Interessantes Rätsel/Spiel

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Felix Auf diesen Beitrag antworten »
Interessantes Rätsel/Spiel
Ich habe letztens von einem sehr interessantes Rätsel gehört und wollte es für Interessierte hier posten. Ich habe das Spiel nur beschrieben besser wäre es mit einer Skizze, aber ich habe leider keinen Scanner. Wenn es unklarheiten bezüglich der Regeln gibt könnt ihr aber gerne Fragen.

Gegeben ist unendliches Schachbrett das an einer Stelle vertikal geteilt ist, so dass unterhalb dieser Vertikalen jedes Feld und oberhalb kein Feld mit einem Spielstein besetzt ist.Die Steinchen können horizontal und vertikal bewegt werden, indem ein benachbartes Steinchen(also ein Steinchen das links, rechts, oberhalb oder unterhalb des zu bewegenden Steinchens ist), wenn der Platz hinter diesem Steinchen frei ist, übersprungen und vom Feld genommen wird. Man soll zeigen, dass es nicht möglich ist bis in die 4. Reihe hinter der Vertikalen zu kommen.

P.S.: Dieses Rätsel ist aus keinem laufenden Wettbewerb und ich kenne die Lösung Augenzwinkern
ChristianII Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Felix,

ich finde das Problem sehr faszinierend, könntest Du bitte einen kleinen Hinweis geben?

Gruß
Christian
Felix Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, du musst jedem Feld einen Wert auf solche Weise zuordnen, dass das Feld in der 4. Reihe (das du ereichen magst (du kannst dich hier oBdA auf eines beschränken)) einen höheren Wert hat als die Summe(unendliche Reihe) der Werte aller am Anfang besetzten Felder und dass nach jedem Zug die Summe der Werte der nach dem Zug besetzten Felder kleiner gleich der Summe der Werte der vor dem Zug besetzten Feldern ist.

P.S. Entschuldige bitte meine verpätete Anwort.
ChristianII Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Felix,

Danke für Deine Ausführung. Leider bin ich geistig noch blockiert.

Warum muss die Gesamtsumme jener Zahlen, die einem besetzten Feld zugeordnet sind, abnehmen oder gleich bleiben bis zum letzten Zug (Belegung des Feldes in der 4. Reihe), der wieder zu einer Zunahme der Gesamtsumme führt?
Wir könnten alle Zeilen, die sich vor der 4. Reihe befinden, mit "0" bezeichnen. Allen Feldern der 4. Reihe ordnen wir den Wert "1" zu. Zunächst würde dann die Gesamtsumme gleichbleiben. Wenn der letzte Zug in die 4. Reihe möglich ist, würde die Gesamtsumme zunehmen.

Bin sehr verwirrt.

Gruß und schönes Wochenende
Christian
Felix Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab ja nicht gesagt das jede beliebige Bewertung diese Eigenschaft hat. Ich wollte das Rätsel ja nicht gleich ganz auflösen Augenzwinkern
ChristianII Auf diesen Beitrag antworten »

Oh je, oh je.

Habe ich das soweit richtig verstanden: Es gibt eine Zuordnung, von der gezeigt werden kann, dass die Gesamtsumme der belegten Felder bei jedem Zug abnimmt oder gleich bleibt? Zudem kann aber auch gezeigt werden, dass die Gesamtsumme der belegten Felder größer wird als die am Anfang, sobald zum ersten Mal ein Feld in der 4. Reihe erreicht wird? Daraus müsste sich dann ein Widerspruch zur Voraussetzung ergeben, dass die Gesamtsumme bei jedem Zug abnimmt oder gleich bleibt?

Bisher kann ich mir keine solche Belegung vorstellen. Ein Feld kann ja auf verschiedenen Wegen erreicht werden, so dass die Gesamtsumme auch vor dem Zug in die 4. Reihe zunehmen könnte. Oder kann man auch zeigen, dass es immer ganz spezielle Züge geben muss, die eine bestimmte Zugrichtung erzwingen?

Gruß
Christian
 
 
Felix Auf diesen Beitrag antworten »

Zunächst einmal, ich habe leider einen Angabe fehler gemacht, wie ich gerade bemerkt habe, kann man in die 4. Reihe kommen, ma soll zeigen, dass man nicht in die 5. Reihe kommen kann. Entschuldige bitte .

Du solltest am besten so ansetzten:

Du nimmst dir irgendein Feld in der 5. Reihe und zeigst, dass du dieses nicht ereichen kannst. Es ist egal das du nur ein spezielles Feld betrachtest, denn die Felder unterscheiden sich nicht - du zeigst damit also das du nicht in die 5. Reihe kommen kannst.

Dazu bewertest du dieses Feld o.B.d.A. mit 1 (du kannst ja normieren). Nun musst du wie schon gesagt für die restlichen Felder ein "Bewertungsschema" so finden, dass die Gesammtsumme bei jedem Zug gleich bleibt oder abnimmt und die Anfangsgesammtsumme (unendliche Reihe - es sind ja immer unendlich viele Felder besetzt) kleiner gleich eins ist.

