Basen im R³

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Broly Auf diesen Beitrag antworten »
Basen im R³
Hallo,

ich bräuchte mal wieder Hilfe ^^ .
Heute habe ich glaube mal das Problem das ich weiß wie man die Aufgabe löst ich es nur nicht praktisch umsetzen kann ;D.

Also erst mal zur Theory.

Aufgabe:
Gegeben sind im Vektorraum R³ die Mengen


(a) Man zeige, dass B1 und B2 Basen des R³ sind
(b) Man bestimme die Basisübergangsmatrix von B1 zur Basis B2 und umgekehrt.
(c) Man erzeuge aus B1 eine Orthogonalbasis des R³


Zu (a):
Hier reicht es doch wenn ich zeige das die 3 Vektoren der Basis linear unabhängig sind?
Dies würde ich zeigen mit
bzw das:

das ganze geht wohl "angeblich" mit dem Gaußverfahren am einfachsten?
Ich bekomme das aber schlichtweg nicht hin, bei mir kommt da immer nur müll raus. Gibts eine andere, ähnlich gute Methode wie das Gaußverfahren?

Zu (b):
hier besteht die übergangsmatrix doch aus

das ganze mach ich mit allen Vektoren der B1 und die daraus entstandenen Vektoren bzw Matrix ist dann die Basisübergangsmatrix?

Wäre wieder mit Gauß am eifachsten oder? I.wo ne Seite wos wirklich gut erklärt ist ? =/

Zu (c):
um orthogonal zu sein muss das skalarprodukt der vektoren = 0 sein oder?
das wäre aber i.wie die gleiche Rechnung wie bei linearer unabhängigkeit?^^
Somit stimmt irgendwas nicht.

Bitte um aufklärung ;D


Grüße
hnky Auf diesen Beitrag antworten »

ich werfe mal ein paar Ideen in den raum, mit denen du (hoffentlich) schon einmal ein wenig weiter kommst.

zur a) die vektoren jeweils zeilenweise in eine matrix eintragen, Gaußen(Zeilenumformungen) und wenn du keine Nullzeile erhälst, sind die vektoren linear unabhängig.

zur b) um die basiswechselmatrizen zu berechnen, musst du eine basis als linearkombination der anderen basis darstellen(und der identitätsabbildung vorausgesetzt, da nichts weiteres dabeisteht). am einfachsten geht das, indem du
eine erweiterte koeffizientenmatrix aufstellst.

das machst du, indem du beispielsweise die vektoren der basis in eine matrix einträgst(diesmal spaltenweise!) und für die rechte seite der matrix jeweils einen vektor der basis nimmst, und das ganze durch den Gauß-Algorithmus auflöst.

dadurch erhälst du in jedem schritt eine spalte der basiswechselmatrix.

das ganze machst du dann zwei mal, einmal wie oben, einmal umgekehrt - fertig.

zur c) werfe ich einfach mal Gram-Schmidt in den raum.

falls, wie du hier gepostet hast, in der aufgabenstellung nichts weiter zum skalarprodukt gesagt wird, denke ich, dass du das Standardskalarprodukt voraussetzen darfst.

gruß, hnky

edit: hier ist ein sehr schöner artikel zum thema basiswechsel.
Broly Auf diesen Beitrag antworten »

Huhu,

danke schon mal Augenzwinkern

hab mich noch mal am Gaußverfahren probiert.

Hänge mal 2 Bilder an. Zu a) und b). Sofern ich richtig gerechnet habe und ide letzte operation die ich bei B2 gemacht habe falsch ist und nicht zulässig ist bedeutet das wohl das B2 lin unabhängig ist B1 aber scheinbar lin abhängig ist?

