} \end{eqnarray*}$

Dies ist mein Lösungsansatz. Allerdings hab ich mir an dem rest die Zähne ausgebissen. Ich komme einfach nicht auf die Oben beschreibenen Ergebnisse. Würde mich über Hilfen freuen

mfg

15.01.2011, 18:50

corvus

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RE: Partialbruchzerlegung

Zitat:

Original von Worek

$\begin{eqnarray*} \frac{x^{5}+x^{4}+1}{x^{4}-4x^{3}+3x^{2}} \end{eqnarray*}$

NST vom Nenner: $\begin{eqnarray*} x^{4}-4x^{3}+3x^{2} \end{eqnarray*}$ -> ausklammern und pq Formel:

NST x=3, x= -1 unglücklich

Polynomdivision: $\begin{eqnarray*} x^{5}+x^{4}+1 : x^{4}-4x^{3}+3x^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = x-5 \frac{17x^{3}- 15x^{2}+1}{x^{4}-4x^{3}+3x^{2}} \end{eqnarray*}$ unglücklich

richtig wäre:
$\begin{eqnarray*} = x-5 + \frac{17x^{3}- 15x^{2}+1}{x^{4}-4x^{3}+3x^{2}} \end{eqnarray*}$

ich mir .. die Zähne ausgebissen. aua

die Partialbruchzerlegung solltest du also nochmal neu anbeissen
aber nur für den echt gebrochenen Term:
$\begin{eqnarray*} \frac{17x^{3}- 15x^{2}+1}{x^{2}(x-1)(x-3)} = \frac{a}{x} + \frac{b}{x^2} + \frac{c}{x-1} +\frac{d}{x-3} \end{eqnarray*}$

ok?

16.01.2011, 08:58

Worek

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Da sind mir wohl bei der Schreiberrei hier im Forum einige Fehler unterlaufen. Auf dem Blatt ist sowie ich das beurteilen kann alles richtig. Wie gesagt meine Probleme hab ich erst nach meiner letzten berechneten Zeile in meinem ersten Post. Sprich ich bin mir nicht sicher wie es weiter gehen soll
MfG

16.01.2011, 10:30

corvus

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Zitat:

Original von Worek
hab ich erst nach meiner letzten berechneten Zeile in meinem ersten Post. :

$\begin{eqnarray*} \frac{a*x(x-1)(x-3) b*(x-1)(x+3)c*x²(x-3)d*x²(x-1)}{x²(x-1(x-3)} \end{eqnarray*}$

Sprich ich bin mir nicht sicher wie es weiter gehen soll
MfG

lass es dir gesagt sein: diese letzte Zeile ist absoluter Schwachsinn

Der Ansatz für die Partialbruchzerlegung funktioniert nicht mit der von dir
notierten Multiplikation der Brüche, sondern so, wie ich es dir oben notiert habe:

$\begin{eqnarray*} \frac{17x^{3}- 15x^{2}+1}{x^{2}(x-1)(x-3)} = \frac{a}{x} + \frac{b}{x^2} + \frac{c}{x-1} +\frac{d}{x-3} \end{eqnarray*}$

und wenn du dann rechts auf den Hauptnenner bringst, bekommst du im
Zähler des Bruches im ersten Schritt eine Summe mit vier Summanden ..usw.
und das kann dir nun gewiss jeder gute Hauptschüler richtig vormachen.
.

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