Noch ein Tipp : Es hat mit dem goldenen Schnitt zu tun.

lg
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

Nachdem ich jetzt ein bisschen rumgedacht habe, habe ich nicht mehr wirklich Lust meinen Ansatz fertig zu denken.

Wenn man sich das folgende in einem kleinen Beispiel aufzeichnet, sollte alles Sinn machen. In Worten ist es irgendwie leicht schwierig... Augenzwinkern

Mein Ansatz wäre in etwa so, dass man sich erstmal auf Schachbretter beliebiger endlichen Grössen beschränken kann, da jede womöglich existierende Lösung nur endlich viele Schritte involvieren kann (*).

Das Feld auf dem man landen will bezeichnet man mit (0,0) und identifiziert den Rest des Schachbretts mit .
Benutze die (Eisenbahn-)Metrik



Wegen der Bemerkung (*) braucht man sogar nur Schachbretter S der Form



zu betrachten.

Nun haben am Anfang alle Steine Koordinaten mit .

Man ordnet den Elementen x mit Abstand den Wert 1 zu. Den Elementen mit Abstand ebenfalls den Wert 1, den Wert 2, und allgemein ordnet man den Wert (l-tes Glied der Fibonacci-Folge) zu.

Diese Zuordnung erhält den Gesamtwert aller Steine für jeden Zug, den man ausführen kann (bzw. vermindert diesen).

Ich vermute nun, dass dieser Gesamtwert am Anfange immer kleiner ist, als der Wert , welcher ein Stein haben müsste, der auf dem Feld 0 zu liegen kommen sollte.

Liege ich damit irgendwo in der nähe deiner Lösung? smile

Wink
Felix Auf diesen Beitrag antworten »

Das sieht nicht schlecht aus. Allerdings stimmt diese Annahme denke ich nicht:

Zitat:
Ich vermute nun, dass dieser Gesamtwert am Anfange immer kleiner ist, als der Wert , welcher ein Stein haben müsste, der auf dem Feld 0 zu liegen kommen sollte.


Zumindest denk ich, dass ich schon mal k=7 als Gegenbeispiel gefunden habe verwirrt .

Probier das ganze doch mal mit dem glodenen Schnitt desen Inverse folgende angenehme Eigenschaft hat:



lg
ChristianII Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

der Hinweis auf den goldenen Schnitt hat mich ebenfalls auf die Fibanocci-Rekursion gebracht.

Daraufhin kam ich zu dem Lösungsvorschlag:
Angenommen, es gibt eine Möglichkeit, bis in die 5. Reihe vorzudringen. Von diesem Feld aus teilen wir das Feld horizontal in 2 Teile. Die "Spalte", in der sich dieses Zielfeld befindet, bildet also die Grenze und befindet sich in beiden Teilen.
Im 1. Teil "beschriften" wir die Felder wie folgt:
Das Feld einer Zeile ist genau die Summe der beiden links davon liegenden Feldern in
derselben Zeile.
Im 2. Teil beschriften wir die Felder wie folgt:
Das Feld einer Zeile ist genau die Summe der beiden rechts davon liegenden Feldern derselben Zeilen.
Zudem gilt für ein beliebiges Feld, dass dies genau die Summe der beiden darunter liegenden Feldern ist.

Wir ordnen dem Feld der 5. Reihe die Zahl "1" zu. Nun orientieren wir uns an der Fibanocci-Rekursion und bezeichnen das n-te Feld unter diesem Feld mit:


Nun betrachten wir im 1. Teil ein beliebiges Feld i Zeilen unterhalb der 5. Reihe und j Saplten links von der Grenzspalte weg.
Diesem Feld ordnen wir den Wert zu:


Im 2. Teil gehen wir analog vor.



Diese Zuordnung erfüllt die oben genannten Eigenschaften.
Wenn nun ein Zug vollzogen wird, dann wir ein Feld neu besetzt, dessen Summe kleiner oder gleich jener beiden Felder ist, deren Steine beim Zug involviert sind. Somit bleibt die Summe der Felder, die belegt sind, nach einem Zug gleich oder sie nimmt ab.
Wenn ein Zug in die 5. Reihe möglich ist, muss die Gesamtsumme also immer größer als 1 sein. Also muss die Summe der Ausgangsstellung ebenfalls größer als 1 sein.
Man kann aber zeigen, dass dem nicht so ist, indem man die durch obige Rekursion erhaltenen Reihen addiert (ich habe einen Wert irgendwas um 0.9 raus.)

Faszinierendes Problem.

Danke.

Gruß
Christian
kurellajunior Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Interessantes Rätsel/Spiel
Also ich habe eben auf einem begrenzten Schachbrett die unteren 5 Reihen mit Steinen belegt und habe es geschafft einen Stein nach beschriebenen Regeln über die obere Grenze des Bretts zu bewegen (also in die 4. Reihe)

Ist also möglich Augenzwinkern
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