Dachte eig. das es 0 ergeben muss um zu beweisen das es lin unabhängig ist ^^

und bei der b) hab ich mal angefangen den ersten Vektor der Übergangsmatrix/basis zu berechnen bin mir da aber nicht sicher deswegen schaut doch mal bitte wer drüber.
hnky Auf diesen Beitrag antworten »

zunächst einmal ein wenig theorie:

zum Gauß-Verfahren:

du darfst 3 sogenannte elementare umformungen machen:

1) du darfst zwei zeilen/spalten vertauschen
2) du darfst eine zeile/spalte mit einem skalar multiplizieren
3) du darfst ein vielfaches einer zeile/spalte zu einer anderen addieren

das hast du soweit auch richtig erkannt.


zur a)
das problem bei der Basis ist, dass die vektoren der basis als spalten in eine matrix eingetragen hast, und nicht als zeilen. um dann mittels des gauß-verfahrens diese auf lineare unabhängigkeit zu testen, müsstest du spaltenumformungen machen, du hast allerdings zeilenumformungen gemacht.

das hat zur folge, dass dein ergebnis leider nicht richtig ist - denn die 3 vektoren bilden wirklich eine basis.

du musst also die matrix mittels spaltenumformungen auf spaltenstufenform bringen.

da es meistens einfacher ist, zeilenumformungen durchzuführen (einfacher, weil man es so "üblicherweise" gewohnt ist), kannst du die zeilenumfornungen auf die transponierte der obigen matrix loslassen, also auf die matrix , und diese in zeilenstufenform bringen.


bei der basis sieht es so aus, als ob du den selben fehler wie bei der basis gemacht hast, aber dennoch auf das richtige ergebnis gekommen bist - denn auch diese menge bildet eine basis.


zur aufgabe b)

das verfahren ist richtig, ob die rechnung stimmt, kann ich momentan(aus zeitgründen) nicht sagen.

wenn du dieses LGS, das du am ende erhälst, noch auflöst, erhälst du die erste spalte deiner basiswechselmatrix, die vektoren, die in koordinaten bezüglich der basis sind, in vektoren in koordinaten bezüglich der basis transformiert.
Broly Auf diesen Beitrag antworten »

So hab jetzt bei der a) mit transponierten Matrizen gearbeitet allerdings wieder nur mit mäßigem Erfolg. Nun hab ich bei B1 nicht 0 raus aber bei B2.



Grüße

EDIT: Ah quark kann ja die III - III machen dann hab ich 0 raus ;D
G0rd0nGeKK0 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von hnky
zunächst einmal ein wenig theorie:
zur a)
das problem bei der Basis ist, dass die vektoren der basis als spalten in eine matrix eingetragen hast, und nicht als zeilen.


Entschuldigung: Aber wie würde B1 denn aussehen, damit man das was du sagst nicht machen muss. Also die Matrix transponieren.
 
 
Broly Auf diesen Beitrag antworten »

So hab jetzt noch mal angefangen die c zu rechnen.
Die eine Übergangsmatrix lautet bei mir



keine ahnung ob das hinkommt;D wie man das rechnerisch prüfen kann, hab ich leider nicht verstanden.
Meine Rechenwege hab ich angehangen.
Beim umgekehrten Basiswechsel hab ich leider das Problem das ich i.wann nur noch 0en bekomme(auch davon habe ich ein Bild angehangen)
Broly Auf diesen Beitrag antworten »

zur orthogonalbasis,
hab einfach mal mit Gram-Schmidt gerechnet.

Bei dem schiefen ergebnis kann ich mir aber nicht vorstellen das es stimmt.

Hätte raus:




Grüße
hnky Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von G0rd0nGeKK0
Zitat:
Original von hnky
zunächst einmal ein wenig theorie:
zur a)
das problem bei der Basis ist, dass die vektoren der basis als spalten in eine matrix eingetragen hast, und nicht als zeilen.


Entschuldigung: Aber wie würde B1 denn aussehen, damit man das was du sagst nicht machen muss. Also die Matrix transponieren.


naja, ob man die vektoren einer basis jetzt als spalten in eine matrix einträgt, und dann spaltenumformungen macht, oder ob man sie als zeilen in eine matrix einträgt(was das selbe ist, als wenn man sie als spalten einträgt und dann transponiert) und dann zeilenumformungen macht, ist im prinzip egal.

das wichtige ist eben, dass, wenn man vektoren auf lineare unabhängigkeit überprüfen möchte, sich für eine methode entscheidet, und nicht die vektoren als spalten einträgt und dann zeilenumformungen macht, bzw. umgekehrt.


zur aufgabe b)

ich kann dir zwar nicht sagen, wo genau deine rechenfehler liegen, aber ich erhalte(mit maple) die folgenden basiswechselmatrizen:


(ich weiß nicht, wie das bei euch notiert wurde, gemeint ist folgendes: das soll die matrix sein, die von der basis B2 in die basis B1 bezüglich der identitätsabbildung wechseln soll)

und für die andere erhalte ich




zur orthogonalbasis:

man kann sehr leicht überprüfen, ob das gerechnete stimmt, nämlich so, wie du es dir in beitrag 1 bereits gedacht hast: wenn vektoren orthogonal aufeinander stehen sollen, dann ergibt ihr skalarprodukt den wert 0.

in deinem fäll wäre das also für , wobei hier das standardskalarprodukt bezeichnet.

und stehen senkrecht aufeinander, und leider nicht, denn dort ergibt .

dass hierbei so komisch ausschauende ergebnisse bei rauskommen, ist normal smile

gruß, hnky
Broly Auf diesen Beitrag antworten »

Huhu,

also die 1. Basisübergangsmatrix hab ich tatsächlich so habe mich bei 1/3 --> 1/6 nur verschrieben.

allerdings bei der Anderen komme ich auf 0. Mach ich da eine Operation die ich nicht machen darf und wenn ja warum. Habs noch mal angehangen.


Vielleicht schaust du mal drüber.
Broly Auf diesen Beitrag antworten »

Zur orthogonalbasis hab ich überhaupt die richtige Formel weil hab jetzt noch mal was falsches rausbekommen.





aber wenn ich jetzt weiter rechne kommt n falsches ergebnis raus. Somit muss schon i.wo was falsch sein.
hnky Auf diesen Beitrag antworten »

huhu,

ich bin mir gerade nicht sicher, was die folgende aussage betrifft, aber das problem, was ich bei deinen umformungen im vorherigen post sehe(der letzte, in dem du die basiswechselmatrix berechnet hast) liegt im zweiten schritt, wo du die 3. zeile von der 2. subtrahierst und im gleichen schritt umgekehrt.

dadurch ist klar, dass du eine nullzeile erhalten wirst.

ich würde das ganze eher so angehen:






das ganze ist natürlich ziemlich nervig, aber das liegt daran, dass die basen so blöd gewählt worden sind smile

wenn man das ganze jetzt noch auflöst, kommt man auf die erste spalte der matrix, die ich zuvor gepostet habe.

zur orthogonalbasis:

du hast die formel richtig angewendet, allerdings falsch gepostet - gleiches symbol für das skalarprodukt und die anschließende multiplikation, da kommt man leicht durcheinander.

einen fehler habe ich entdecken können:
(ich bezeichne hier das standardskalarprodukt mit )


es fehlte also in der 1. koordinate ein minuszeichen.
Broly Auf diesen Beitrag antworten »

huhu,

stimmt mit dem - zeichen...Selbst wenn ich so weiterrechne bekomme ich:



raus. Hab noch nicht geschaut ob es zu u2 passt kanns aber eigentlich nicht da nur alles addiert wird - wird es definitiv nicht 0 oO.

das mit der basis rechne ich jetzt noch mal.
Broly Auf diesen Beitrag antworten »

Egal wie ichs rechne ich bekomms nicht auf die Reihe das ist ja mal so assozial Big Laugh

ist bei deiner basisrechnung da das "-15/2" nicht falsch? müsste es nicht auch "-11/2" sein? Jedenfalls wenn ich deine Rechnung richtig nachvollzogen habe ?

Und wie zum Teufel kommst du unten auf 0, 0, 15/2 , 36/11 ??
Broly Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, habe jetzt alle Aufgaben gelöst...


Liebe Grüße und besonderen Dank an hnky Gott




Wink
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